Vektorituote

Kahden vektorin vektoritulo kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on molempiin alkuperäisiin vektoreihin nähden kohtisuorassa oleva vektori, jonka pituus on numeerisesti yhtä suuri kuin alkuperäisten vektoreiden muodostaman suunnikkaan pinta-ala ja kahden suunnan valinta määräytyy niin, että tulon vektorien kolmoisjärjestys ja tuloksena oleva vektori ovat oikein . Kollineaaristen vektorien vektoritulon (erityisesti jos ainakin yksi tekijöistä on nollavektori ) katsotaan olevan yhtä suuri kuin nollavektori.

Siten kahden vektorin ristitulon määrittämiseksi on tarpeen määrittää avaruuden orientaatio , eli sanoa, mikä vektoreiden kolmoinen on oikea ja mikä vasen. Tässä tapauksessa ei ole pakollista asettaa mitään koordinaattijärjestelmää tarkasteltavaan tilaan . Erityisesti tietyllä avaruuden orientaatiolla vektoritulon tulos ei riipu siitä, onko tarkasteltu koordinaattijärjestelmä oikea vai vasen. Tässä tapauksessa kaavat, joilla vektoritulon koordinaatit ilmaistaan alkuperäisten vektorien koordinaatteina oikean ja vasemman ortonormaalin suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän suhteen, eroavat etumerkillisesti.

Vektorituotteella ei ole kommutatiivisuuden ja assosiatiivisuuden ominaisuuksia . Se on antikommutatiivinen ja toisin kuin vektorien pistetulo , tuloksena on jälleen vektori.

Hyödyllinen vektorien kohtisuoran "mittaamiseen" - kahden vektorin ristitulon moduuli on yhtä suuri kuin niiden moduulien tulo, jos ne ovat kohtisuorassa, ja pienenee nollaan, jos vektorit ovat kollineaarisia .

Käytetään laajasti monissa teknisissä ja fyysisissä sovelluksissa. Esimerkiksi kulmaliikemäärä ja Lorentzin voima kirjoitetaan matemaattisesti ristitulona.

Historia

Vektoritulon esitteli W. Hamilton vuonna 1846 [1] samanaikaisesti skalaaritulon kanssa kvaternionien yhteydessä - vastaavasti kahden kvaternionin tulon vektori- ja skalaariosana, joiden skalaariosa on nolla [2 ] .

Määritelmä

Vektorin vektoritulo vektorilla kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on vektori , joka täyttää seuraavat vaatimukset: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

vektorin pituus on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien tulo ja kerrotaan niiden välisen kulman sinillä (ts. vektorien ja muodostaman suunnikkaan pinta-ala ); ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vektori on ortogonaalinen kullekin vektorille ja ; ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
vektori on suunnattu siten, että vektoreiden kolmoisosa on oikea . ${\vec {c}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Nimitykset:

{\vec {c}}=[{\vec {a}}{\vec {b}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {b}}]={\ vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {a}}\wedge {\vec {b}}.

Muistiinpanot

Määritelmänä voit käyttää alla kuvattua ristitulolauseketta koordinaateissa oikeanpuoleisessa (tai vasemmassa) suorakulmaisessa koordinaatistossa .

Myös joukko vektoritulon algebrallisia ominaisuuksia voidaan pitää alkumääritelmänä.

Oikea ja vasen vektorin kolmiot kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa

Tarkastellaan ei-kompplanaaristen ( lineaarisesti riippumattomien ) vektorien järjestettyä kolmoisosaa kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Suunnatussa avaruudessa tällainen vektoreiden kolmoisosa on joko "oikea" tai "vasen" . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Geometrinen määritelmä

Yhdistetään vektorien origot yhdessä pisteessä. Kolmiulotteisessa avaruudessa ei-koplanaaristen vektoreiden järjestyttyä kolmiosaa kutsutaan oikeaksi , jos vektorin lopusta lyhin käännös vektorista vektoriin on havaitsijalle nähtävissä vastapäivään . Päinvastoin, jos lyhin käännös nähdään myötäpäivään , kolmea kutsutaan vasemmaksi . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Käden määritelmä

Toinen määritelmä liittyy henkilön oikeaan käteen, josta nimi on otettu. Kuvassa vektorien kolmoisosa , , on oikea . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\times {\vec {b}}$

Algebrallinen määritelmä

On myös analyyttinen tapa määrittää vektorien oikea ja vasen kolmikko, mikä edellyttää oikean tai vasemman koordinaattijärjestelmän asettamista tarkasteltavaan tilaan, ei välttämättä suorakaiteen ja ortonormaalin .

