Kaksinkertainen ristituote

Vektorien kaksoisvektoritulo (toinen nimi: kolmoisvektoritulo ) - vektorin vektoritulo vektorien ja vektorien vektoritulolla $\left[{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\oikea]$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}):$

\left[{\vec {a)],{\vec {b)),{\vec {c}}\oikea]=\vasen[{\vec {a)],\vasen[{\vec {b} },{\vec {c}}\oikea]\oikea].

Kirjallisuudessa tämän tyyppistä kolmen vektorin tuloa kutsutaan sekä kolmoisiksi [1] (vektorien lukumäärän mukaan) että kaksinkertaiseksi [2] (kertolaskujen lukumäärän mukaan).

Ominaisuudet

Lagrangen kaava

Kaksoisvektoritulolle Lagrangen kaava pätee:

{\Big [}{\vec {a)),{\big [}{\vec {b)],{\vec {c}}{\big ]}{\Big ]}={\vec {a}}\times {\big (}{\vec {b}}\times {\vec {c}}{\big )}={\vec {b}}{\big (}{\vec {a }}\cdot {\vec {c}}{\big )}-{\vec {c}}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\big )} ,

joka voidaan muistaa muistosäännön "bang miinus tsab " mukaan .

Todiste 1

Valitaan oikea ortonormaali perusta niin ${\vec {e_{1}}},~{\vec {e_{2}}},~{\vec {e_{3}}}$

{\vec {a}}=\alpha _{1}{\vec {e_{1}}}+\alpha _{2}{\vec {e_{2}}}+\alpha _{3}{\ vec {e_{3}}},

{\vec {b}}=\beta _{1}{\vec {e_{1}}}+\beta _{2}{\vec {e_{2}}},

{\vec {c}}=\gamma _{1}{\vec {e_{1}}}.

Sitten

\left[{\vec {b)],{\vec {c}}\oikea]=\vasen(0,0,-\beta _{2}\gamma _{1}\oikea),

\left[{\vec {a)],\left[{\vec {b)],{\vec {c}}\oikea]\oikea]=\left(-\alpha _{2}\beta _{ 2}\gamma _{1},\alpha _{1}\beta _{2}\gamma _{1},0\oikea)

{\vec {b}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\oikea)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot { \vec {b}}\right)=\alpha _{1}\gamma _{1}{\vec {b}}-\left(\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{ 2}\beta _{2}\right){\vec {c}}=\left(-\alpha _{2}\beta _{2}\gamma _{1},\alpha _{1}\beta _{2}\gamma _{1},0\oikea).

Tällä tavalla,

\left[{\vec {a)],\left[{\vec {b)],{\vec {c}}\oikea]\oikea]={\vec {b}}\left({\vec { a}}\cdot {\vec {c}}\oikea)-{\vec {c}}\vasen({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\oikea).

Todistus 2 (Käyttäen Levi-Civita-tensoria )

Toisessa todistuksen versiossa käytetään ristitulon laajennusta komponenttien suhteen Levi-Civita-tensorin avulla : $\varepsilon_{{ijk}}$

${\displaystyle [{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k))$

(tässä ja alla summaus suoritetaan toistuvilla indekseillä, eli katso Einsteinin summaussopimus). $\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{ j}b_{k},$

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\oikea]\oikea]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_ {j}(\varepsilon _{klm}b_{l}c_{m})=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}a_{j}b_{l}c_{m}=(\delta _{ il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})a_{j}b_{l}c_{m}.$

Käytetään relaatiota missä on Kronecker-symboli . Edelleen, $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl},$ $\delta _{{ij}}$

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\delta _{il}\ delta _{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{im}\delta _{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=\delta _{il}a_ {m}b_{l}c_{m}-\delta _{im}a_{l}b_{l}c_{m}=a_{m}b_{i}c_{m}-a_{l}b_{ l}c_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b} }).$

Tässä käytetään Kronecker-deltan ominaisuutta, jonka avulla voit korvata indeksin, jolla summaus deltalla suoritetaan: Siten, $\delta _{ij}a_{j}=a_{i}.$

$\left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=b_{i}({\ vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}),$

ja siirtymällä komponenteista koko vektoriin saadaan vaadittu relaatio.

Jacobi-identiteetti

Kaksoisristituotteen osalta Jacobi-identiteetti sisältää:

{\big [}{\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c}}{\big ]}+{\big [}{\vec {b)), {\vec {c)),{\vec {a}}{\big ]}+{\big [}{\vec {c}},{\vec {a}},{\vec {b}}{ \big ]}={\vec {0)),

mikä todistetaan avaamalla sulut Lagrangen kaavalla:

{\vec {0}}={\vec {b}}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}{\big )}-{\vec {c }}{\big (}{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}{\big )}+{\vec {c}}{\big (}{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}{\big )}-{\vec {a}}{\big (}{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}{\big )}+{\vec {a}}{\big (}{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}{\big )}-{\vec {b}}{\big (}{\vec {c}} \cdot {\vec {a}}{\big )}.

Muistiinpanot

↑ Katso esimerkiksi Weisstein, Eric W. Vector Triple Product on Wolfram MathWorld ..
↑ Katso esimerkiksi M. Ya. Vygodsky, Handbook of Higher Mathematics, Moskova, 1977, s. 156.

Katso myös

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu