Koordinaattijärjestelmä

Koordinaattijärjestelmä on joukko määritelmiä, jotka toteuttavat koordinaattimenetelmän , eli tavan määrittää pisteen tai kappaleen sijainti ja liike käyttämällä numeroita tai muita symboleja. Numerojoukkoa, joka määrittää tietyn pisteen sijainnin, kutsutaan tämän pisteen koordinaateiksi .

Matematiikassa koordinaatit ovat joukko numeroita, jotka liittyvät moniston pisteisiin tietyn kartan jossain kartassa .

Alkeisgeometriassa koordinaatit ovat suureita , jotka määrittävät pisteen sijainnin tasossa ja avaruudessa. Tasossa pisteen sijainti määräytyy useimmiten etäisyyksillä kahdesta suorasta (koordinaattiakselista), jotka leikkaavat yhdessä pisteessä (origossa) suorassa kulmassa; yhtä koordinaateista kutsutaan ordinaatiksi ja toista kutsutaan abskissaksi . Avaruudessa Descartes-järjestelmän mukaan pisteen sijainti määräytyy etäisyyden perusteella kolmesta koordinaattitasosta, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä suorassa kulmassa toisiinsa nähden, tai pallokoordinaateilla , joissa koordinaattien origo on koordinaattien keskipisteessä. pallo.

Maantieteessä koordinaatit valitaan ( likimäärin ) pallomaiseksi koordinaattijärjestelmäksi – leveysaste , pituusaste ja korkeus tunnetun yhteisen tason (kuten valtameren) yläpuolella. Katso maantieteelliset koordinaatit .

Tähtitiedessä taivaankoordinaatit ovat järjestetyt kulmasuureet (esimerkiksi oikea nousu ja deklinaatio ), jotka määrittävät valojen ja apupisteiden sijainnin taivaanpallolla. Tähtitiedessä käytetään erilaisia taivaankoordinaattijärjestelmiä. Jokainen niistä on olennaisesti pallomainen koordinaattijärjestelmä (ilman säteittäistä koordinaattia), jolla on asianmukaisesti valittu perustaso ja origo. Perustason valinnasta riippuen taivaankoordinaatistoa kutsutaan vaakasuuntaiseksi (horisonttitaso), ekvatoriaaliseksi (ekvatoriaalinen taso), ekliptikaksi (ekliptinen taso) tai galaksiksi ( galaktinen taso).

Yleisimmin käytetty koordinaattijärjestelmä on suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (tunnetaan myös nimellä suorakulmainen koordinaattijärjestelmä ).

Koordinaatit tasossa ja avaruudessa voidaan syöttää lukemattomilla eri tavoilla. Kun ratkaiset tietyn matemaattisen tai fyysisen ongelman koordinaattimenetelmällä, voit käyttää erilaisia koordinaattijärjestelmiä valitsemalla se, jossa ongelma ratkaistaan tässä tapauksessa helpommin tai kätevämmin. Tunnettu koordinaattijärjestelmän yleistys ovat viitekehykset ja viitejärjestelmät .

Perusjärjestelmät

Tässä osiossa selitetään perusmatematiikan yleisimmin käytetyt koordinaattijärjestelmät.

Suorakulmaiset koordinaatit

Pisteen P sijainti tasossa määritetään suorakulmaisilla koordinaateilla käyttämällä numeroparia $(x,y):$

$x$ on etäisyys pisteestä P y - akseliin etumerkki huomioiden
$y$ on etäisyys pisteestä P x - akseliin etumerkki huomioiden

Avaruudessa tarvitaan kolme koordinaattia $(x, y, z):$

$x$ on etäisyys pisteestä P tasoon yz
$y$ on etäisyys pisteestä P tasoon xz
$z$ on etäisyys pisteestä P xy - tasoon

Napakoordinaatit

Tasolle sovelletussa napakoordinaatistossa pisteen P sijainti määräytyy sen etäisyyden origosta r = |OP| ja sen sädevektorin kulma φ akseliin Ox .

Avaruudessa käytetään polaaristen koordinaattien yleistyksiä - sylinterimäisiä ja pallomaisia koordinaattijärjestelmiä.

Sylinterimäiset koordinaatit

Sylinterimäiset koordinaatit ovat polaaristen koordinaattien kolmiulotteinen analogi, jossa piste P on esitetty järjestetyllä kolmiolla. $(r,\varphi ,z).$

$0\leqslant {r}$ ( säde ) on etäisyys z - akselista pisteeseen P ,
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ ( atsimuutti tai pituusaste) - x -akselin positiivisen ("plus") osan ja napasta pisteeseen P vedetyn ja xy -tasolle projisoidun segmentin välinen kulma .
$z$ (korkeus) on yhtä suuri kuin pisteen P suorakulmainen z -koordinaatti .

Huomautus: kirjallisuudessa ensimmäiselle (säteittäiselle) koordinaatille käytetään joskus merkintää ρ , toiselle (kulma- tai atsimuutti) - merkintä θ , kolmannelle koordinaatille - merkintä h .

Napakoordinaateilla on yksi haittapuoli: φ :n arvoa ei ole määritelty kohdassa r = 0 .

Sylinterimäiset koordinaatit ovat hyödyllisiä tutkittaessa järjestelmiä, jotka ovat symmetrisiä jonkin akselin suhteen. Esimerkiksi pitkällä sylinterillä, jonka säde R on suorakulmaisissa koordinaateissa (jossa z -akseli osuu sylinterin akseliin), on yhtälö , kun taas sylinterimäisissä koordinaateissa se näyttää paljon yksinkertaisemmalta, koska r = R . $x^{2}+y^{2}=R^{2},$

Pallokoordinaatit

Pallomaiset koordinaatit ovat napaisten kolmiulotteinen analogi.

Pallomaisessa koordinaattijärjestelmässä pisteen P sijainti määritellään kolmella komponentilla: Suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä, $(\rho ,\varphi ,\theta ).$

$0\leqslant\rho$ (säde) on etäisyys pisteestä P napaan,
$0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (atsimuutti tai pituusaste) - positiivisen ("plus") puoliakselin x ja napasta vedetyn segmentin projektion välinen kulma xy - tason pisteeseen P.
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (leveysaste tai napakulma) - positiivisen ("plus") puoliakselin z ja napasta pisteeseen P vedetyn segmentin välinen kulma.

Huomautus: Kirjallisuudessa atsimuutti on joskus merkitty θ :lla ja napakulma φ :llä . Joskus säteittäisen koordinaatin ρ :n sijaan käytetään r :tä . Lisäksi atsimuutin kulma-alueeksi voidaan valita (−180°, +180°] alueen [0°, +360°) sijaan. Lopuksi napakulmaa ei voida mitata z -akselin positiivisesta suunnasta , vaan xy -tasosta ; tässä tapauksessa se on alueella [−90°, +90°] eikä alueella [0°, 180°]. Joskus koordinaattien järjestys kolmiossa valitaan erilaiseksi kuin kuvattu; esimerkiksi napa- ja atsimuuttikulmat voidaan vaihtaa.

Pallomaisessa koordinaattijärjestelmässä on myös haittapuoli: φ ja θ eivät ole määriteltyjä, jos ρ = 0; kulmaa φ ei myöskään ole määritelty raja-arvoille θ = 0 ja θ = 180° (tai arvolle θ = ±90°, jos tämän kulman sopiva alue hyväksytään).

Pisteen P rakentamiseksi sen pallokoordinaattien mukaan on tarpeen asettaa sivuun ρ :n suuruinen segmentti napasta positiivista puoliakselia z pitkin , kiertää sitä kulman θ verran y -akselin ympäri positiivisen suunnassa. puoliakseli x , ja kierrä sitä sitten kulman θ verran z -akselin ympäri positiivisen puoliakselin y suunnassa .

