Käänteinen matriisi

Käänteismatriisi on sellainen matriisi , jonka alkuperäisellä matriisilla kerrottuna saadaan identiteettimatriisi : $A^{{-1}}$ $A$ $E$

AA^{-1}=A^{-1}A=E.

Käänteismatriisi voidaan määritellä seuraavasti:

A^{-1}={\frac {{\mbox{adj}}A}{|A|}},

missä on vastaava liittyvä matriisi ,

{\mbox{adj}}A

|A|

on matriisin determinantti .

A

Tämä määritelmä sisältää käänteisyyden kriteerin: matriisi on käännettävä, jos ja vain jos se on ei- degeneroitunut , eli sen determinantti ei ole nolla. Ei-neliömatriiseille ja degeneroituneille matriiseille ei ole käänteismatriiseja. On kuitenkin mahdollista yleistää tämä käsite ja ottaa käyttöön pseudoinversiomatriiseja , jotka ovat samanlaisia kuin käänteiset monissa ominaisuuksissa.

Käänteimatriisin ominaisuudet

Olkoon neliömatriisit rappeutumattomia. Sitten: ${\näyttötyyli A,~B}$

${\bigl (}A^{-1}{\bigr )}^{-1}=A$
$\det A^{{-1}}={\frac {1}{\det A}}$ , jossa tarkoittaa determinanttia . $\det$
$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
${\displaystyle (A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T))$ , jossa tarkoittaa transponointitoimintoa . $T$
$(kA)^{-1}=k^{-1}A^{-1}$ mille tahansa kertoimelle . $k\not=0$
$E^{-1}=E$ .
Olkoon tarpeen ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä , jossa on haluttu vektori, on nollasta poikkeava vektori. Jos on olemassa, niin . Muuten joko ratkaisuavaruuden ulottuvuus on suurempi kuin nolla tai niitä ei ole ollenkaan. $ax=b$ $x$ $b$ $A^{{-1}}$ $x=A^{{-1}}b$
$\left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{ B}\oikea)^{-1},$
$\left({A}+{B}\right)^{-1}=\left({I}+{A}^{-1}{B}\right)^{-1}{A }^{-1},$
$\left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\ oikea)^{k}{A}^{-1}.$

Tapoja löytää käänteinen matriisi

Jos matriisi on käännettävä, voit löytää matriisin käänteisen käyttämällä jotakin seuraavista menetelmistä:

Tarkat (suorat) menetelmät

Jordan-Gaussin menetelmä

Otetaan kaksi matriisia: itse ja identiteettimatriisi . Tuodaan matriisi ykköseksi Gauss-Jordan menetelmällä , jossa muunnoksia käytetään riveissä (voit käyttää muunnoksia myös sarakkeissa). Kun olet käyttänyt jokaista operaatiota ensimmäiseen matriisiin, käytä samaa operaatiota toiseen. Kun ensimmäisen matriisin pelkistys identiteettilomakkeeksi on valmis, toinen matriisi on yhtä suuri kuin . $A$ $E$ $A$ $A^{{-1}}$

Gaussin menetelmää käytettäessä ensimmäinen matriisi kerrotaan vasemmalta jollakin perusmatriiseista ( transvektio tai diagonaalimatriisi, jonka päädiagonaalissa on matriisi yhtä paikkaa lukuun ottamatta): $\Lambda _{i}$

\Lambda _{1}\cdot \dots \cdot \Lambda _{n}\cdot A=\Lambda A=E\Rightarrow \Lambda =A^{-1}.

\Lambda _{m}={\begin{bmatrix}1&\pisteet &0&-a_{1m}/a_{mm}&0&\pisteet &0\\&&&\pisteet &&&\\0&\pisteet &1&-a_{m -1m}/a_{mm}&0&\pisteet &0\\0&\pisteet &0&1/a_{mm}&0&\pisteet &0\\0&\pisteet &0&-a_{m+1m}/a_{mm}&1&\pisteet &0\ \&&&\pisteet &&&\\0&\pisteet &0&-a_{nm}/a_{mm}&0&\pisteet &1\end{bmatrix}}.

Toinen matriisi kaikkien operaatioiden suorittamisen jälkeen on yhtä suuri kuin , eli se on haluttu. Algoritmin monimutkaisuus on . $\lambda$ $O(n^{3})$

Algebrallisten komplementtien matriisin avulla

Matriisin käänteismatriisi , voidaan esittää seuraavasti: $A$

{A}^{-1}={{{\mbox{adj}}(A)} \over {\det(A))),

missä on adjointmatriisi (matriisi, joka koostuu transponoidun matriisin vastaavien elementtien algebrallisista komplementeista ).

{\mbox{adj}}(A)

Algoritmin monimutkaisuus riippuu determinanttilaskentaalgoritmin monimutkaisuudesta ja on yhtä suuri kuin . ${\displaystyle O_{\det ))$ ${\displaystyle O(n^{2})\cdot O_{\det ))$

LU- tai LUP-hajotus

Käänteismatriisin matriisiyhtälöä voidaan pitää muodon järjestelmien joukkona . Merkitse matriisin saraketta ; sitten , , koska matriisin sarake on yksikkövektori . Toisin sanoen käänteismatriisin löytäminen pelkistyy yhtälöiden ratkaisemiseen yhdellä matriisilla ja eri oikealla puolella. Näiden yhtälöiden ratkaisua voidaan yksinkertaistaa käyttämällä matriisin LU- tai LUP-dekompositiota . Kun LUP-hajotelma on suoritettu ajoissa , jokainen yhtälö tarvitsee aikaa ratkaistakseen , joten myös tämä algoritmi vie aikaa [1] . $AX=I_{n}$ $X$ $n$ $ax=b$ $i$ $X$ $X_{i}$ $AX_{i}=e_{i}$ $i=1,\ldots ,n$ $i$ $Sisään}$ $e_{i}$ $n$ $A$ $O(n^{3})$ $n$ $O(n^{2})$ $O(n^{3})$

Tietyn ei-singulaarisen matriisin käänteismatriisi voidaan myös laskea suoraan käyttämällä hajotuksesta saatuja matriiseja. $A$

Matriisin LUP-hajoamisen tulos on yhtäläisyys . Anna , . Sitten käänteismatriisin ominaisuuksista voidaan kirjoittaa: . Jos kerromme tämän yhtäläisyyden ja niin voimme saada kaksi yhtälöä muodossa ja . Ensimmäinen näistä yhtälöistä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jonka oikeat puolet tunnetaan (kolmiomatriisien ominaisuuksista). Toinen edustaa myös lineaariyhtälöjärjestelmää, jonka oikeat puolet tunnetaan (myös kolmiomatriisien ominaisuuksista). Yhdessä ne muodostavat tasa-arvojärjestelmän. Niiden avulla voit määrittää rekursiivisesti kaikki matriisin elementit . Sitten tasa-arvosta saamme tasa-arvon . $A$ $PA = LU$ $PA=B$ $B^{{-1}}=D$ $D=U^{{-1}}L^{{-1}}$ $U$ $L$ $UD=L^{{-1}}$ $DL=U^{{-1}}$ $n^{2}$ $n(n+1)/2$ $n^{2}$ $n(n-1)/2$ $n^{2}$ $n^{2}$ $D$ $(PA)^{-1}=A^{-1}P^{-1}=B^{-1}=D$ $A^{{-1}}=DP$

Käytettäessä LU-hajottelua ( ) matriisin sarakkeiden permutaatiota ei vaadita , mutta ratkaisu voi poiketa, vaikka matriisi olisi epäsingulaarinen. $A = LU$ $D$ $A$

Molempien algoritmien monimutkaisuus on . $O(n^{3})$

Iteratiiviset menetelmät

Matriisi voidaan laskea mielivaltaisella tarkkuudella seuraavan iteratiivisen prosessin tuloksena , jota kutsutaan Schultzin menetelmäksi ja joka on klassisen Newtonin menetelmän yleistys : $A^{{-1}}$

X_{k+1}=2X_{k}-X_{k}AX_{k}.

Matriisien sekvenssi konvergoi muotoon . On olemassa myös ns. yleistetty Schulzin menetelmä, jota kuvataan seuraavilla toistuvuussuhteilla [2] : $X_{k}$ $A^{{-1}}$ $k\to\infty$

{\begin{cases}\Psi _{k}=E-AX_{k},\\X_{k+1}=X_{k}\sum \limits _{i=0}^{n} \Psi _{k}^{i}.\end{cases}}

Alkuarvioinnin valinta

Tässä tarkasteltujen iteratiivisen matriisin inversion prosesseissa alkuperäisen approksimaation valintaongelma ei salli meidän käsitellä niitä itsenäisinä universaaleina menetelminä, jotka kilpailevat esimerkiksi matriisin hajotukseen perustuvien suorien inversiomenetelmien kanssa. Valinnassa on joitain suosituksia , jotka varmistavat ehdon täyttymisen ( matriisin spektrisäde on pienempi kuin yksikkö), mikä on välttämätöntä ja riittävä iteratiivisen prosessin konvergenssiin . Tässä tapauksessa kuitenkin ensinnäkin on tiedettävä käännettävän matriisin tai matriisin spektrin yläraja (eli jos on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi ja , niin voimme ottaa , missä ; jos on mielivaltainen ei-singulaarinen matriisi ja , sitten oletetaan , jossa myös ; voimme tietysti yksinkertaistaa tilannetta ja käyttämällä sitä tosiasiaa, että laittaa ). Toiseksi, tällaisella alkuperäisen matriisin määrittelyllä ei ole takeita siitä, että se on pieni (se voi jopa osoittautua ), ja korkeaa konvergenssiastetta ei havaita välittömästi. $X_{0}$ $LU$ $X_{0}$ $\rho (\Psi _{0})<1$ $A$ $AA^{T}$ $A$ $\rho (A)\leqslant \beta$ $X_{0}={\alpha }E$ $\alpha \in \left(0,2/\beta \right)$ $A$ $\rho (AA^{T})\leqslant \beta$ ${\displaystyle X_{0}={\alpha }A^{T))$ $\alpha \in \left(0,2/\beta \right)$ $\rho (AA^{T})\leqslant {\mathcal {k}}AA^{T}{\mathcal {k}}$ $X_{0}=A^{T}/\|AA^{T}\|$ $\|\Psi _{0}\|$ $\|\Psi _{0}\|>1$

Newtonin menetelmälle voidaan valita aloitusapproksimaatioksi , jossa yläindeksi tarkoittaa hermiitistä konjugaatiota ja ovat vastaavat matriisinormit . Tämä lasketaan muutamalla operaatiolla, jossa on matriisin järjestys, ja varmistaa algoritmin konvergenssin [3] . $X_{0}=A^{H}/\left(||A||_{1}||A||_{\infty }\right)$ $H$ $||\cdot ||_{1}$ ${\displaystyle ||\cdot ||_{\infty ))$ $X_{0}$ $O(n^{2})$ $n$

Esimerkkejä

Matrix 2×2

\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf { A} }}{\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}d&-b\\- c&a\\\end{bmatrix}}.

[neljä]

2 × 2 -matriisin inversio on mahdollista vain, jos . $ad-bc=\det A\neq 0$

Muistiinpanot

↑ Kormen T. , Leyzerson Ch., Rivest R., Stein K. Algoritmit: rakentaminen ja analyysi, - M .: Williams, 2006 (s. 700).
↑ Petković, MD Yleistetyt Schultzin iteratiiviset menetelmät ulkoisten käänteisten laskemiseen // Tietokoneet ja matematiikka sovellusten kanssa . - 2014. - Kesäkuu ( osa 67 , painos 10 ). - P. 1837-1847 . - doi : 10.1016/j.camwa.2014.03.019 .
↑ Pan, V. , Reif, J. Tiheiden lineaaristen järjestelmien nopea ja tehokas rinnakkaisratkaisu // Computers & Mathematics with Applications . - 1989. - Voi. 17 , iss. 11 . - P. 1481-1491 . - doi : 10.1016/0898-1221(89)90081-3 .
↑ Kuinka löytää käänteismatriisi? . mathprofi.ru Haettu 18. lokakuuta 2017. Arkistoitu alkuperäisestä 17. lokakuuta 2017. (määrätön)

Linkit

Toteutus täydellä pivot-valinnalla C++:ssa

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu