Oikea numero

Reaaliluku ( reaaliluku [1] ) on matemaattinen objekti , joka syntyi tarpeesta mitata ympärillämme olevan maailman geometriset ja fysikaaliset suureet sekä suorittaa sellaisia laskennallisia operaatioita kuten juurien erottaminen , logaritmien laskeminen , ratkaiseminen algebralliset yhtälöt , funktioiden käyttäytymisen tutkiminen [2] .

Jos luonnolliset luvut syntyivät laskentaprosessissa, rationaaliset luvut - tarpeesta toimia kokonaisuuden osilla, niin reaaliluvut on tarkoitettu jatkuvien määrien mittaamiseen. Näin ollen tarkasteltavana olevan lukukannan laajentaminen on johtanut reaalilukujen joukkoon, joka sisältää rationaalilukujen lisäksi elementtejä, joita kutsutaan irrationaalisiksi luvuiksi .

Visuaalisesti reaaliluvun käsite voidaan esittää numeroviivalla . Jos valitset suoran suunnan, aloituspisteen ja pituusyksikön segmenttien mittaamiseen, jokainen reaaliluku voidaan liittää tiettyyn pisteeseen tällä suoralla ja päinvastoin jokainen suoran piste voidaan liittää jollakin reaaliluvulla ja vain yhdellä. Tämän vastaavuuden vuoksi termiä " lukurivi " käytetään yleensä synonyyminä reaalilukujoukolle.

Reaaliluvun käsite on kehittynyt pitkän matkan. Jo muinaisessa Kreikassa Pythagoraan koulukunnassa , jossa kokonaisluvut ja niiden suhteet asetettiin kaiken perustaksi, havaittiin suhteettomien suureiden olemassaolo (neliön sivun ja diagonaalin yhteensopimattomuus), eli nykyaikaisessa terminologiassa. , numeroita, jotka eivät ole rationaalisia. Tämän jälkeen Eudoxus of Cnidus yritti rakentaa yleisen lukuteorian, joka sisälsi suhteettomia määriä. Sen jälkeen yli kahteen tuhanteen vuoteen kukaan ei tuntenut tarvetta määritellä tarkkaa reaaliluvun käsitettä, vaikka käsite laajeni asteittain [3] . Vasta 1800-luvun jälkipuoliskolla, jolloin matemaattisen analyysin kehitys vaati sen mukaan reaalilukuteorian tiukkaan,tasollekorkeammalle,uudelleuudelleenjärjestelyäperustan

Modernin matematiikan näkökulmasta reaalilukujen joukko on jatkuva järjestyskenttä . Tämä määritelmä tai vastaava aksioomajärjestelmä määrittelee tarkalleen todellisen luvun käsitteen siinä mielessä, että on olemassa vain yksi, isomorfismiin asti , jatkuva järjestetty kenttä .

Reaalilukujen joukolla on vakiomerkintä - R ("lihavoitu R") tai , Unicode U+211D : ℝ ) ( taulun lihavoitu "R") latista . realis - todellinen. $\mathbb {R}$ $\mathbf {R}$

Reaaliluvun käsitteen muodostumisen historia

Naiivi reaalilukuteoria

Ensimmäinen kehitetty numeerinen järjestelmä, joka rakennettiin antiikin Kreikassa , sisälsi vain luonnolliset luvut ja niiden suhteet ( suhteet , nykyisessä mielessä rationaaliset luvut ). Pian kuitenkin kävi selväksi, että tämä ei riittänyt geometrian ja tähtitieteen tarkoituksiin: esimerkiksi neliön lävistäjän pituuden suhdetta sen sivun pituuteen ei voida esittää luonnollisella tai rationaalisella luvulla. [4] .

Päästäkseen pois tilanteesta, Eudoxus of Cnidus esitteli numeroiden lisäksi laajemman geometrisen suuren käsitteen eli segmentin, alueen tai tilavuuden pituuden. Eudoxuksen teoria on tullut meille Eukleideen (" Alku ", kirja V) esityksessä. Pohjimmiltaan Eudoxuksen teoria on reaalilukujen geometrinen malli. Nykyajan näkökulmasta tämän lähestymistavan mukainen luku on kahden homogeenisen suuren - esimerkiksi tutkitun ja yhden standardin - suhde . On kuitenkin korostettava, että Eudoxus pysyi uskollisena vanhalle perinteelle - hän ei pitänyt tällaista suhdetta lukuna; Tästä johtuen elementeissä monet lukujen ominaisuuksia koskevat lauseet todistetaan sitten uudelleen suuruudeksi. Klassinen Dedekindin teoria reaalilukujen rakentamisesta on periaatteiltaan äärimmäisen samanlainen kuin Eudoxuksen esitys. Eudoxuksen malli on kuitenkin joiltakin osin epätäydellinen, esimerkiksi siinä ei ole negatiivisia lukuja.

Tilanne alkoi muuttua ensimmäisten vuosisatojen aikana. e. Jo Diophantus Aleksandrialainen , vastoin aikaisempia perinteitä, pitää murtolukuja samalla tavalla kuin luonnollisia lukuja, ja "Aritmetiikkansa" IV kirjassa hän jopa kirjoittaa yhdestä tuloksesta: "Luku ei osoittautunut rationaaliseksi" [5] . Muinaisen tieteen kuoleman jälkeen Intian ja islamilaisten maiden matemaatikot nousivat etualalle , jolle mitä tahansa mittaus- tai laskutulosta pidettiin numerona. Nämä näkemykset saivat vähitellen valtaa keskiaikaisessa Euroopassa [6] , jossa aluksi rationaaliset ja irrationaaliset (kirjaimellisesti: "järjettömät") luvut erotettiin toisistaan (niitä kutsuttiin myös kuvitteellisiksi, absurdeiksi, kuuroiksi jne.). Täydellinen yhtälö irrationaalisten lukujen oikeuksista liittyy Simon Stevinin (1500-luvun lopulla) kirjoituksiin, joka julisti [5] :

Tulemme siihen johtopäätökseen, ettei ole olemassa absurdeja, irrationaalisia, vääriä, selittämättömiä tai kuuroja lukuja, vaan että numeroiden joukossa on niin täydellisyyttä ja yhtäpitävyyttä, että meidän on mietittävä yötä päivää niiden hämmästyttävän täydellisyyttä.

Hän laillisti tietyin varauksin negatiiviset luvut ja kehitti myös desimaalimurtolukujen teorian ja symboliikan , jotka siitä hetkestä lähtien alkavat syrjäyttää hankalat seksagesimaaliluvut .

Vuosisataa myöhemmin Newton " Universal Arithmetic " -kirjassaan ( 1707 ) antaa (todellisen) luvun klassisen määritelmän mittaustuloksen suhteena yhteen standardiin [7] :

Numerolla emme ymmärrä niinkään yksikköjoukkoa kuin jonkin suuren abstraktia suhdetta toiseen samanlaiseen suureen, joka otetaan yksikkönä.

Pitkään tätä sovellettua määritelmää pidettiin riittävänä, joten käytännössä tärkeitä reaalilukujen ja funktioiden ominaisuuksia ei todistettu, vaan niitä pidettiin intuitiivisesti ilmeisinä (geometrisista tai kinemaattisista näkökohdista). Esimerkiksi pidettiin itsestään selvänä, että jatkuva käyrä, jonka pisteet sijaitsevat tietyn suoran vastakkaisilla puolilla, leikkaa tämän suoran. Myöskään jatkuvuuden käsitteelle ei ollut tiukkaa määritelmää [8] . Tämän seurauksena monet lauseet sisälsivät virheitä, epämääräisiä tai liian laajoja muotoiluja.

Jopa sen jälkeen, kun Cauchy kehitti melko tiukan perustan analyysille , tilanne ei muuttunut, koska reaalilukuteoriaa, johon analyysin oletettiin tukeutua, ei ollut olemassa. Tämän vuoksi Cauchy teki monia virheitä luottaen intuitioon silloin, kun se johti vääriin johtopäätöksiin: esimerkiksi hän uskoi, että jatkuvien funktioiden sarjan summa on aina jatkuva.

Tiukan teorian luominen

Ensimmäisen yrityksen täyttää aukko matematiikan perusteissa teki Bernard Bolzano artikkelissaan "Puhastaan analyyttinen todiste lauseesta, että minkä tahansa kahden arvon välillä, jotka antavat tuloksia päinvastaisesta merkistä, on vähintään yksi yhtälön todellinen juuri " ( 1817 ). Tässä uraauurtavassa työssä ei vielä ole integraalista reaalilukujärjestelmää, mutta jatkuvuuden nykyaikainen määritelmä on jo annettu ja on osoitettu, että tällä perusteella otsikossa mainittu lause voidaan tiukasti todistaa [9] . Myöhemmässä työssään [10] Bolzano esittää yleiskuvan reaalilukujen teoriasta, joka on ajatukseltaan lähellä Cantorin joukkoteoriaa [11] , mutta tämä hänen teoksensa jäi julkaisematta kirjailijan elinaikana ja julkaistiin vasta vuonna 1851. Bolzanon näkemykset olivat paljon aikaansa edellä eivätkä kiinnittäneet matemaattisen yhteisön huomiota.

Moderni reaalilukuteoria rakennettiin 1800-luvun jälkipuoliskolla pääasiassa Weierstrassin , Dedekindin ja Cantorin työn pohjalta . He ehdottivat erilaisia mutta vastaavia lähestymistapoja tämän tärkeimmän matemaattisen rakenteen teoriaan ja lopulta erottivat tämän käsitteen geometriasta ja mekaniikasta [12] .

Rakentavia tapoja määrittää reaaliluku

Reaaliluvun käsitteen rakentavalla määrittelyllä tunnettujen matemaattisten objektien (esimerkiksi rationaalilukujen joukon ) perusteella, jotka pidetään annetuina, rakennetaan uusia objekteja, jotka tietyssä mielessä heijastavat intuitiivistamme reaaliluvun käsitteen ymmärtäminen. Olennainen ero reaalilukujen ja näiden konstruoitujen objektien välillä on se, että ensin mainitut, toisin kuin jälkimmäiset, ymmärrämme vain intuitiivisesti, eivätkä ne ole vielä tiukasti määritelty matemaattinen käsite. $\mathbb {Q}$

Nämä objektit on ilmoitettu reaaliluvuiksi. Niille esitellään aritmeettiset perusoperaatiot, määritetään järjestyssuhde ja todistetaan niiden ominaisuudet.

Historiallisesti ensimmäiset tiukat määritelmät reaaliluvulle olivat juuri rakentavia määritelmiä. Vuonna 1872 julkaistiin kolme teosta samanaikaisesti: Cantorin perussekvenssien teoria , Weierstrassin teoria (nykyaikaisessa versiossa - äärettömien desimaalilukujen teoria) ja osien teoria Dedekindin rationaalilukujen alueella [3] [ 13] .

Cantorin perussekvenssien teoria

Tässä lähestymistavassa reaalilukua pidetään rationaalisten lukujen sarjan rajana . Jotta rationaalilukujen sarja lähentyisi, sille asetetaan Cauchyn ehto :

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon ):\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{n+m}-a_{n}|< \varepsilon

Tämän ehdon tarkoitus on, että sekvenssin jäsenet tietystä määrästä alkaen ovat mielivaltaisen lähellä toisiaan. Sekvenssejä, jotka täyttävät Cauchyn ehdon, kutsutaan perussekvensseiksi .

Merkitsemme rationaalilukujen perussarjan määrittelemää reaalilukua . $\{a_{n}\}$ $[a_{n}]$

Kaksi reaalilukua

$\alpha =[a_{n}]$ ja , $\beta =[b_{n}]$

määritellään vastaavasti perussekvenssit ja , kutsutaan yhtä , jos $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\lim _{n\to \infty }\left(a_{n}-b_{n}\right)=0

Jos annetaan kaksi reaalilukua ja , niin niiden summa ja tulo ovat lukuja, jotka määritetään vastaavasti sarjojen ja : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\{a_{n}\}$ $\{b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}+b_{n}]\qquad \alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{= }}[a_{n}\cdot b_{n}]

Reaalilukujoukon järjestyssuhde muodostetaan sopimuksella, jonka mukaan luku on määritelmän mukaan suurempi kuin luku , eli jos $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N:\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Reaalilukujoukon muodostamismenetelmä rationaalilukujen perussarjoja käyttäen on mielivaltaisen metriavaruuden valmistumisen erikoistapaus . Kuten yleisessä tapauksessa, valmistumisen tuloksena saatu reaalilukujoukko on itse jo täydellinen , eli se sisältää kaikkien elementtiensä perussekvenssien rajat.

