Valhe algebra

Lie-algebra on yleisalgebran objekti , joka on vektoriavaruus, jolle on määritelty antikommutatiivinen bilineaarinen operaatio (kutsutaan Lie-suljeeksi tai kommutaattoriksi), joka täyttää Jacobin identiteetin . Yleensä Lie-algebra on ei -assosiatiivinen algebra. Se on nimetty norjalaisen matemaatikon Sophus Lie ( 1842-1899 ) mukaan.

Lie - algebra esiintyy luonnollisesti Lie - ryhmien infinitesimaalien ominaisuuksien tutkimuksessa . Fysiikassa Lie-ryhmät esiintyvät fysikaalisten järjestelmien symmetriaryhminä ja niiden Lie-algebroita (lähellä yksikköä olevia tangentiaalivektoreita) voidaan pitää äärettömän simaalisen symmetrian liikkeinä. Valheryhmiä ja algebroita käytetään laajalti kvanttifysiikassa.

Määritelmä

Lie-algebra (muuten Lie-algebra) on vektoriavaruus kentän päällä , joka on varustettu bilineaarisella kartoituksella $\mathfrak{L}$ $K$

{\mathfrak {L}}^{2}\to {\mathfrak {L}},\ \ (x,y)\mapsto [x,y],

jotka täyttävät seuraavat kaksi aksioomaa :

$[x,x]=0$ ;
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ ( Jakobin identiteetti ).

Toisin sanoen Lie-algebralle annetaan antikommutatiivinen operaatio, joka tyydyttää Jacobin identiteetin . Tätä toimintoa kutsutaan kommutaattoriksi tai lie - haarukeeksi .

Muistiinpanot

Identiteetti viittaa operaattorin antikommutatiivisuuteen, . Itse asiassa identiteetti seuraa operaattorin bilineaarisuudesta . $[x,x]=0$ ${\näyttötyyli [x,y]=-[y,x]}$ $[x,y]+[y,x]=[x+y,x+y]-[x,x]-[y,y]$
Jos kentän ominaisuus on , niin myös päinvastoin: identiteetti seuraa antikommutatiivisuudesta . ${\mathrm {char}}(K)\neq 2$ $[x,y]+[y,x]=0$ $[x,x]=0$
Käsitteet osaalgebra , ideaali , osamääräalgebra ja homomorfismi määritellään tavalliseen tapaan.
Joskus Lie-algebran määritelmässä vektoriavaruus korvataan moduulilla ( yksikön kommutatiivisen renkaan yli ).

Esimerkkejä

3-ulotteinen vektoriavaruus

Tavallinen kolmiulotteinen vektoriavaruus on Lie-algebra ristitulooperaation suhteen .

Lineaariset Lie-algebrat

Käytetään myös termiä matriisi Lie algebra .

Jos on äärellinen -ulotteinen vektoriavaruus yli ( ), niin sen lineaarimuunnosten joukko on myös vektoriavaruus yli . Sillä on ulottuvuus ja se voidaan esittää matriisien tilana . Tässä vektoriavaruudessa on annettu luonnollinen kertolasku (muunnosten koostumus). Määritellään Lie-sulun toiminta kaavalla . Tällä tavalla esitelty avaruus Lie-sululla täyttää kaikki Lie-algebran aksioomat. $V$ $K$ ${\mathrm {dim}}\;V=n$ ${\mathrm {End}}\;V$ $K$ ${\mathrm {dim}}({\mathrm {End}}\;V)=n^{2}$ $n\ kertaa n$ $[x,y]=xy-yx$ ${\mathrm {End}}\;V$

Tuloksena olevan Lie-algebran erottamiseksi alkuperäisestä lineaarimuunnosten assosiatiivisesta algebrasta se merkitään . Tätä Lie-algebraa kutsutaan täydelliseksi lineaariseksi Lie-algebraksi . Äärettömän ulottuvuuden avaruuden V tapauksessa käytetään myös merkintää . Mitä tahansa osaalgebraa kutsutaan lineaariseksi Lie- algebraksi ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$ ${\mathfrak {gl}}\;(V)$

Assosiatiiviset algebrat ja Lie-algebrat

Olkoon mielivaltainen assosiatiivinen algebra kertolaskulla : → . Sillä on luonnollinen Lie-algebran rakenne yli , jos määritämme Lie-sulun assosiatiivisella kertolaskulla kaavalla: , tätä lauseketta kutsutaan kommutaattoriksi . ${\mathfrak {A}}$ $K$ $(x,y)$ $xy$ $K$ $[x,y]=xy-yx$

Käänteisoperaatio, Lie-algebran mukaan, muodostetaan jokin assosiatiivinen algebra, jota kutsutaan universaaliksi vaippaalgebraksi . Alkuperäinen Lie-algebra on upotettu rakennettuun assosiatiiviseen algebraan.

Vektorikenttien lie algebra

Jos M on sileä monisto , niin kaikkien sille määriteltyjen differentioituvien vektorikenttien avaruus muodostaa äärettömän ulottuvuuden Lie-algebran. Toimintoa, joka muuttaa vektorikentät Lie-algebraksi, voidaan kuvata useilla vastaavilla tavoilla.

Y - kentän Lie-derivaatta käyttäminen X -kentän suunnassa :

[X,Y]\vastaava L_{X}Y

Jos monistossa on annettu paikallinen koordinaattijärjestelmä , niin koordinaatistossa vektorikenttien kommutaattori on yhtä suuri kuin $(t_{1},...,t_{n})$

[X,Y]^{i}=X^{j}\osittainen _{j}Y^{i}-Y^{j}\osittainen _{j}X^{i},

jossa, kuten tavallista, summaus toistuvan indeksin j yli on oletettu ja

\partial _{j}Y^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))Y^{i} (t_{1},...,t_{n})

\partial _{j}X^{i}(t_{1},...,t_{n})={\frac {\partial }{\partial t_{{j))))X^{i} (t_{1},...,t_{n})

— funktioiden osittaiset derivaatat suuntiin t j .

Y^{i}(t_{1},...,t_{n}),X^{i}(t_{1},...,t_{n})

Valitsemalla mielivaltaisen Riemannin metriikan jakoputkelle voidaan osoittaa tämä

[X,Y]=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X

, missä ovat vektorikentät ja on kovarianttiderivaata vektorikentän X suunnan suhteen. Ekvivalenssi edellä annettujen määritelmien kanssa osoittaa, että tulos on itse asiassa riippumaton metriikan valinnasta.

X,Y

\nabla _{X}

Vektorikentät yksi yhteen vastaavat funktioiden algebran johdannaisia monissa, johdannaisten kommutaattori on jälleen derivaatio (katso seuraava kappale) ja määrittelee siten vektorikentän.

Vektorikenttäalgebran Jacobi-identiteetti voidaan kirjoittaa uudelleen Leibnizin säännöksi Lie-derivaattalle:

[X,[Y,Z]]=[[X,Y],Z]+[Y,[X,Z]]\Pitkävasen oikea nuoli L_{X}[Y,Z]=[L_{X}Y,Z] +[Y,L_{X}Z]

Huomautus: Moniston diffeomorfismiryhmää tulisi epävirallisesti pitää "Lie-ryhmänä" moniston vektorikenttien Lie-algebralle. Vaikka äärettömän ulottuvuuden tapauksessa ryhmien ja Lie-algebroiden välinen vastaavuus ei ole muodollista, monet ominaisuudet ovat kuitenkin helposti yleistettävissä (vaikka jotkut lakkaavat olemasta totta).

Kaikkien K-algebroiden ja Lie-algebroiden johdannaisten joukko

Algebran derivointi on lineaarinen kuvaus, joka täyttää Leibnizin säännön tulon. Kaikkien johdannaisten joukkoon vektorialiavaruus. Kahden derivaation kommutaattori on jälleen derivaatio, samoin on aligebra in. ${\mathfrak {A}}$ $\delta :{\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}$ $\delta (ab)=a\delta (b)+\delta (a)b$ $\operaattorin nimi {Der}\;{\mathfrak {A}}$ $\operaattorinimi {Loppu}\;{\mathfrak {A}}$ $\operaattorin nimi {Der}\;{\mathfrak {A}}$ ${\mathfrak {gl(A)))$

Satunnaisten algebrojen johtamisen ohella voidaan tarkastella erityistä Lie-algebran johtamistapausta . Lie-algebroissa jotkut johdannaiset syntyvät luonnollisella tavalla. Liittyvät endomorfismit ovat muodon Lie-algebran johdannaisia . Tällaisia johdannaisia kutsutaan sisäisiksi , loput ulkoisiksi . Mappausta kutsutaan Lie-algebran adjointiseksi esitykseksi . $L$ $L$ $\operaattorinimi {ad}\;x\kaksoispiste y\-[x,y];x,y\in L$ $L\to \operaattorinnimi {Der}\;L;\;x\mapsto \operatorname {ad}\;x$

Sisäisistä johdannaisista muodostuu osaalgebra , joka on isomorfinen algebran tekijäalgebran kanssa sen keskustan suhteen . $\operaattorin nimi {Der}(L)$ $\operaattorinimi {ad}\;L$ $L/Z(L)$ $L$ $Z(L):=\{x\in L\mid [x,y]=0;\all y\in L\}$

Katso myös

Kirjallisuus

Serre J.-P. Lie Algebras and Lie Groups Arkistokopio 20. helmikuuta 2007 Wayback Machinessa
Fysiikan ja matematiikan kirjaston resurssit arkistoitu 14. heinäkuuta 2007 EqWorld-verkkosivuston Wayback Machinessa - "The World of Mathematical Equations" Arkistoitu 3. lokakuuta 2008 Wayback Machinessa .
Seminaari "Sophus Lie". Lie-algebran teoria. Lie-ryhmien topologia. — M .: IL, 1962 (djvu) .
Nomizu K. Valheryhmät ja differentiaaligeometria. - M .: IL, 1960 (djvu)
Bourbaki N. Lie ryhmät ja algebrat. Luvut I-III. M.: Mir, 1976. 496 s.
Bourbaki N. Lie ryhmät ja algebrat. Luku IX. M.: Mir, 1986. 174 s.
Humphries J. Johdatus Lie-algebroiden teoriaan ja niiden esityksiin - M .: MTsNMO, 2003.

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX535297 BNF : 119444791 GND : 4130355-6 J9U : 987007529233905171 LCCN : sh85076782 NDL : 00567367 NKC : ph234835 SUDOC : 027392600