On tarpeen tehdä matriisi, jonka ensimmäinen rivi on vektorin koordinaatit , toinen - vektori , kolmas - vektori . Sitten, riippuen tämän matriisin determinantin merkistä , voimme tehdä seuraavat johtopäätökset: ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {c}}$

Jos determinantti on positiivinen, niin vektoreiden kolmiolla on sama suunta kuin koordinaattijärjestelmällä .
Jos determinantti on negatiivinen, vektorin kolmikon suunta on päinvastainen kuin koordinaattijärjestelmä .
Jos determinantti on nolla, niin vektorit ovat koplanaarisia (lineaarisesti riippuvaisia).

Muistiinpanot

Vektorien "oikean" ja "vasemman" kolmikon määritelmät riippuvat avaruuden suunnasta , mutta ne eivät vaadi koordinaattijärjestelmän määrittämistä tarkasteltavana olevaan avaruuteen , aivan kuten itse vektoritulon määritelmä ei vaadi Tämä. Tässä tapauksessa kaavat vektoritulon koordinaattien ilmaisemiseksi alkuperäisten vektoreiden koordinaattien kautta eroavat etumerkillään oikean ja vasemman suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä .

Kaikki oikeat toistensa suhteen (ja vasen toistensa suhteen) vektoreiden kolmoiskappaleita kutsutaan tasasuuntautuneiksi .

Tietyssä avaruusorientaatiossa koordinaattijärjestelmää kutsutaan oikeaksi ( vasemmaksi ), jos vektoreiden kolmoiskoordinaatit , , on oikea (vasen). ${\näyttötyyli (1,0,0)}$ ${\näyttötyyli (0,1,0)}$ ${\näyttötyyli (0,0,1)}$

Geometrinen määrittely ja määrittely käden avulla itse määräävät tilan suunnan. Algebrallinen määritelmä määrittelee tavan jakaa ei-tasoisten vektorien kolmiot kahteen yhtä suuntautuneiden vektorien luokkaan , mutta se ei määrittele avaruuden suuntausta, vaan käyttää jo annettua - sitä, jonka perusteella annettu koordinaatti järjestelmä katsotaan oikeaksi tai vasemmaksi. Tässä tapauksessa, jos koordinaattijärjestelmän orientaatiota ei tunneta, voit verrata determinantin etumerkkiä toisen ei-tasoisten vektorien kolmion determinantin etumerkkiin, jonka suunta on tiedossa - jos etumerkit ovat samat , silloin kolmiot ovat yhtäsuuntaisia, jos merkit ovat vastakkaisia, kolmiot ovat vastakkain.

Ominaisuudet

Vektorituotteen geometriset ominaisuudet

Kahden nollasta poikkeavan vektorin kolineaarisuuden välttämätön ja riittävä ehto on niiden vektoritulon yhtäläisyys nollaan.
Ristitulon moduuli on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala , rakennettu vektoreille, jotka on pelkistetty yhteiseen origoon ja (katso kuva 1). $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $S$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$
Jos yksikkövektori on ortogonaalinen vektoreihin ja ja ja on valittu siten, että kolmois on oikea, ja on niille rakennetun suunnikkaan pinta-ala (pelkistetty yhteiseen origoon), niin seuraava kaava pätee vektoritulolle : $\vec{e}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {e}}$ $S$

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=S\cdot {\vec {e}}.