Äärettömän desimaalin teoria

Reaaliluku määritellään äärettömäksi desimaaliluvuksi eli muodon lausekkeeksi

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

jossa on yksi symboleista tai , jota kutsutaan numeron merkiksi, on ei-negatiivinen kokonaisluku, on sarja desimaalipaikkoja, eli numeerisen joukon osia . $\pm$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

Ääretön desimaaliluku tulkitaan luvuksi, joka sijaitsee muodon rationaalisten pisteiden välisellä lukuviivalla

$\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}$ ja kaikille $\pm \left(a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}\right)$ $n = 0,1,2,\lpistettä$

Reaalilukujen vertailu äärettömien desimaalilukujen muodossa suoritetaan bitti kerrallaan. Esimerkiksi annetaan kaksi ei-negatiivista numeroa

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrix}}

Jos , niin ; jos sitten . Tasa-arvon tapauksessa he jatkavat seuraavan numeron vertailua. Ja niin edelleen. Jos , niin rajallisen määrän vaiheita jälkeen ensimmäinen numero kohdataan siten, että . Jos , niin ; jos sitten . $a_{0}<b_{0}$ $\alpha <\beta$ $a_{0}>b_{0}$ $\alpha >\beta$ $a_{0}=b_{0}$ $\alpha \neq \beta$ $n$ $a_{n}\neq b_{n}$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

On kuitenkin otettava huomioon, että numero Siksi, jos jonkin vertailtavan luvun tietue, joka alkaa tietystä numerosta, on jaksollinen desimaalimurto, jonka jaksossa on 9, se tulisi korvata vastaavalla tietueella, jossa jaksossa on nolla. $a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}(9)=a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}+10^{-n}$

Aritmeettiset operaatiot äärettömillä desimaaliluvuilla määritellään rationaalilukujen vastaavien operaatioiden jatkuvaksi jatkeeksi [14] . Esimerkiksi reaalilukujen summaa kutsutaan reaaliluvuksi , joka täyttää seuraavan ehdon: $\alpha$ $\beeta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Samalla tavalla määrittelee äärettömien desimaalilukujen kertomisen.

Leikkausteoria rationaalilukujen alueella

Dedekindin lähestymistavassa reaaliluvut määritellään käyttämällä rationaalilukujoukon osia.

Osa rationaalilukujen joukossa on mikä tahansa kaikkien rationaalisten lukujen joukon osio kahteen ei-tyhjään luokkaan - alempaan ja ylempään luokkaan , niin että jokainen alemman luokan luku on tiukasti pienempi kuin mikä tahansa luku ylemmästä: $\mathbb {Q}$ $A$ $A'$

$\mathbb {Q} =A\cup A'\quad \land \quad A,A'\neq \varnothing \quad \land \quad \forall a\in A,\forall a'\in A'\ ;(a<a')$

Jos on olemassa luku , joka on maksimi alemmassa luokassa tai minimaalinen ylemmässä luokassa, tämä luku erottaa joukot ja : alemman ja ylemmän luokan numerot sijaitsevat vastakkaisilla puolilla . Sanotaan myös, että rationaalinen luku tuottaa tietyn osan rationaalisten lukujen joukosta. $\alpha$ $A$ $A'$ $\alpha$ $\alpha$

Jos alemmassa lohkoluokassa ei ole maksimielementtiä eikä yläosan luokassa minimielementtiä, ei ole olemassa rationaalilukua, joka erottaisi joukot ja . Tässä tapauksessa määritelmän mukaan oletetaan, että annettu jakso määrittää jonkin irrationaaliluvun , joka on alemman ja ylemmän luokan välissä ja tuottaa siten annetun osan. Toisin sanoen jokaiselle leikkaukselle, jota ei ole tuotettu millään rationaalisella luvulla, otetaan käyttöön uusi objekti - irrationaalinen luku, joka määritelmän mukaan on suurempi kuin mikä tahansa alemman luokan luku ja pienempi kuin mikä tahansa luku ylemmästä luokasta: $A$ $A'$ $\alpha$

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;a<\alpha <a'$

Kaikkien rationaalisten ja kaikkien irrationaalisten lukujen liittoa kutsutaan reaalilukujen joukoksi ja sen elementit ovat reaalilukuja .

