Projektiivinen taso

Projektiivinen taso on kaksiulotteinen projektiotila . Tärkeä erikoistapaus on todellinen projektiivinen taso .

Projektiivista tasoa erottaa tärkeä rooli niin sanotulla Desargues-aksioomalla , joka on teoreema suurempien ulottuvuuksien projektitiivisissa tiloissa.

Määritelmät

Projektiivinen taso kehon päällä

Projektiivinen taso kappaleen päällä on joukko kolmiulotteisen lineaariavaruuden yksiulotteisia aliavaruuksia (nollan kautta kulkevia viivoja) . Näitä viivoja kutsutaan projektiivitason pisteiksi. Rungon yläpuolella olevaa projektiolentoa merkitään yleensä esimerkiksi , , ja niin edelleen. $K$ $K^{3}$ $K$ $K{\mathrm {P}}^{2}$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {C}}{\mathrm {P}}^{2}$ ${\mathbb {H}}{\mathrm {P}}^{2}$

Aksiomaattinen määritelmä

Klassinen projektiivinen taso П määritellään seuraavilla aksioomeilla. Niistä neljä ensimmäistä ovat pakollisia.

P1. Tason P kahden eri pisteen P ja Q kautta kulkee suora, ja vain yksi.
P2. Jokaisella kahdella viivalla on yhteinen piste.
P3. On kolme pistettä, jotka eivät ole samalla viivalla.
P4. Jokainen rivi sisältää vähintään kolme pistettä.

Muita aksioomia ovat seuraavat:

P5. Desarguesin aksiooma. Jos kolmiot ABC ja A'B'C' ovat sellaisia, että suorat AA' , BB' ja CC' leikkaavat pisteessä O , niin vastaavien sivujen AB ja A'B' parien leikkauspisteet (P) , BC ja B'C' ( R) , AC ja A'C'(Q) ovat samalla suoralla.
P6. Aksiooma Pappus. Jos l ja l' ovat kaksi eri suoraa, A,B,C ovat kolme eri pistettä suoralla l ja A',B',C' ovat kolme eri pistettä l':stä, ja kaikki nämä pisteet ovat erilaisia kuin O - suorien l ja l' leikkauspisteet , sitten vastaavien sivujen AB' ja A'B (P) , BC' ja B'C (R) , AC' ja A'C (Q ) leikkauspisteet ) sijaitsevat samalla suoralla.
P7. Fanon aksiooma. Olkoot A, B, C, D pisteitä, joista ei kolme ole samalla suoralla. Piirretään kaikki kuusi näitä pisteitä yhdistävää viivaa (AB, AC, AD, BC, BD, CD) . Merkitään AB :n ja CD : n leikkauspiste P:llä, AC :n ja BD : llä Q ja AD :n ja BC : n leikkauspisteellä R (diagonaalipisteet). Nämä diagonaalipisteet eivät ole suoralla linjalla.

Esimerkkejä

Todellinen projektiivinen taso .
Fanon lentokone
Moltonin taso on esimerkki ei-desarguesilaisesta projektiivitasosta.

Ominaisuudet

Kaikille kappaleen ylittäville projektiivisille tasoille pätevät aksioomat P1-P4 ja Desarguesin aksiooma P5. Päinvastoin, jos Desarguesin aksiooma P5 pätee tasossa П , niin se on jonkin kappaleen ylittävä projektiivinen taso . $K$

Jos Pappuksen aksiooma P6 ja aksioomat P1-P4 pätevät, niin myös Desarguesin aksiooma P5 pätee. Tässä tapauksessa P on projektiivinen taso kentän päällä (eli kappale K on kommutatiivinen). Päinvastoin, Pappuksen aksiooma pätee missä tahansa projektiivisessa tasossa kentän päällä.