Jos on mikä tahansa vektori, onko mikä tahansa taso, joka sisältää tämän vektorin, on yksikkövektori, joka sijaitsee tasossa ja on kohtisuorassa , on yksikkövektori, joka on kohtisuorassa tasoon nähden ja suunnattu siten, että vektorien kolmo on oikea, niin mille tahansa vektorille , joka sijaitsee tasossa kaava on voimassa ${\vec {c}}$ $\pi$ $\vec{e}$ $\pi$ ${\vec {c}}$ ${\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {e}},{\vec {c}},{\vec {g}}$ $\pi$ ${\vec {a}}$

[{\vec {a)],\;{\vec {c}}]=\mathrm {Pr} _{\vec {e}}{\vec {a}}\cdot |{\vec { c}}|\cdot {\vec {g}}.

Vektori- ja skalaarituloja käytettäessä voidaan laskea vektoreihin a , b ja c rakennetun suuntaissärmiön tilavuus, joka on pelkistetty yhteiseen origoon (katso kuva 2). Tällaista kolmen vektorin tuloa kutsutaan sekaksi .

V=|\langle {\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c))]\rangle |.

Kuvasta näkyy, että tämä tilavuus voidaan löytää kahdella tavalla: geometrinen tulos säilyy, vaikka "skalaari" ja "vektori" tulot vaihdetaan:

V=\langle [{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\ ;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]\rangle .

Ristitulon arvo riippuu alkuperäisten vektoreiden välisen kulman sinistä, joten ristituloa voidaan ajatella vektorien "kohtisuoraisuuden" asteena, aivan kuten pistetuloa voidaan ajatella vektorien välisen kulman asteena. "rinnakkais". Kahden yksikkövektorin ristitulo on yhtä suuri kuin 1 (yksikkövektori), jos alkuvektorit ovat kohtisuorassa, ja yhtä suuri kuin 0 (nollavektori), jos vektorit ovat yhdensuuntaisia tai antirinnakkaisia.

Ristitulon algebralliset ominaisuudet

Lisäksi , ja merkitsevät vastaavasti vektorien ja vektorien skalaarituloa . $[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$ $\langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Esitys	Kuvaus
$[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}]$	Antikommutatiivisuus .
$[\alpha \cdot {\vec {a)],\;{\vec {b))]=[{\vec {a)],\;\alpha \cdot {\vec {b))] =\alpha \cdot [{\vec {a)],\;{\vec {b}}]$	Skalaarilla kertomisen assosiatiivisuus .
$[{\vec {a}}+{\vec {b)],\;{\vec {c}}]=[{\vec {a}},\;{\vec {c}}] +[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]$	Jakavuus lisäyksen suhteen.
$[[{\vec {a)],\;{\vec {b))],\;{\vec {c}}]+[[{\vec {b)],\;{\vec {c}}],\;{\vec {a}}]+[[{\vec {c}},{\vec {a}}],\;{\vec {b}}]={\vec {0}}$	Jacobin identiteetti .
$[{\vec {a)],\;{\vec {a}}]={\vec {0}}$
$[{\vec {a)],\;[{\vec {b)],\;{\vec {c}}]]={\vec {b}}\cdot \langle {\vec { a)),\;{\vec {c}}\rangle -{\vec {c}}\cdot \langle {\vec {a)],\;{\vec {b}}\rangle$	Kaava "BAC miinus CAB", Lagrangen identiteetti .
$\|[{\vec {a)],\,{\vec {b))]\|^{2}+\langle {\vec {a)),\,{\vec {b))\rangle ^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\cdot \|{\vec {b}}\|^{2}$	Kvaternion -normin multiplikatiivisuuden erikoistapaus .
$\langle [{\vec {a)],\,{\vec {b))],\,{\vec {c))\rangle =\langle {\vec {a)),\,[ {\vec {b)],\,{\vec {c}}]\rangle$	Tämän lausekkeen arvoa kutsutaan vektorien sekatuloksi , , . $a$ $b$ $c$

Koordinaattilauseke

Oikealla ortonormaalilla perusteella

Jos kaksi vektoria ja edustavat oikealla ortonormaalilla pohjalla koordinaateilla $\vec a$ ${\vec {b))$

{\vec {a}}=(a_{x},\;a_{y},\;a_{z}),

{\vec {b}}=(b_{x},\;b_{y},\;b_{z}),

silloin niiden vektoritulolla on koordinaatit

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y},\;a_{z}b_{ x}-a_{x}b_{z},\;a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}).