Reaalilukujen aritmeettiset operaatiot määritellään rationaalilukujen vastaavien operaatioiden jatkuvaksi jatkeeksi . Esimerkiksi reaalilukujen summaa kutsutaan reaaliluvuksi , joka täyttää seuraavan ehdon: $\alpha$ $\beeta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Aksiomaattinen lähestymistapa

On monia tapoja muodostaa joukko reaalilukuja. Cantorin teoriassa reaaliluvut ovat rationaalisten lukujen vastaavien perussarjojen luokkia, Weierstrassin teoriassa ne ovat äärettömiä desimaalilukuja, Dedekindin teoriassa ne ovat rationaalilukujen alueen osia. Kaikissa näissä lähestymistavoissa saamme tuloksena tietyn joukon objekteja (reaalilukuja), joilla on tietyt ominaisuudet: niitä voidaan lisätä, kertoa, verrata toisiinsa. Lisäksi kun näiden kohteiden ominaisuudet on selvitetty, emme voi enää viitata erityisiin rakenteisiin, joilla ne on rakennettu.

Matematiikassa ei ole tärkeää esineiden erityisluonne, vaan ainoastaan niiden välillä vallitsevat matemaattiset suhteet.

Henkilölle, joka opiskelee matemaattista käsitettä elementtien lukumäärästä , ei ole väliä mistä puhua - kolmesta omenasta tai kolmesta kivestä, eikä niiden syötävällä tai syötämättömyydellä ole väliä. Abstraktioprosessissa ei-olennaisista merkeistä, eli abstraktio ( lat. abstractio - häiriötekijä), hän tulee yhteiseen asiaan, joka kolmella omenalla ja kolmella kivellä on - elementtien lukumäärään. Näin syntyy abstrakti luonnollisen luvun käsite . Tästä näkökulmasta katsottuna kolme omenaa ja kolme kiveä ovat kaksi konkreettista toteutusta abstraktin käsitteen "numero kolme" mallista .

Samalla tavalla rationaalilukujen perussarjojen luokat, äärettömät desimaaliluvut, rationaalilukujen alueen osat ovat vain konkreettisia realisaatioita, reaaliluvun malleja. Ja itse reaaliluvun käsite määräytyy sen olemassa olevien matemaattisten suhteiden perusteella. Heti kun ne on vahvistettu, määritellään myös reaaliluvun käsite.

Tässä on tarkoituksenmukaista lainata D. Hilbertin kuuluisaa lausuntoa, matematiikan systeemiaksiomaattisen menetelmän perustajaa , joka geometrian aksiomatisointiin viitaten totesi kerran:

On varmistettava, että pöydistä, tuoleista ja olutmukeista voidaan puhua yhtä menestyksekkäästi pisteiden, viivojen ja tasojen sijaan.David Gilbert [15]

Reaalilukujen aksiomatiikka

Joukkoa kutsutaan reaalilukujen joukoksi ja sen alkioita reaaliluvuiksi, jos seuraavat ehdot, joita kutsutaan reaalilukujen aksiomatiikaksi , täyttyvät: $\mathbb {R}$

Kenttäaksioomit

Kartta on määritetty joukkoon ( lisäystoiminto ) $\mathbb {R}$

$+:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

joka määrittää kullekin järjestetylle elementiparille jostakin saman joukon alkiosta , jota kutsutaan summaksi ja ( joukon elementin vastaava merkintä ). $a,b$ $\mathbb {R}$ $c$ $\mathbb {R}$ $a$ $b$ $a+b$ $c$ $\mathbb {R}$

Lisäksi joukkoon on määritetty kartoitus ( kertotoiminto ) $\mathbb {R}$

$\cdot :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

joka määrittää kullekin järjestetylle elementiparille jostakin elementistä , jota kutsutaan tuloksi ja . $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\cdot b$ $a$ $b$

Tässä tapauksessa seuraavat ominaisuudet tapahtuvat.

{\text{I}}_{1}.

Lisäyksen kommutatiivisuus. Mille tahansa

a,b\in \mathbb {R}

a+b=b+a

{\text{I}}_{2}.

Lisäyksen assosiatiivisuus. Mille tahansa

a,b,c\in \mathbb {R}

a+(b+c)=(a+b)+c

{\text{I}}_{3}.

Nollan olemassaolo. On elementti nimeltä nolla niin, että millä tahansa

0\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a+0=a

{\text{I}}_{4}.

