Homeomorfismi

Homeomorfismi ( kreikaksi ὅμοιος - samanlainen, μορφή - muoto) on yksi-yhteen ja toisiaan jatkuva topologisten avaruuksien kartoitus . Toisin sanoen se on bijektio , joka yhdistää kahden avaruuden topologiset rakenteet, koska bijektion jatkuvuuden alla avoimien osajoukkojen kuvat ja käänteiskuvat ovat avoimia joukkoja, jotka määräävät vastaavien avaruuksien topologiat.

Homeomorfismin yhdistämät tilat ovat topologisesti erottamattomia. Voidaan sanoa, että topologia tutkii niiden objektien ominaisuuksia, jotka ovat muuttumattomia homeomorfismissa.

Topologisten avaruuksien luokassa huomioidaan vain jatkuvat kartoitukset, joten tässä luokassa isomorfismi on myös homeomorfismi.

Määritelmä

Olkoon ja kaksi topologista avaruutta . Funktiota kutsutaan homeomorfismiksi, jos se on yksi yhteen ja sekä itse funktio että sen käänteisfunktio ovat jatkuvia . $(X,\mathcal{T}_X)$ $(Y,\mathcal{T}_Y)$ $f:X \-Y$ $f$ $f^{-1}$

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Avaruuksia kutsutaan tässä tapauksessa myös homeomorfisiksi tai topologisesti vastaaviksi . $X$ $Y$
- Tämä suhde on yleensä merkitty . $X\simeq Y$
Avaruuden ominaisuutta kutsutaan topologiseksi, jos se säilyy homeomorfismissa. Esimerkkejä topologisista ominaisuuksista: kaiken tyyppinen erotettavuus topologisissa avaruudessa, liitettävyys ja irtikytkentä , lineaarinen liitettävyys , kompaktisuus , yksinkertaisesti liitettävyys , mittaavuus sekä lueteltujen ominaisuuksien paikalliset analogit (paikallinen liitettävyys, paikallinen lineaarinen liitettävyys, paikallinen kompakti, paikallinen yksinkertaisesti kytkeytyminen , paikallinen mittaavuus), ominaisuus olla topologinen monisto , äärellinen ulottuvuus, ääretön ulottuvuus ja topologisten monistojen dimensio jne.
Paikallinen tilojen homeomorfismi on jatkuva surjektiivinen kartta , jos jokaisella pisteellä on sellainen naapuruus , että rajoitus on homeomorfismi sen ja sen kuvan välillä . $f:X\Y:ksi$ $x\in X$ $U\ni x$ $f$ $U$ $f|_{U}:U\to f(U)$ $U$ $f(U)$
- Esimerkki. Kartoitus on paikallinen homeomorfismi todellisen suoran ja ympyrän välillä . Nämä tilat eivät kuitenkaan ole homeomorfisia, koska ympyrä on kompakti, kun taas viiva ei ole. $x\to (\cos x,\sin x)$ ${\mathbb {R} }$ $S^{1}$

Homeomorfismin lause

Antaa olla väli numerorivillä (avoin, puoliavoin tai suljettu). Olkoon mielipide. Sitten on homeomorfismi jos ja vain jos se on tiukasti monotoninen ja jatkuva päällä $|a,b|\osajoukko \mathbb{R}$ $f:|a,b| \to f\bigl( |a,b| \bigr)\alajoukko \R$ $f$ $f$ $|a,b|.$

Esimerkki

Satunnainen avoin väli on homeomorfinen kokonaislukuviivalle . Homeomorfismi annetaan esimerkiksi kaavalla $(a,b) \osajoukko \mathbb{R}$ $\mathbb {R}$ $f:(a,b) \to \mathbb{R}$

f(x) = \mathrm{ctg}\left(\pi\frac{xa}{ba}\oikea).

Intervalli on homeomorfinen segmentille diskreetissä topologiassa , mutta ei homeomorfinen tavallisessa numeroviivatopologiassa . $(0, \; 1)$ $[0, \; yksi]$

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. - M . : Nauka , 1984. - T. 2. - S. 41.
Vasiliev V. A. Johdatus topologiaan. - M .: FAZIS, 1997. - Numero. 3. - xii + 132 s. - (matemaatikon opiskelijakirjasto). — ISBN 5-7036-0036-7 .
Timofeeva NV Differentiaaligeometria ja topologian elementit . - YaGPU , 2007.
Boltyansky V.G. , Efremovich V.A. Visuaalinen topologia. - M .: Nauka, 1982. - 160 s.

Linkit

Hazewinkel, Michiel, toim. (2001), Homeomorphism , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4