Tämän kaavan muistamiseksi on kätevää käyttää mnemonista determinanttia :

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{ x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

missä , , , tai $\mathbf {i} =(1,0,0)$ $\mathbf {j} =(0,1,0)$ $\mathbf {k} =(0,0,1)$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j }b_{k},

missä on Levi-Civita-symboli . $\varepsilon_{{ijk}}$

Vasemmalla ortonormaalilla pohjalla

Jos kanta on vasen ortonormaali, niin koordinaattien vektoritulolla on muoto

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=(a_{z}b_{y}-a_{y}b_{z},\;a_{x}b_{ z}-a_{z}b_{x},\;a_{y}b_{x}-a_{x}b_{y}).

Muistaakseni samalla tavalla:

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_ {x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}},

tai

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]_{i}=-\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\cdot a_{j}\cdot b_{k}.

Vasemmanpuoleisen koordinaatiston kaavat saadaan oikeanpuoleisen koordinaatiston kaavoista kirjoittamalla samat vektorit oikeanpuoleiseen apukoordinaatistoon ( ): $\vec a$ ${\vec {b))$ ${\mathbf i}'={\mathbf i},{\mathbf j}'={\mathbf j},{\mathbf k}'=-{\mathbf k}$

[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}\mathbf {i} '&\mathbf {j} '&\mathbf {k} '\ \a'_{x}&a'_{y}&a'_{z}\\b'_{x}&b'_{y}&b'_{z}\end{vmatrix}}={\begin{ vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &-\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&-a_{z}\\b_{x}&b_{y}&-b_{ z}\end{vmatrix}}=-{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_ {x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.

Mielivaltaisessa affiinisessa koordinaattijärjestelmässä

Satunnaisen affiinin koordinaattijärjestelmän vektoritulolla on koordinaatit $O{\vec {e}}_{1}{\vec {e}}_{2}{\vec {e}}_{3}$

$[{\vec {a)],\;{\vec {b))]={\begin{vmatrix}[{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e} }_{3}]&[{\vec {e}}_{3},\;{\vec {e}}_{1}]&[{\vec {e}}_{1},\; {\vec {e}}_{2}]\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Quaternions

Vektoritulon koordinaatit oikealla ortonormaalilla pohjalla voidaan kirjoittaa myös kvaternionimuodossa , joten kirjaimet , , ovat vakiomuotoinen merkintä orteille in : niitä käsitellään imaginaarisina kvaternioneina. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Huomaa , että ristitulosuhteet , ja vastaavat kvaternionien ja kertolaskusääntöjä . Jos esitämme vektoria kvaternionina , niin kahden vektorin vektoritulo saadaan ottamalla vastaavien kvaternionien tulon vektoriosa. Näiden vektorien pistetulo on vastakohta näiden kvaternionien pistetulolle. ${\mathbf i}$ ${\mathbf j}$ ${\mathbf k}$ $i$ $j$ $k$ $(a_{1},\;a_{2},\;a_{3})$ $a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k$

Muunnos matriisimuotoon

Kahden vektorin vektoritulo koordinaateissa oikealla ortonormaalilla kantalla voidaan kirjoittaa vinosymmetrisen matriisin ja vektorin tuloksi:

[{\vec {a)],\;{\vec {b}}]=[{\vec {a}}]_{\times }{\vec {b}}={\begin{bmatrix }\,0&\!-a_{3}&\,\,a_{2}\\\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\, a_{1}&\,0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}},

[{\vec {b)],\;{\vec {a}}]={\vec {b}}^{T}[{\vec {a}}]_{\times }={ \begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2} \\\,\,\,a_{3}&\,0&\!-a_{1}\\-a_{2}&\,\,a_{1}&\,0\end{bmatrix}},

missä

[{\vec {a}}]_{\times }{\stackrel {\rm {def}}{=}}{\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}& \,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\ ,\,0\end{bmatrix}}.

