Pseudoeuklidinen avaruus

Pseudoeuklidinen avaruus on äärellisulotteinen reaalivektori tai affiininen avaruus , jossa on ei-degeneroitunut määrittelemätön skalaaritulo , jota kutsutaan myös määrittelemättömäksi metriikaksi . Epämääräinen metriikka ei ole metriikka metriavaruuden määritelmän merkityksessä , vaan se on metrisen tensorin erikoistapaus .

Pseudoeuklidinen avaruus määritellään kokonaislukuparametrien parilla - aliavaruuden maksimiulottuvuus positiivisella ja negatiivisella määrätyllä metriikalla; paria kutsutaan tilan allekirjoitukseksi. Allekirjoitustilat on yleensä merkitty tai . Tärkein esimerkki pseudoeuklidisesta avaruudesta on Minkowskin avaruus . $(m,n)$ $(m,n)$ $(m,n)$ ${\displaystyle \mathbb {E} ^{m,n))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m,n))$ $\mathbb {E} ^{m,1}$

Pseudoeuklidinen avaruusallekirjoitus

Valitsemalla sopiva kanta vektoripseudoeuklidiselle avaruudelle , voidaan aina varmistaa, että tämän avaruuden määrittelemättömällä skalaaritulolla on muoto $L$

\langle x,y\rangle =x_{1}y_{1}+\ldots +x_{m}y_{m}-x_{{m+1}}y_{{m+1}}-\ldots -x_ {n}y_{n},

missä ja ovat avaruusvektorit . Erityisesti vektorin skalaarineliöllä on muoto $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $L$

\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+\ldots +x_{m}^{2}-x_{{m+1}}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2},

ja voi olla sekä positiivinen että negatiivinen luku sekä nolla (jopa nollasta poikkeavalle vektorille ). Vastaavasti yhtälön määrittelemän vektorin pituus $x$ $x$

\|x\|={\sqrt {\langle x,\;x\rangle )),

on joko positiivinen reaaliluku, puhtaasti imaginaariluku tai nolla.

Vastaavasti kehyksen valinnalla voidaan aina varmistaa, että n-ulotteisen affiinisen pseudoeuklidisen avaruuden pisteiden välinen etäisyys koordinaatteineen ja kirjoitetaan $(x_{1},\ldots,x_{n})$ $(y_{1},\ldots ,y_{n})$

d(x,y)={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\ldots +(x_{m}-y_{m})^{2}-(x_{{ m+1}}-y_{{m+1}})^{2}-\ldots -(x_{n}-y_{n})^{2}}}.

Pohjia ja kehyksiä, joilla on tämä ominaisuus, kutsutaan ortonormaaleiksi .

Lukupari (joka määrittää reaalisen ja puhtaasti imaginaarisen pituisten kantavektoreiden lukumäärän) ei riipu ortonormaalin kanta- tai kehyksen valinnasta (Sylvesterin hitauslaki) ja sitä kutsutaan pseudoeuklidiseksi avaruuden allekirjoitukseksi . $(m, nm)$

Pseudoeuklidiset avaruudet, joilla on eri allekirjoitukset, eivät ole isometrisiä toisiinsa nähden. Avaruus, jossa on allekirjoitus, voidaan kuitenkin muuttaa allekirjoituksella varustetuksi välilyönniksi muuttamalla skalaaritulon etumerkkiä, ja siksi tällaisten välilyöntien välillä ei yleensä tehdä eroa: erityisesti Minkowskin avaruus on määritelty eri lähteissä molemmiksi allekirjoituksiksi. tila ja allekirjoitustila . Siten jokainen ulottuvuus vastaa (missä suorat sulut tarkoittavat kokonaislukuosan ottamista) eri -ulotteisia pseudoeuklidisia avaruuksia. $(m, nm)$ $(nm, m)$ $(1.3)$ $(3.1)$ $n$ $\vasen[n/2\oikea]$ $n$

Isotrooppiset vektorit, suunnat, kartiot

Tärkeä ominaisuus avaruudessa, jolla on määrittelemätön metriikka, on nollasta poikkeavien vektorien läsnäolo, joiden pituus on nolla. Tällaisia vektoreita (sekä viivoja, joiden vektoreita ne ohjaavat) kutsutaan isotrooppiseksi tai valon kaltaiseksi (jälkimmäistä nimeä käytetään useammin fysiikassa, se liittyy Minkowskin avaruuteen ). Vektorin pseudoeuklidisen avaruuden aliavaruutta kutsutaan isotrooppiseksi , jos se koostuu kokonaan isotrooppisista vektoreista.