Pallomaiset koordinaatit ovat hyödyllisiä tutkittaessa järjestelmiä, jotka ovat symmetrisiä pisteen suhteen. Joten pallon yhtälö, jonka säde on R suorakulmaisissa koordinaateissa pallon keskipisteen origon kanssa, näyttää tältä , kun taas pallomaisissa koordinaateissa siitä tulee paljon yksinkertaisempi: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ $\rho=R.$

Muut yleiset koordinaattijärjestelmät

Affine (viisto) koordinaattijärjestelmä on suoraviivainen koordinaattijärjestelmä affiinissa avaruudessa . Tasossa annetaan origopiste O ja kaksi järjestettyä ei - kollineaarista vektoria , jotka edustavat affinista kantaa . Tässä tapauksessa koordinaattiakselit ovat suoria viivoja, jotka kulkevat alkupisteen kautta samansuuntaisesti kantavektoreiden kanssa, jotka puolestaan asettavat akselien positiivisen suunnan. Kolmiulotteisessa avaruudessa affiininen koordinaattijärjestelmä saadaan lineaarisesti riippumattomien vektorien kolmiosasta ja lähtöpisteestä. Jonkin pisteen M koordinaattien määrittämiseksilasketaan vektorin OM laajenemiskertoimet kantavektoreina [1] .

Barysentriset koordinaatit esitteli ensimmäisen kerran vuonna 1827 A. Möbius , joka ratkaisi kolmion kärjessä sijaitsevien massojen painopisteen kysymystä . Ne ovat affinisia invariantteja, ne ovat yleisten homogeenisten koordinaattien erikoistapaus . Piste, jolla on barysentriset koordinaatit, sijaitsee n - ulotteisessa vektoriavaruudessa E n , kun taas varsinaiset koordinaatit viittaavat kiinteään pistejärjestelmään, joka ei sijaitse ( n − 1)-ulotteisessa aliavaruudessa. Barysentrisiä koordinaatteja käytetään myös algebrallisessa topologiassa simpleksin pisteiden suhteen [2] .

Bangulaariset koordinaatit ovat kaksikeskisten koordinaattien erikoistapaus, tasossa oleva koordinaattijärjestelmä, jonka muodostavat kaksi kiinteää pistettä C 1 ja C 2 ja joiden läpi piirretään suora viiva, joka toimii abskissa-akselina. Jonkin pisteen P sijainti , joka ei ole tällä suoralla, määräytyy kulmien PC 1 C 2 ja PC 2 C 1 avulla .

Bipolaarisille koordinaateille [3] on tunnusomaista se, että tässä tapauksessa kaksi ympyräperhettä, joiden navat A ja B , sekä niihin nähden kohtisuorat ympyräperheet toimivat koordinaattiviivoina tasossa. Kaksinapaisten koordinaattien muuntaminen suorakulmaisiksi suorakaiteen muotoisiksi suoritetaan erityisten kaavojen avulla. Bipolaarisia koordinaatteja avaruudessa kutsutaan bisfäärisiksi; tässä tapauksessa koordinaattipinnat ovat palloja , ympyränkaarien pyörimisen muodostamia pintoja sekäakselin O z läpi kulkevia puolitasoja [4] .

Kaksikeskiset koordinaatit - mikä tahansa koordinaattijärjestelmä, joka perustuu kahteen kiinteään pisteeseen ja jonka sisällä jonkin muun pisteen sijainti määräytyy pääsääntöisesti sen poistumisasteella tai yleensä sijainnilla näihin kahteen pääpisteeseen nähden. Tällaiset järjestelmät voivat olla varsin hyödyllisiä tietyillä tieteellisen tutkimuksen aloilla [5] [6] .

Kaksisylinteriset koordinaatit - koordinaattijärjestelmä, joka muodostuu, kun O xy -tason kaksinapainen koordinaattijärjestelmä siirretään rinnakkain O z - akselia. Koordinaattipinnat ovat tässä tapauksessa ryhmä pyöreitä sylinteripareja , joiden akselit ovat yhdensuuntaiset, ryhmä pyöreitä sylintereitä, jotka ovat kohtisuorassa niihin, ja taso. Erikoiskaavoja käytetään myös kolmiulotteisen avaruuden kaksisylinteristen koordinaattien muuntamiseen suorakulmaisiksi suorakaiteen muotoisiksi [7] .

Dipolaarikoordinaatit ovat kolmiulotteinen kaareva lineaarinen ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä, joka perustuu pistedipoliin, tarkemmin sanottuna sen koordinaattimuunnosinvarianteihin. Yksi invarianteista on ekvipotentiaalipinta , joka toimii koordinaattipinnana; toinen invariantti on vektorikentän voimalinjat , jotka ovat kohtisuorassa ekvipotentiaalipintoja vastaan. Pallomaisten tai karteesisten koordinaattien muuntaminen dipolaarisiksi suoritetaan erityisten kaavojen avulla.

Kartiokoordinaatit ovat kolmiulotteinen ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä, joka koostuu samankeskisistä palloista, jotka kuvataan niiden säteellä , ja kahdesta kohtisuorasta kartioperheestä , jotka sijaitsevat x- ja z -akseleita pitkin [8] .

Rindlerin koordinaatteja käytetään ensisijaisesti suhteellisuusteorian puitteissa ja ne kuvaavat tasaisen aika-avaruuden osaa , jota kutsutaan yleisesti Minkowski-avaruudeksi . Erityisessä suhteellisuusteoriassa tasaisesti kiihtyvä hiukkanen on hyperbolisessa liikkeessä ja jokaiselle tällaiselle hiukkaselle voidaan valita Rindler-koordinaateissa sellainen vertailupiste , johon nähden se on levossa.

Paraboliset koordinaatit ovat kaksiulotteinen ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä, jossa koordinaattiviivat ovat kokoelma konfokaalisia paraboleja . Kolmiulotteinen parabolisten koordinaattien muunnos muodostetaan kiertämällä kaksiulotteinen järjestelmänäiden paraabelien symmetria-akselin ympäri . Parabolisilla koordinaatteilla on myös monia mahdollisia käytännön sovelluksia: niitä voidaan käyttää erityisesti Stark-ilmiön suhteen . Paraboliset koordinaatit yhdistetään tietyllä suhteella suorakaiteen muotoisiin suorakulmaisiin koordinaatteihin [9] .

Projektiiviset koordinaatit ovat nimen mukaan projektitiiviavaruudessa P n ( K ) ja edustavat yksi-yhteen vastaavuutta sen elementtien ja kappaleen K alkioiden äärellisten osajoukkojen luokkien välillä , joille on tunnusomaista ekvivalenssi- ja järjestysominaisuudet. . Projektiivisten aliavaruuksien projektiivisten koordinaattien määrittämiseksi riittää, että määritetään vastaavat projektitiivisen avaruuden pisteiden koordinaatit. Yleisessä tapauksessa, suhteessa johonkin perustaan, projektitiiviset koordinaatit otetaan käyttöön puhtaasti projektiivisin keinoin [10] .

Toroidaalinen koordinaattijärjestelmä on kolmiulotteinen ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä, joka saadaan kiertämällä kaksiulotteista bipolaarista koordinaattijärjestelmää sen kaksi polttopistettä erottavan akselin ympäri. Kaksinapaisen järjestelmän polttopisteet muuttuvat vastaavasti renkaaksi, jonka säde on toroidisenkoordinaattijärjestelmän xy -tasolla, kun taas z - akselista tulee järjestelmän pyörimisakseli. Polttorengasta kutsutaan joskus myös perusympyräksi [11] .

Trilineaariset koordinaatit ovat yksi esimerkeistä homogeenisista koordinaateista ja perustuvat annettuun kolmioon, joten pisteen sijainti määräytyy suhteessa tämän kolmion sivuihin - pääasiassa etäisyysasteella niistä, vaikka muutkin muunnelmat ovat mahdollisia. Trilineaariset koordinaatit voidaan muuntaa suhteellisen helposti barysentrisiksi; lisäksi ne ovat myös muunnettavissa kaksiulotteisiksi suorakaiteen muotoisiksi koordinaateiksi, joihin käytetään vastaavia kaavoja [12] .

Sylinterimäiset paraboliset koordinaatit ovat kolmiulotteinen ortogonaalinen koordinaattijärjestelmä, joka saadaan kaksiulotteisen parabolisen koordinaattijärjestelmän tilamuunnoksen tuloksena. Koordinaattipinnat ovat vastaavasti konfokaalisia parabolisia sylintereitä. Lieriömäisiä parabolisia koordinaatteja yhdistää tietty suhde suorakaiteen muotoisiin koordinaatteihin, ja niitä voidaan soveltaa useilla tieteellisen tutkimuksen aloilla [13] .

Ellipsoidiset koordinaatit ovat elliptisiä koordinaatteja avaruudessa. Tässä tapauksessa koordinaattipinnat ovat ellipsoideja , yksilevyisiä hyperboloideja sekä kaksiarkkisia hyperboloideja, joiden keskipisteet sijaitsevat origossa. Järjestelmä on ortogonaalinen. Jokainen lukukolmio, jotka ovat ellipsoidisia koordinaatteja, vastaa kahdeksaa pistettä, jotka ovatsymmetrisiä toisiinsa nähden O xyz -järjestelmän tasojen suhteen [14] .

Siirtyminen koordinaattijärjestelmästä toiseen

karteesinen ja polaarinen

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operaattorinimi {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operaattorinimi {sgn}y,

missä u 0 on Heaviside- funktio ja sgn on etumerkkifunktio . Tässä funktioita u 0 ja sgn käytetään "loogisina" kytkiminä, jotka ovat merkitykseltään samanlaisia kuin ohjelmointikielten operaattorit "if .. then" (if ... else). Joissakin ohjelmointikielissä on erityinen funktio atan2 ( y , x ), joka palauttaa oikean φ :n vaaditussa x- ja y -koordinaateilla määritetyssä neljänneksessä . $u_{0}(0)=0,$

Karteesinen ja sylinterimäinen

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

z=z.\quad

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operaattorinimi {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operaattorinimi {sgn}y,

z=z.\quad

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\r\sin \varphi &r \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}&{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\{\frac {-y}{{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Karteesinen ja pallomainen

{x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad

{y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;\quad

{\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operaattorinimi {arctg}{\frac ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{z}} ,

{\varphi }=\operaattorinimi {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operaattorinimi {sgn}y.

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \ sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \ sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac { xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2))))}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}} }&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Sylinterimäinen ja pallomainen

{r}=\rho \,\sin \theta ,

{\varphi }=\varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;

{\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\operaattorinnimi {arctg}{\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operaattorin nimi {sgn}z,

{\varphi }=\varphi .\quad

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta & -\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}{\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z ^{2)))))&0&{\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2))))}\\{\frac {-z}{r^{2} +z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d \varphi\\dz\end{pmatrix}}.

Maantieteellinen koordinaattijärjestelmä

Maantieteellinen koordinaattijärjestelmä tarjoaa mahdollisuuden tunnistaa mikä tahansa piste maapallon pinnalla aakkosnumeeristen merkintöjen avulla. Yleensä koordinaatit annetaan siten, että yksi osoittimista osoittaa pystysuoran sijainnin ja toinen tai muiden yhdistelmä vaakasuuntaista sijaintia . Perinteinen maantieteellisten koordinaattien joukko on leveysaste , pituusaste ja korkeus [15] . Kolmea lueteltua merkkiä käyttävä maantieteellinen koordinaattijärjestelmä on ortogonaalinen.

Maan pinnan pisteen leveysaste määritellään ekvatoriaalisen tason ja tämän pisteen kautta kulkevan suoran välisenä kulmana, joka kulkee normaalina perusellipsoidin pintaan nähden ja on muodoltaan suunnilleen sama kuin Maan. Tämä suora kulkee yleensä muutaman kilometrin säteellä maan keskipisteestä, paitsi kahdessa tapauksessa: navat ja päiväntasaaja (jolloin se kulkee suoraan keskustan läpi). Saman leveysasteen pisteitä yhdistäviä viivoja kutsutaan rinnakkaisiksi . 0° leveysaste vastaa päiväntasaajan tasoa, Maan pohjoisnapa vastaa 90° pohjoista leveyttä ja Etelänapa vastaavasti 90° eteläistä leveyttä. Maan pinnan pisteen pituus puolestaan määritellään itä- tai länsisuuntaisena kulmana päämeridiaanista toiseen tämän pisteen läpi kulkevaan pituuspiiriin. Saman pituuspiirin pisteitä yhdistävät meridiaanit ovat puoliellipsejä, jotka yhtyvät navoissa. Zero on pituuspiiri, joka kulkee Lontoon lähellä sijaitsevan Greenwichin kuninkaallisen observatorion kautta . Mitä tulee korkeuteen, se mitataan geoidin ehdollisesta pinnasta , joka on abstrakti maapallon spatiaalinen esitys.

Katso myös

Galilean koordinaatit
Gaussin koordinaatit
Normaalit koordinaatit
Riemannin koordinaatit
Origin , koordinaattiakseli , ort
Paikallinen lepostandardi (astronomian koordinaattien alkuperä)
Ortodrominen pääkoordinaattijärjestelmä
Tilan mitat
Affiinit muunnokset

Muistiinpanot

↑ Parkhomenko A. S. Affine koordinaattijärjestelmä. — Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.
↑ Sklyarenko E. G. Barysentriset koordinaatit. — Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.
↑ Weisstein, Eric W. Kaksisuuntaiset koordinaatit Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ Dolgachev I.V., Pskovskikh V.A. Kaksinapaiset koordinaatit. — Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.
↑ R. Price, jaksollisen seisovan aallon approksimaatio: Mukautetut koordinaatit ja spektrimenetelmät. . Haettu 11. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016. (määrätön)
↑ Jaksottaisen seisovan aallon approksimaatio: epälineaariset skalaarikentät, sovitetut koordinaatit ja ominaisspektrimenetelmä. . Haettu 11. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. huhtikuuta 2019. (määrätön)
↑ Sokolov D. D. Kaksisylinteriset koordinaatit. — Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.
↑ MathWorld-kuvaus kartiomaisista koordinaateista . Haettu 11. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 6. lokakuuta 2013. (määrätön)
↑ MathWorld-kuvaus parabolisista koordinaateista . Haettu 11. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 2. kesäkuuta 2013. (määrätön)
↑ Voitsekhovsky M. I. Projektiiviset koordinaatit. — Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.
↑ MathWorld-kuvaus toroidaalisista koordinaateista . Haettu 11. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 20. toukokuuta 2021. (määrätön)
↑ Weisstein, Eric W. Trilineaariset koordinaatit Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
↑ MathWorld-kuvaus parabolisista sylinterimäisistä koordinaateista . Haettu 11. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 11. marraskuuta 2020. (määrätön)
↑ Sokolov D. D. Ellipsoidiset koordinaatit. — Matemaattinen tietosanakirja. - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.
↑ Opas koordinointijärjestelmiin Isossa-Britanniassa Arkistoitu 22. huhtikuuta 2008. v1.7 lokakuuta 2007

Kirjallisuus

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Koordinaattimenetelmä. (pääsemätön linkki) Viides painos, stereotyyppinen. Sarja: Fysiikan ja matematiikan koulun kirjasto. Matematiikka. Numero 1. M.: Nauka, 1973.
Delaunay N. B. Koordinaatit matematiikassa // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : 86 osassa (82 osaa ja 4 lisäosaa). - Pietari. , 1890-1907.

Linkit

Valinnainen matematiikan oppitunti aiheesta: "Eri koordinaattijärjestelmät"