Olkoon yhtä suuri kuin vektoritulo: ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=[{\vec {c}},\;{\vec {d}}],

sitten

[{\vec {a}}]_{\times }=({\vec {c}}{\vec {d}}^{T})^{T}-{\vec {c}} {\vec {d}}^{T}.

Tämä merkintämuoto mahdollistaa vektoritulon yleistämisen korkeampiin ulottuvuuksiin, jotka edustavat pseudovektoreita ( kulmanopeus , induktio jne.) sellaisina vinosymmetrisinä matriiseina. On selvää, että sellaisilla fysikaalisilla suureilla on itsenäisiä komponentteja -ulotteisessa avaruudessa. Kolmiulotteisessa avaruudessa saadaan kolme itsenäistä komponenttia, joten tällaiset suureet voidaan esittää tämän avaruuden vektoreina. $n(n-1)/2$ $n$

Tämän merkintämuodon kanssa on myös usein helpompi työskennellä (esimerkiksi epipolaarigeometriassa ).

Vektorituotteen yleisistä ominaisuuksista seuraa, että

[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {a}}={\vec {0}}

{\vec {a}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }={\vec {0}},

ja koska se on vinossa-symmetrinen, niin $[{\vec {a}}]_{\times }$

{\vec {b}}^{T}\,[{\vec {a}}]_{\times }\,{\vec {b}}=0.

Tässä merkintämuodossa Lagrangen identiteetti todistetaan helposti (sääntö "BAC miinus CAB").

Laajennus matriiseihin

Kolmiulotteisessa tapauksessa koordinaatteina voidaan määritellä mielivaltaisesti matriisien vektoritulo ja matriisin tulo vektorilla. Tämä tekee yllä olevasta isomorfismista ilmeisen ja antaa meille mahdollisuuden yksinkertaistaa monia laskelmia. Esitetään sitten matriisi vektorisarakkeena $A$

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\times {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\times {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\times {\vec {b}}\end{bmatrix}},

{\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\\{\vec {a}}_{2}\\{\vec {a}}_{3}\end{bmatrix }}\cdot {\vec {b}}={\begin{bmatrix}{\vec {a}}_{1}\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{2 }\cdot {\vec {b}}\\{\vec {a}}_{3}\cdot {\vec {b}}\end{bmatrix}}.

Vasemmalla oleva matriisivektori kertolasku määritellään samalla tavalla, kun se esitetään vektorijonona. Matriisin transponointi muuntaa vektoririvin vektorisarakkeeksi ja päinvastoin. On helppo yleistää monet vektorien relaatiot vektorien ja matriisien relaatioiksi, esimerkiksi ( on matriisi, , ovat vektoreita): $A$ $A$ ${\vec x}$ ${\vec {y}}$

A\cdot ({\vec {x))\times {\vec {y)))=(A\times {\vec {x)))\cdot {\vec {y)),

A\times ({\vec {x}}\times {\vec {y}})={\vec {x}}(A\cdot {\vec {y}})-{\vec {y }} }}(A\cdot {\vec {x}}).

Tämän jälkeen voit muuttaa vektoritulon merkintää:

{\vec {x}}\times {\vec {y}}=E\cdot ({\vec {x}}\times {\vec {y}})=(E\times {\vec { x)))\cdot {\vec {y)),

$E$ on identiteettimatriisi. Tästä on ilmeistä matriisin olemassaolo ja muoto, joka vastaa vektorin kertomista vasemmalla olevalla vektorilla. Vastaavasti voidaan saada lauseke kertolaskumatriisille oikealla olevalla vektorilla. Laajentamalla vektorien operaatioita matriiseihin komponentti-komponentilta, esittämällä ne "vektorivektoreina", vektorien standardirelaatiot yleistyvät helposti matriiseiksi. Esimerkiksi Stokes-lause on muodossa: $\mathbb {R} ^{3}$

\int \limits _{{\Sigma }}\operaattorin nimi {rot}\,{\mathbf {A^{T}}}\,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _{{\partial \Sigma }}{\mathbf {A}}\cdot \,d{\mathbf {r}},

jossa matriisin käpristyminen lasketaan matriisin ja vasemmalla olevan Hamilton-operaattorin vektoritulona (perustan oletetaan olevan oikea ortonormaali). Tässä merkinnässä on erittäin helppo todistaa esimerkiksi seuraavat Stokesin lauseen muodot: $A$ $A$

\int \limits _{{\Sigma }}\operaattorinimi {grad}\,u\times \,{\mathbf {d\Sigma }}=\int \limits _({\partial \Sigma }}u\,d {\mathbf {r}),

\int \limits _{{\Sigma }}\left[{\mathbf {d\Sigma }};\left[\nabla ;{\mathbf a}\right]\right]=\int \limits _{{\ osittainen \Sigma }}{\mathbf a}\times d{\mathbf {r}}.

Mitat eivät ole yhtä suuria kuin kolme

Olkoon tilan ulottuvuus . $n$

Vektoritulo, jolla on kaikki tavallisen kolmiulotteisen vektorituotteen ominaisuudet, eli binäärinen bilineaarinen antisymmetrinen ei-degeneroitunut kartoitus , voidaan ottaa käyttöön vain ulottuvuuksille 3 ja 7 . ${\mathbb {R}}^{n}\kertaa {\mathbb {R}}^{n}\to {\mathbb {R}}^{n}$

On kuitenkin olemassa yksinkertainen yleistys muihin luonnollisiin ulottuvuuksiin alkaen 3:sta ja tarvittaessa ulottuvuuteen 2 (jälkimmäinen kuitenkin suhteellisen spesifisellä tavalla). Sitten tämä yleistys, toisin kuin edellä kuvattu mahdoton, ei esitetä vektoriparille, vaan vain tekijävektorijoukolle. Se on melko analoginen sekatulon kanssa, joka on luonnollisesti yleistetty -ulotteisessa avaruudessa operaatioon tekijöiden kanssa. Käyttämällä Levi-Civita-symbolia indeksien kanssa voidaan kirjoittaa eksplisiittisesti sellainen -valentti ristitulo kuin $(n-1)$ $n$ $n$ $\varepsilon _{{i_{1}i_{2}i_{3}\ldots i_{n}}}$ $n$ $(n-1)$

P_{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\dotsc )=\sum _{j,k,m,\dotsc =1}^{n}\ varepsilon _{ijk\ldots }a_{j}b_{k}c_{m}\ldots =\det \left({\begin{pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf { e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots \right)\cdot \mathbf {e_{i}} ,

$\mathbf {P} (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\ldots ,\mathbf {a_{n-1}} )=\det \left({\begin {pmatrix}\mathbf {e_{1}} \\\vdots \\\mathbf {e_{n}} \end{pmatrix}},\mathbf {a_{1}},\mathbf {a_{2}}, \ldots ,\mathbf {a_{n-1}} \right)={\begin{vmatrix}\mathbf {e_{1}} &\mathbf {e_{2}} &\cdots &\mathbf {e_{n }} \\a_{1_{1}}&a_{1_{2}}&\cdots &a_{1_{n}}\\a_{2_{1}}&a_{2_{2}}&\cdots &a_{2_ {n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n-1_{1}}&a_{n-1_{2}}&\cdots &a_{n-1_{n}}\ end{vmatrix}}.$

Tällainen yleistys tuottaa hyperalueen . $n-1$

Jos sinun on esitettävä operaatio vain kahdelle tekijälle, jolla on geometrinen merkitys, joka on erittäin lähellä vektoritulon merkitystä (eli edustaa suunnattua aluetta), tulos ei ole enää vektori, koska tekijät. Voidaan ottaa käyttöön bivektori , jonka komponentit ovat yhtä suuria kuin vektoriparin kattaman suuntaviivan suuntaisen alueen projektiot koordinaattitasoille: $n\neq 3$

\ P_{{ij))({\mathbf {a,b))=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}

Tätä rakennetta kutsutaan ulkotuotteeksi .

Kaksiulotteisessa tapauksessa operaatio

\ P({\mathbf {a,b}})=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}

kutsutaan pseudoskalaariseksi tuloksi, koska tuloksena oleva avaruus on yksiulotteinen ja tulos on pseudoskalaarinen . (Yllä kuvattu kahden indeksin ulkotulo voidaan ottaa käyttöön myös kaksiulotteiselle avaruudelle, mutta se liittyy ilmeisesti melko triviaalisti pseudoskalaarituloon, eli ulkotuloa edustaa tässä tapauksessa matriisi, jonka diagonaalissa on nollia. , ja loput kaksi diagonaalista poikkeavaa elementtiä ovat yhtä suuria kuin pseudoskalaaritulo ja miinus pseudoskalaaritulo.)

Vektorien valealgebra

Vektoritulo esittelee Lie-algebran rakenteen (koska se täyttää molemmat aksioomit - antisymmetria ja Jacobin identiteetti ). Tämä rakenne vastaa identifiointia kolmiulotteisen avaruuden ortogonaalisten lineaarimuunnosten Lie-ryhmän tangentin Lie-algebran kanssa. ${\mathbb {R}}^{{3}}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $niin (3)$ $SO(3)$

Katso myös

Vektorien tuotteet

Pseudoskalaarituote (vain lentokoneessa!)
Vektorien pistetulo
Vektorien sekatulo (skalaarivektori) (vain ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Vektorien kaksoistulo (vektori-vektori) (vain ) ${\mathbb {R}}^{{3}}$
Vektorituote seitsemänulotteisessa avaruudessa

muu

Muistiinpanot

↑ Crowe MJ : Vektorianalyysin historia - Vektorijärjestelmän idean kehitys . - Courier Dover Publications, 1994. - S. 32. - 270 s. — ISBN 0486679101 .
↑ Hamilton WR on Quaternions; tai Algebran uudesta mielikuvitusjärjestelmästä // Philosophical Magazine. 3. sarja. - Lontoo, 1846. - T. 29 . - S. 30 .

Kirjallisuus

1. Kochin N.E. Vektorilaskenta ja tensorilaskennan alku. Neuvostoliiton tiedeakatemia: Kustantaja "NAUKA", M. 1965.

Linkit

Multidimensional Vector Art Arkistoitu 5. syyskuuta 2015 Wayback Machinessa
Vektorituote ja sen ominaisuudet. Ongelmanratkaisuesimerkkejä arkistoitu 23. helmikuuta 2011 Wayback Machinessa
V. I. Gervids. Kierto oikealle ja vasemmalle . NRNU MEPhI (10.03.2011). - Fyysiset esitykset. Haettu 3. toukokuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 23. joulukuuta 2015. (määrätön)

Vektorit ja matriisit

Vektorit

Peruskonseptit	Vektori geometriassa Perusta Ortogonaalinen perusta Vektorikoordinaatit Kollineaarisuus Ortogonaalisuus Lineaarinen riippuvuus Saraketila
Vektorityypit	Yksikkövektori Aksiaalinen vektori isotrooppinen vektori Normaali Kollineaarisuus Nolla vektori Sädevektori Omavektori
Operaatiot vektoreille	Skalaarituote vektorituote sekoitettu tuote Pseudoskalaarinen tuote Kaksinkertainen ristituote
Tilatyypit	vektoriavaruus affinista tilaa Euklidinen avaruus Pseudoeuklidinen avaruus Normaali tila Minkowskin tila

matriiseja

Peruskonseptit	Matriisin kertolasku Transponoitu matriisi Hermitian konjugaattimatriisi Symmetrinen matriisi käänteinen matriisi Ominaisarvo Matriisin karakteristinen polynomi
Erikoismatriisit	Identiteettimatriisi Nolla matriisi Diagonaalinen matriisi lambda matriisi
Matriisihajotukset	LU:n hajoaminen Cholesky-hajoaminen QR-hajotus LUP-hajoaminen singulaariarvon hajottelu Matriisin spektrihajotus

muu