Jos aksioomat P1–P4 ja Desarguesin aksiooma P5 pätevät, niin Fanon aksiooma P7 pätee silloin ja vain, jos P on projektiivinen taso ominaisuuden ≠2 jakorenkaan yli. $K$

Reaalisen projektiivitason topologia

Esitetään todellinen projektiivinen taso P²( R ) rivijoukona R³ :ssä . Sen pisteet muodostavat nipun kaikista origon läpi kulkevista viivoista. Rakennetaan yksi pallo. Sitten jokainen suoramme (piste P²( R )) leikkaa pallon kahdessa vastakkaisessa pisteessä: x ja -x . Tästä on helppo saada toinen malli. Hylkäämme ylemmän pallonpuoliskon z > 0 . Jokainen hylätyn pallonpuoliskon piste vastaa alemman pallonpuoliskon pistettä, ja diametraalisesti vastakkaiset pisteet alemman pallonpuoliskon ekvatoriaalisella ympyrällä tunnistetaan. "Suoristamalla" puolipalloa saadaan ympyrä, jossa rajaympyrän diametraalisesti vastakkaiset pisteet tunnistetaan. Ympyrä on homeomorfinen neliölle, jonka vastakkaiset sivut on tunnistettu (nuolien suuntaan). Kuten seuraavassa kuvassa näkyy, tämä neliö on homeomorfinen ympyrän D² kanssa, johon on kiinnitetty Möbius-nauha μ. Siksi projektiivinen taso ei ole suuntautuva .

Kierto (puoliympyrä) alkaen - (merkitsimme sitä nimellä ) ei ole raja, mutta koko ympyrä lähtöpisteestä ja -pisteeseen (merkitsimme sitä nimellä ) rajoittaa jo projektiivitason koko "sisäosaa", joten 2 ≈ 0 ja ≠0 (yhtäsuuruusmerkki tarkoittaa , onko sykli homologinen nollalle vai ei), eli mikä tahansa sykli, joka ei ole homologinen nollalle, on homologinen syklin kanssa . Siksi yksiulotteinen homologiaryhmä koostuu kahdesta alkiosta H 1 (P²)={0,1} , jossa ryhmän nollaelementti vastaa yksiulotteisia nollan kanssa homologisia syklejä ja yksikölle kaikki syklit ovat homologisia . $-x$ $x$ $a$ $-x$ $x$ $x$ $-x$ $2a$ $a$ $a$ $a$ $a$

Projektiivitason homologiaryhmät on helppo laskea: H 0 (P²) = Z , H 1 (P²)={0,1} ja H 2 (P²)= 0 , Betti-luvut (homologiaryhmien järjestys) ovat vastaavasti b 0 =1, b 1 =1, b 2 =0 ja Eulerin ominaiskäyrä on yhtä suuri kuin vaihtuva summa χ(P²)=b 0 -b 1 +b 2 =1 . Voit myös laskea Eulerin ominaiskäyrän suoraan kolmiosta χ(P²) (katso alempi kuva) - kärkien lukumäärä on 6, reunat 15 ja pinnat 10, mikä tarkoittaa χ(P²)=6-15+10=1 .

Tunnetun teoreeman pintojen luokittelusta kaikkien kompaktien , kytkettyjen , suljettujen sileiden jakoputkien joukossa, projektitiivista tasoa määrittää yksiselitteisesti se, että se ei ole suuntautuva ja sen Euler-ominaisuus on yhtä suuri kuin 1 .

Perusryhmä π 1 (P²)= Z 2 , korkeammat homotoopiaryhmät vastaavat palloa π n (P²)=π n (S²) n≥2 :lle .

Katso myös

Mobius-nauha
Klein pullo
Boi-pinta on esimerkki todellisen projektiivitason upottamisesta kolmiulotteiseen euklidiseen avaruuteen.

Kirjallisuus

Artin E. Geometrinen algebra. - M.: Nauka, 1969
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: menetelmät ja sovellukset. - M.: Nauka, 1979
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderni geometria: Homologiateorian menetelmät. - M.: Nauka, 1984
Kokster G. S. M. Todellinen projektiivinen taso. -M: Fizmatgiz, 1959
Kokster G. S. M. Johdatus geometriaan. - M.: Nauka, 1966
Fomenko A. T. Visuaalinen geometria ja topologia. - M .: MGU, 1998
Hartshorne R. Projektiivisen geometrian perusteet. - M.: Mir, 1970