Lineaarinen riippumattomuus

Lineaarisessa algebrassa lineaarinen riippuvuus on ominaisuus, joka voi olla lineaarisen avaruuden osajoukolla . Lineaarisella riippuvuudella on tämän joukon elementtien ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä , joka on yhtä suuri kuin nollaelementti . Jos tällaista yhdistelmää ei ole, eli kun ainoan sellaisen lineaarisen yhdistelmän kertoimet ovat nolla, joukon sanotaan olevan lineaarisesti riippumaton .

Esimerkki

Vektorit ja ovat lineaarisesti riippumattomia, koska yhtälö $\mathbb {R} ^{3}$ $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$

a_{1}\cpiste (1,0,0)+a_{2}\cpiste (0,1,0)+a_{3}\cpiste (0,0,1)=(0,0,0)\ quad a_{i}\in {\mathbb {R}}

on vain yksi, triviaali ratkaisu.

Vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvaisia, koska $(1,0,0)$ $(5,0,0)$

(1,0,0)\cdot 5=(5,0,0),

ja siksi,

-5\cdot (1,0,0)+1\cdot (5,0,0)=(0,0,0).

Määritelmä

Olkoon kentän päällä lineaarinen tila ja . kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi joukoksi, jos jokin sen äärellisistä osajoukoista on lineaarisesti riippumaton. $V$ $K$ $M\subseteq V$ $M$

Äärillistä joukkoa kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi, jos ainoa nollaa vastaava lineaarinen yhdistelmä on triviaali, eli kaikki sen kertoimet ovat nolla: $M'=\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$

a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+\ldots +a_{n}v_{n}=0\quad \Rightarrow \quad a_{1}=a_{2}= \ldots=a_{n}=0.

Jos on olemassa tällainen lineaarinen yhdistelmä vähintään yhden kanssa , sitä kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi. Huomaa, että ensimmäinen yhtäläisyys merkitsee , kun taas toinen merkitsee . $a_{i}\neq 0$ $M'$ $0\in V$ $0\in K$

Ominaisuudet

$0\in M\Rightarrow M$ lineaarisesti riippuvainen.
$M$ lineaarisesti itsenäisesti lineaarisesti itsenäisesti kaikille . $\Nuoli oikealle$ $M'$ $M'\subseteq M$
$M$ lineaarisesti riippuvainen lineaarisesti riippuvainen kaikille . $\Nuoli oikealle$ $M'$ $M'\supseteq M$

Sovellus

Lineaariset yhtälöjärjestelmät

Lineaarisella yhtälöjärjestelmällä, jossa on muuttujien lukumäärä, on ainutlaatuinen ratkaisu silloin ja vain, jos sen päämatriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia. $n$ $n$

Matrix sijoitus

Matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin sen lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden enimmäismäärä.

geometrinen tunne

Vektorit ja ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos ja vain jos ne ovat kollineaarisia (makaa yhdensuuntaisilla viivoilla ). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Vektorit ovat lineaarisesti riippuvaisia, jos ja vain jos ne ovat koplanaarisia (samassa tasossa ). ${\vec {a)],\;{\vec {b)],\;{\vec {c}}$

Perusta

Lineaarisen avaruuden perusta on lineaarisesti riippumattomien vektoreiden maksimijoukko (maksimaalisuus ymmärretään siinä mielessä, että kun tähän joukkoon lisätään mikä tahansa tämän avaruuden vektori, uusi joukko ei ole enää lineaarisesti riippumaton).

Katso myös

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu