Bilineaarinen muoto

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24.5.2019 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Olkoon kentän päällä vektoriavaruus (kenttiä tai niitä pidetään useimmiten ). $L$ $K$ $K={\mathbb R}$ $K={\mathbb C}$

Bilineaarinen muoto on funktio , joka on lineaarinen jokaisessa argumentissa : $F\kaksoispiste L\kertaa L\-K$

F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)

F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)

F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)

F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)

täällä ja $x,y,z\in L$ $\lambda \in K.$

Bilineaarinen muoto on tensorin (0,2) tensori -käsitteen erikoistapaus .

Vaihtoehtoinen määritelmä

Äärillisulotteisten avaruuksien (esim. ) tapauksessa käytetään useammin toista määritelmää. $\mathbb {R} ^{n}$

Olkoon joukko vektoreita muodossa missä . $L$ $x=(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}),$ $x_{i}\in K,i=\overline {1,n}$

Bilineaariset muodot ovat muodon funktioita $F\colon L\times L\to K$

F(x,y)=\summa _{{i,\,j=1}}^{n}a_{{ij}}x_{i}y_{j},

jossa a ovat joitain vakioita kentästä $x=(x_{1},x_{2},\pisteet ,x_{n}),$ $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),$ $a_{{ij}}$ $K.$

Toisin sanoen bilineaarinen muoto on kahden vektorin funktio suhteessa kunkin vektorin muuttuviin komponentteihin, joka on ensimmäisen asteen homogeeninen polynomi suhteessa kunkin vektorin muuttuviin komponentteihin. $n$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Bilineaarista muotoa kutsutaan symmetriseksi , jos jollekin vektorille . $F$ $F(x,\,y)=F(y,\,x)$ $x,y\in L$
Bilineaarista muotoa kutsutaan vinosymmetriseksi (antisymmetriseksi), jos jollekin vektorille . $F$ $F(x,\,y)=-F(y,\,x)$ $x,y\in L$
Vektorin sanotaan olevan ortogonaalinen (tarkemmin vasen ortogonaalinen ) aliavaruuteen nähden , jos kaikille . Joukkoa vektoreita , jotka ovat ortogonaalisia aliavaruuteen tietyn bilineaarisen muodon suhteen, kutsutaan aliavaruuden ortogonaaliksi komplementiksi suhteessa aliavaruuteen ja sitä merkitään . $x\in L$ $M\alajoukko L$ $F$ $F(x,\,y)=0$ $y\in M$ $x\in L$ $M\alajoukko L$ $F$ $M\alajoukko L$ $F$ ${\displaystyle M^{\perp ))$
Bilineaarisen muodon radikaali on itse tilan ortogonaalinen komplementti suhteessa , Eli joukko vektoreita , joille kaikille . $F$ $L$ $F$ ${\displaystyle L^{\perp ))$ $x\in L$ $F(x,\,y)=0$ $y\in L$

Ominaisuudet

Kaikkien mielivaltaisessa kiinteässä avaruudessa annettujen bilineaaristen muotojen joukko on lineaarinen avaruus. $W(L,L)$
Mikä tahansa bilineaarinen muoto voidaan esittää symmetristen ja vinosymmetristen muotojen summana.
Matriisi määrittää yksiselitteisesti valitun perustan missä tahansa bilineaarisessa muodossa $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $F$

{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n} )\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\lpisteet &F(e_{2},\,e_{n})\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n} ,\,e_{n})\end{pmatrix}},

joten kaikille vektoreille ja $x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$ $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$

F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1 },\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\lpisteet &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\ ,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\lpisteet &F(e_{2},\,e_{n})\\\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\lpisteet &F(e_{n},\,e_{n})\end{ pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},

tuo on

F(x,\,y)=\sum _{{i,j=1}}^{n}f_{{ij}}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{{ ij}}=F(e_{i},\,e_{j}).

Tämä tarkoittaa myös sitä, että bilineaarinen muoto määräytyy täysin sen perusvektorien arvojen perusteella .
Avaruuden ulottuvuus on . $W(L,L)$ ${\displaystyle \dim W(L,L)=(\dim L)^{2))$
Vaikka bilineaarisen muodon matriisi riippuu kannan valinnasta, on bilineaarisen muodon matriisin arvo missä tahansa kannassa sama, sitä kutsutaan bilineaarisen muodon arvoksi . Bilineaarista muotoa kutsutaan ei- degeneroituneeksi , jos sen arvo on yhtä suuri kuin . $F$ $F$ $\dim L$
Minkä tahansa aliavaruuden ortogonaalinen komplementti on aliavaruus . $M\alajoukko L$ ${\displaystyle M^{\perp ))$ $M^{{\perp }}\subset L$
$\dim L^{{\perp }}=\dim Lr$ , missä on bilineaarisen muodon arvo . $r$ $F$

Bilineaarisen muodon matriisin muunnos kantamuutoksella

Uudessa kannassa bilineaarista muotoa edustava matriisi on yhdistetty sitä vanhassa kantassa edustavaan matriisiin käänteisen matriisin kautta uuteen kantaan siirtymämatriisiin (Jacobi-matriisi), jonka kautta vektorien koordinaatit muunnetaan.

Toisin sanoen, jos vanhan kannan vektorin koordinaatit ilmaistaan uuden koordinaatteina matriisin kautta tai matriisimerkinnällä , niin bilineaarinen muoto missä tahansa vektorissa ja kirjoitetaan seuraavasti $X^{i}$ $x^i$ $\beeta$ ${\displaystyle X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j))$ $X=\beta x$ $F$ $x$ $y$

F(x,\,y)=\sum _{{i,j}}F_{{ij}}X^{i}Y^{j}=\sum _{{i,j,k,m}} F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}

eli bilineaarista muotoa edustavan matriisin komponentit uudessa perustassa ovat:

f_{{km}}=\sum _{{i,j}}F_{{ij}}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}

tai matriisimerkinnällä:

f=\beta ^{T}F\beta

{\displaystyle \beta =\alpha ^{-1))

, missä on suoran koordinaattimuunnoksen matriisi .

\alpha

x=\alpha X

Suhde tensorituloksiin ja funktoriin Hom

Tensoritulon universaalista ominaisuudesta seuraa, että bilineaariset muodot V :llä ovat yksi-yhteen vastaavuus joukon kanssa , jossa k on maakenttä. ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)$

Koska tensoritulofunktiontori ja funktori Hom ovat konjugoituja , eli bilineaarinen muoto vastaa lineaarista kuvausta kaksoisavaruuteen . Tämä vastaavuus voidaan piirtää kahdella tavalla (koska tensoritulofunktioita on kaksi, jolloin vasen argumentti on kiinteä ja oikea argumentti kiinteä), niitä merkitään usein nimellä ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))$ $V$ $V^*$

$B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )$

$B_{2}({\mathsf {v)))=B(\cdot ,{\mathsf {v)))$ .

Katso myös

Kirjallisuus

Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. - M .: Nauka, 1975.
Gelfand I. M. Luennot lineaarisesta algebrasta. - M .: Nauka, 1971.
Faddeev D.K. Luennot algebrasta. Moskova: Nauka, 1984.
Kostrikin A. I. Johdatus algebraan, Moskova: Nauka, 1977.
Beklemishev DV Analyyttinen geometria ja lineaarinen algebra. - M . : Korkeampi. koulu, 1998. - 320 s.
Gel'fand I. M. , Lineaarinen algebra . Luentokurssi.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, Fizmatlit, Moskova, 2009.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu