Homogeeninen koordinaattijärjestelmä

Homogeeniset koordinaatit on koordinaattijärjestelmä, jota käytetään projektitiivisessa geometriassa , samalla tavalla kuin karteesisia koordinaatteja käytetään euklidisessa geometriassa .

Homogeenisilla koordinaatteilla on se ominaisuus, että niiden määrittelemä kohde ei muutu, kun kaikki koordinaatit kerrotaan samalla nollasta poikkeavalla luvulla. Tästä johtuen pisteiden esittämiseen tarvittavien koordinaattien määrä on aina yksi enemmän kuin sen tilan ulottuvuus, jossa koordinaatteja käytetään. Esimerkiksi 2 koordinaattia tarvitaan esittämään piste viivalla 1D-avaruudessa, ja 3 koordinaattia tarvitaan edustamaan pistettä tasossa 2D-avaruudessa. Homogeenisissa koordinaateissa on mahdollista esittää parilliset pisteet, jotka ovat äärettömässä.

Plücker esitteli sen analyyttisenä lähestymistapana Gergonne-Poncelet-kaksoisperiaatteeseen .

Projektiivinen geometria

Projektiivinen taso määritellään yleensä origon läpi kulkevien viivojen joukkona . Kaikki tällaiset suorat määritetään yksiselitteisesti pisteellä, joka ei ole sama kuin origo . Kulkekoon tämä suora pisteen, jonka koordinaatit on , läpi, jolloin vastaavan pisteen homogeeniset koordinaatit projektitiivisella tasolla on lukukolmio , joka on määritelty suhteellisuussuhteeseen asti ja sellainen, että kaikki kolme koordinaattia eivät voi olla nollia samanaikaisesti [1] . Esimerkiksi, $\mathbb R^3$ $0$ $(a,b,c)$ $(x_1:x_2:x_3)$ $(0:1:1)=(0:2:2).$

Homogeenisista affiineisiin koordinaatteihin voit siirtyä seuraavasti: kolmiulotteisessa avaruudessa voit piirtää tason , joka ei kulje koordinaattien origon läpi ; silloin origon kautta kulkeva suora on joko yhdensuuntainen tämän tason kanssa (tässä tapauksessa pistettä kutsutaan "äärimmäisen kaukaiseksi") tai leikkaa sen yhdessä pisteessä, niin se voidaan liittää tämän tason pisteen koordinaatteihin . Piirretään esimerkiksi taso avaruuteen, jossa on koordinaatit . Tällöin piste, jolla on homogeeniset koordinaatit , jos , vastaa pistettä tasossa, jolla on koordinaatit Käänteisesti piste, jonka koordinaatit ovat homogeenisia $(x_1,x_2,x_3)$ $x_3=1$ $(a:b:c)$ $c\neq 0$ $(a/c, b/c).$ $(a, b)$ $(a:b:1).$

Projektiivitason viivat ovat kolmiulotteisessa avaruudessa olevia tasoja, jotka kulkevat origon kautta. Tällainen taso voidaan määritellä yhtälöllä . On helppo nähdä, että samalla luvulla kerrottaessa yhtälön antama taso ei muutu. Tämä tarkoittaa, että jokainen taso vastaa homogeenisiä koordinaatteja . Homogeenisilla koordinaatteilla kirjoitettu piste voidaan liittää suoraan, joka kirjoitetaan samalla tavalla homogeenisiin koordinaatteihin. Siten projektitiivisen tason viivat muodostavat "toisen projektiivitason", tämä on projektiivisen kaksinaisuuden periaate . $a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3=0$ $a_{1},a_{2},a_{3}$ $(a_1:a_2:a_3)$

Laskennallinen geometria

Laskennallisessa geometriassa homogeenisia koordinaatteja käytetään euklidisen tason operaatioiden laskemiseen. Euklidinen taso täydennetään väliaikaisesti projektiiviseen tasoon, homogeeninen koordinaatti 1 lisätään pisteiden suorakulmaisiin koordinaatteihin, sitten suoritetaan operaatiot, sitten suoritetaan aivan lopussa jako homogeenisella koordinaatilla, jotta saadaan karteesiset koordinaatit, ja äärettömyyden pisteitä käsitellään erityisesti. Tämä lähestymistapa mahdollistaa toimintojen nopean ja tarkan koodauksen tasossa olevien kohteiden kanssa. Kahden pisteen kautta kulkeva suora ja kahden suoran leikkauspisteessä oleva piste koodataan molemmat käyttämällä ristituloa . Usein myös euklidisen tason laajentaminen projektitiiviselle tasolle mahdollistaa sen, että välirakenteissa vältetään erikoistapausten, esimerkiksi leikkaus- tai yhdensuuntaisten viivojen huomioiminen, ja analyysi suoritetaan vasta aivan lopussa.

Homogeeniset kokonaislukukoordinaatit yleistävät rationaalilukuja . Kolmas homogeeninen koordinaatti toimii yhteisenä nimittäjänä kahdelle ensimmäiselle koordinaatille, joten kaikki laskelmat voidaan tehdä ilman virheitä ( pitkällä aritmeettisella ).

Esimerkkejä

barysentriset koordinaatit .

Lähteet

↑ Prasolov V.V., Tikhomirov V.N. Geometry Arkistokopio 13. heinäkuuta 2018 Wayback Machinessa . — M .: MTSNMO , 2007. ISBN 978-5-94057-267-1