Pseudoeuklidisen vektoriavaruuden kaikkien isotrooppisten vektoreiden joukkoa kutsutaan tämän avaruuden isotrooppiseksi kartioksi (tai valokartioksi ). Allekirjoitusavaruuden valokartio ei sisällä "pintoja" eli isotrooppisia aliavaruuksia, joiden ulottuvuus on suurempi kuin 1 [1] . $(1,n-1)$

Kaikkien pseudoeuklidisen affiinisen avaruuden isotrooppisten vektorien joukkoa, joka on piirretty mielivaltaisesti kiinteästä pisteestä, kutsutaan avaruuden isotrooppiseksi kartioksi (tai valokartioksi ) annetussa pisteessä. Tämä joukko on todellakin kartio (tämän käsitteen yleisessä merkityksessä), jonka kärkipiste on tietyssä pisteessä. Pseudoeuklidisen affiinisen avaruuden isotrooppiset kartiot, joiden kärjet ovat eri pisteissä, saadaan toisistaan rinnakkaismuunnoksen avulla .

Erityisesti pseudoeuklidisella vektoritasolla on täsmälleen kaksi isotrooppista suuntaa. Ortonormaalilla pohjalla, jossa vektorin skalaarineliö ottaa isotrooppisten suuntien - suorien - muodon ja isotrooppinen kartio koostuu näiden kahden suoran liitosta. $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}-x_{2}^{2},$ $x_{1}\pm x_{2}=0,$

Kolmiulotteisella pseudoeuklidisella vektoriavaruudella on ääretön määrä isotrooppisia suuntia. Ortonormaalissa perustassa, jossa vektorin skalaarineliö on isotrooppisten suuntien muodossa, nämä ovat kaikki mahdollisia suoria isotrooppisella kartiolla , joka tässä tapauksessa on todellinen kartio . $\langle x,x\rangle =x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2},$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0,$

Pseudoeuklidisen avaruuden aliavaruudet

Pseudoeuklidisen avaruuden aliavaruus allekirjoituksella ei välttämättä ole pseudoeuklidinen avaruus, jossa on sama määrä ; lisäksi se voi olla myös euklidinen avaruus. Esimerkiksi kolmiulotteisessa pseudoeuklidisessa avaruudessa, jossa on allekirjoitus, taso voi olla joko pseudoeuklidinen signatuurilla tai euklidinen, tai sillä voi olla rappeutunut skalaaritulo. Geometrisesti nämä kolme tapausta määräytyvät tason sijainnin mukaan suhteessa isotrooppiseen kartioon (katso kuva). Taso on nimittäin pseudoeuklidinen, jos se leikkaa isotrooppisen kartion kahdessa eri suorassa (isotrooppisessa suunnassa); skalaaritulon rajoitus tasoon on degeneroitunut, jos se koskettaa isotrooppista kartiota, eli se leikkaa sen kanssa yhtä suoraa linjaa pitkin; Lopuksi taso on euklidinen, jos sillä on yksi yhteinen piste isotrooppisen kartion (kartion kärki) kanssa. $(nm, m)$ $m$ $(2.1)$ $\Pi$ $(1.1)$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$ $\Pi$

Ympyrät ja pallot

Pseudoeuklidisen tason geometrian näkökulmasta mielivaltaisen nollasta poikkeavat (todellisen tai puhtaasti kuvitteellisen) säteen ympyrät ovat hyperboleja . Vastaavasti allekirjoituksen kolmiulotteisessa pseudoeuklidisessa avaruudessa pallot , joiden todellinen säde ei ole nolla, ovat yksiarkisia hyperboloideja ja nollasta poikkeavat puhtaasti kuvitteellinen säde pallot ovat kaksilevyisiä hyperboloideja . Vastaavasti laajemmissa tiloissa, esimerkiksi neliulotteisessa allekirjoituksessa (3,1). $(2.1)$

Geometristen ominaisuuksiensa kannalta kumpikin kuvitteellisen säteen "puolikas" allekirjoituksen -ulotteisessa pseudoeuklidisessa avaruudessa on -ulotteinen Lobatševsky- avaruus . Dimensioaliavaruudet (alkaen - ) tässä Lobatševski-avaruudessa vastaavat alkuperäisen pseudoeuklidisen avaruuden dimensioaliavaruuksia , jotka kulkevat origin läpi ja leikkaavat kuvitteellisen säteen hyperpallon, ja sen liikkeet vastaavat Lorentzin muunnoksia . $n+1$ $(n,1)$ $n$ $k$ $0$ $n-1$ $k+1$

Käänteinen Cauchy-Bunyakovsky-epäyhtälö

Pseudoeuklidisessa avaruudessa, jossa on allekirjoitus kaikille imaginaaripituisille vektoreille, pätee seuraava epäyhtälö : [1] $(n-1,1)$

\langle x,x\rangle <0,\ \langle y,y\rangle <0\ \Rightarrow \ \langle x,y\rangle ^{2}\geqslant \langle x,x\rangle \cdot \ langle y,y\rangle .

Sovellukset fysiikassa

Pseudoeuklidisen avaruuden tärkein erikoistapaus on Minkowskin avaruus , jota käytetään erikoisrelatiivisuusteoriassa aika- avaruudena ja jossa allekirjoitusmetriikka (1,3) on Lorentzin invariantti (vain pseudoeuklidinen metriikka voi olla Lorentzin invariantti ), ja tapahtumaparin aikakaltaisuuden osalta nämä tapahtumat yhdistävän käyrän pituus (sellaisen metriikan merkityksessä) ja joka on myös kaikkialla ajankohtainen, on niiden välinen aika kellolla mitattuna, jonka liikettä kuvataan tämän käyrän aika-avaruudessa. Isotrooppiset suunnat ovat valon etenemissuuntia ja niitä kutsutaan myös nolla- tai valonomaisiksi.

Hilbert-avaruutta, jossa on määrittelemätön metriikka, käytetään kvanttielektrodynamiikassa sähkömagneettisen kentän pituus- ja skalaarivärähtelyjen kvantisoinnin matemaattiseen kuvaamiseen [2] .

Teoreettinen fysiikka ottaa huomioon pseudoeuklidiset avaruudet ja muut ulottuvuudet, mutta pääsääntöisesti niissä olevalla metriikalla on signature , eli nämä ovat tiloja, joilla on yksi aikakoordinaatti ja n spatiaalista. $(1,n)$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria, ch. VII, par. 7, - Fizmatlit, Moskova, 2009.
↑ Akhiezer A.I. , Berestetsky V.B. Quantum electrodynamics. - M., Nauka, 1969. - s. 63

Kirjallisuus

Walter Noll (1964) "Euklidinen geometria ja Minkowskin kronometria", American Mathematical Monthly 71:129-44.
Poincaré , Science and Hypothesis 1906, johon viitataan kirjassa B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry Springer 1988 (englanninkielinen käännös) s. 266.
Szekeres, Peter. Kurssi modernista matemaattisesta fysiikasta : ryhmät, Hilbert-avaruus ja differentiaaligeometria . - Cambridge University Press , 2004. - ISBN 0521829607 .
Aleksandrov P. S., Markushevich A. I., Khinchin A. Ya. - Alkeismatematiikan tietosanakirja. Osa V. Geometria
Rashevsky PK Riemannin geometria ja tensorianalyysi. - Mikä tahansa painos.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. - M.: Fizmatlit, 2009.
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria (menetelmät ja sovellukset). - Mikä tahansa painos.
Ivanov A. O., Tuzhilin A. A. Luennot klassisesta differentiaaligeometriasta. — M.: Logos, 2009.

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu