Jacobin identiteetti
Jacobi-identiteetti on matemaattinen identiteetti bilineaariselle operaatiolle lineaarisessa avaruudessa . Sillä on seuraava muoto:
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon V\times V\rightarrow V}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f4446c9272ec2703bfe4bbd3ba41c037963e7e4)
![{\displaystyle \forall \,x,y,z\in V\colon [[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb8920707b85494eb03da6871bec5571cff6735)
Nimetty Carl Gustav Jacobin mukaan .
Jacobin identiteetin käsite yhdistetään yleisesti Lie algebroihin .
Esimerkkejä
Seuraavat toiminnot täyttävät Jacobi-identiteetin:
- Käyttäjän kytkin
- kommutaattori Lie algebrassa
- Vektorikenttien hakasulkeet
- Poissonin funktioiden hakasulkeet symplektisessa jakoputkessa
- Vektorien ristitulo
Merkitys Lie algebroissa
Jos kertolasku on antikommutatiivinen , niin Jacobin identiteetti voidaan antaa hieman eri muodossa käyttämällä Lie-algebran adjungoitua esitystä :
![[\cdot ,\cdot]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28dd4c22d60192519c1c12cf645b040f368db9e9)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\colon y\mapsto [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17a83dfae0bc4af7168c95b97f8a08b393240b15)
Jacobi-identiteetin kirjoittaminen lomakkeeseen
![{\displaystyle [x,[y,z]]=[y,[x,z]]+[[x,y],z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1d62c71fd1a76785dae82442e4ef59d942e21d)
saamme, että se vastaa operaattorin Leibnizin säännön täyttymisen ehtoa :
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\,[y,z]=[\mathrm {ad} _{x}\,y,z]+[y,\mathrm {ad} _{x}\ ,z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199849564813f5f6c0799e3e713c96f0e8a91fbc)
Siten se on johdannainen Lie-algebrassa. Jokaista tällaista johdannaista kutsutaan sisäiseksi .
Jacobi-identiteetille voidaan antaa myös muoto
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{[x,y]}=[\mathrm {ad} _{x},\mathrm {ad} _{y}]=\mathrm {ad} _{x}\mathrm {ad} _{y}-\mathrm {ad} _{y}\mathrm {ad} _{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9745ac751109b24010afa01d69a8ca5d2e467a09)
Tämä tarkoittaa, että operaattori määrittelee tietyn Lie-algebran homomorfismin sen johdannaisten Lie-algebraksi.
Arvosteltu Jacobi-identiteetti
Olkoon asteittainen algebra ja kertolasku siinä. Sanomme, että kertolasku tyydyttää arvostetun Jacobi-identiteetin , jos jollekin elementille
![{\displaystyle [\omega _{m},[\omega _{k},\omega _{l}]=[[\omega _{m},\omega _{k}],\omega _{l} ]+(-1)^{mk}[\omega _{k},[\omega _{m},\omega _{l}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a325f6e7ec5c033017c3b8c8716d1cb922e9151b)
Esimerkkejä
- ulkoisten muotojen algebra ;
- differentiaalimuotojen johdannaisten algebra ;
- tangentiaalisesti arvostettujen muotojen algebra kertolaskulla FN -sulkeilla tai NR -suluilla;