Vastakkaisen elementin olemassaolo. Jokaiselle on elementti , jota kutsutaan vastakkaiseksi sellaiselle

a\in \mathbb {R}

-a\in \mathbb {R}

a

a+(-a)=0

{\text{I}}_{5}.

Kertomisen kommutatiivisuus. Mille tahansa

a,b\in \mathbb {R}

a\cdot b=b\cdot a

{\text{I}}_{6}.

Kertomisen assosiatiivisuus. Mille tahansa

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

{\text{I}}_{7}.

Yksikön olemassaolo. On elementti nimeltä unit , niin että mille tahansa

1\in \mathbb {R}

a\in \mathbb {R}

a\cdot 1=a

{\text{I}}_{8}.

Käänteisen elementin olemassaolo. Jokaiselle on olemassa elementti , jota myös kutsutaan ja kutsutaan käänteiseksi Sellainen , että

a\in \mathbb {R} ,a\neq 0

a^{-1}\in \mathbb {R}

1/a

a

a\cdot a^{-1}=1

{\text{I}}_{9}.

Kertolaki suhteessa yhteenlaskuun. Mille tahansa

a,b,c\in \mathbb {R}

a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c

{\text{I}}_{10}.

Kentän epätriviaalisuus. Yksi ja nolla ovat eri elementtejä :

\mathbb {R}

$1\neq 0$

Järjestyksen aksioomit

Alkioiden välille määritellään relaatio , eli mille tahansa järjestetylle alkioparille osoitteesta määritetään täyttyykö relaatio vai ei. Tässä tapauksessa seuraavat ominaisuudet tapahtuvat. $\mathbb {R}$ $\leqslant$ $a,b$ $\mathbb {R}$ $a\leqslant b$

{\text{II}}_{1}.

Heijastuskyky. Kenelle tahansa

a\in \mathbb {R}

$a\leqslant a$

{\text{II}}_{2}.

Antisymmetria. Mille tahansa

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant a)\Rightarrow (a=b)$

{\text{II}}_{3}.

Transitiivisuus. Mille tahansa

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\land (b\leqslant c)\Rightarrow (a\leqslant c)$

{\text{II}}_{4}.

Lineaarinen järjestys. Mille tahansa

a,b\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\lor (b\leqslant a)$

{\text{II}}_{5}.

Lisäyksen ja järjestyksen välinen suhde. Mille tahansa

a,b,c\in \mathbb {R}

$(a\leqslant b)\Oikea nuoli (a+c\leqslant b+c)$

{\text{II}}_{6}.

Kertomisen ja järjestyksen välinen suhde. Mille tahansa

a,b\in \mathbb {R}

$(0\leqslant a)\land (0\leqslant b)\Rightarrow (0\leqslant a\cdot b)$

Jatkuvuuden aksioomat

{\text{III}}_{1}.

Riippumatta ei-tyhjät joukot ja Sellainen, että kahdelle elementille ja epäyhtälö pätee , on olemassa luku siten, että kaikille ja suhde pätee

A\osajoukko \mathbb {R}

B\alajoukko \mathbb {R}

a\in A

b\in B

a\leqslant b

\xi \in \mathbb {R}

a\in A

b\in B

a\leqslant \xi \leqslant b

Nämä aksioomit ovat riittäviä johtamaan tarkasti kaikki reaalilukujen tunnetut ominaisuudet [16] .

Modernin algebran kielellä ensimmäisen ryhmän aksioomit tarkoittavat, että joukko on kenttä . Toisen ryhmän aksioomit - että joukko on lineaarisesti järjestetty joukko ( - ), ja järjestyssuhde on yhdenmukainen kentän rakenteen kanssa - . Joukkoja, jotka täyttävät ensimmäisen ja toisen ryhmän aksioomat, kutsutaan järjestetyiksi kentiksi . Lopuksi viimeinen ryhmä, joka koostuu yhdestä aksioomasta, toteaa, että reaalilukujoukolla on jatkuvuuden ominaisuus , jota kutsutaan myös täydellisyydeksi . Yhteenvetona voimme antaa vastaavan määritelmän reaalilukujoukolle. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ${\text{II}}_{1}$ ${\text{II}}_{4}$ ${\text{II}}_{5}$ ${\text{II}}_{6}$

Määritelmä. Reaalilukujen joukko on jatkuva järjestyskenttä.

Muut reaalilukujen aksioomajärjestelmät

On muitakin tapoja aksiomatisoida reaaliluvut. Esimerkiksi jatkuvuuden aksiooman sijasta voit käyttää mitä tahansa muuta vastaavaa ehtoa tai ehtoryhmää. Esimerkiksi Hilbertin ehdottamassa aksioomijärjestelmässä ja ryhmien aksioomat ovat olennaisesti samat kuin edellä, ja aksiooman sijasta käytetään seuraavia kahta ehtoa: ${\text{III}}_{1}.$ ${\teksti{I}}$ ${\teksti{II}}$ ${\text{III}}_{1}$

{\text{III}}_{1}'.

Archimedesin aksiooma . Olkoon [17] ja. Tällöin elementtivoidaan toistaa terminä niin monta kertaa, että tuloksena oleva summa ylittää:

a>0

b>0

a

b

$a+a+\ldots +a>b$

{\text{III}}_{2}'.

Täydellisyyden aksiooma (Hilbertin merkityksessä). Järjestelmää ei voida laajentaa mihinkään järjestelmään siten, että säilyttäen edelliset elementtien väliset suhteet kohteelle , kaikki aksioomat - , .

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

\mathbb {R}

\mathbb {R} ^{*}

{\teksti{I}}

{\teksti{II}}

{\text{III}}_{1}'.

Siten voidaan antaa seuraava vastaava määritelmä:

Määritelmä. Reaalilukujen joukko on maksimaalinen Arkhimedeen järjestyskenttä

Toisena esimerkkinä reaalilukujen aksiomatisoinnista voidaan antaa Tarskin aksiomatiikka , joka koostuu vain 8 itsenäisestä aksioomasta.

Ominaisuudet

Yhteys rationaalisilla luvuilla

On selvää, että rationaaliluvut sekoitetaan reaalilukujen kanssa lukurivillä , ja reaalilukujen joukko on tietyssä mielessä ”tiheä” kuin rationaalisten lukujen joukko. Herää luonnollinen kysymys, kuinka usein rationaali- ja reaaliluvut putoavat lukujonolle ja voidaanko joitain lukuja approksimoida toisilla. Vastauksen tähän kysymykseen antaa kolme lemmaa , jotka perustuvat pääasiassa Arkhimedesen aksioomiin . [kahdeksantoista]

Lemma 1. Jokaiselle reaaliluvulle ja mille tahansa etukäteen otetulle positiiviselle rationaaliselle etäisyydelle on olemassa rationaalilukupari, jotka erotetaan toisistaan vähemmän kuin tämä etäisyys siten, että reaaliluku on näiden rationaalisten lukujen välisellä segmentillä .

\forall a\in \mathbb {R} ~\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~(q_{ 1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{2}-q_{1}<\varepsilon )

Tämä lemma sanoo, että mikä tahansa reaaliluku voidaan approksimoida kahdelta puolelta annetulla tarkkuudella rationaalisilla luvuilla.

Lemma 2. Minkä tahansa kahden eri reaaliluvun välissä on rationaalinen luku.

\forall a,b\in \mathbb {R} ,a<b~\olemassa q\in \mathbb {Q} :a<q<b

Tämän lemman ilmeinen seuraus on se tosiasia, että minkä tahansa kahden ei-yhtenäisen reaaliluvun välillä on ääretön määrä rationaalilukuja. Lisäksi on vielä selvempää, että minkä tahansa kahden erillisen rationaaliluvun välillä on reaaliluku.

Lemma 3. Lemmassa 1 kuvattu reaaliluvun rationaalinen approksimaatio identifioi yksiselitteisesti reaaliluvun.

\forall a,b\in \mathbb {R} ~(\forall \varepsilon \in \mathbb {Q} _{+}~\exists q_{1},q_{2}\in \mathbb {Q} :~ (q_{1}\leq a\leq q_{2})\land (q_{1}\leq b\leq q_{2})\maa (q_{2}-q_{1}<\varepsilon ))\ Oikea nuoli a=b

Nämä lemmat sanovat ensinnäkin, että reaalilukujen joukko ei ole niin "tiheä" verrattuna rationaalisten lukujen joukkoon, miltä se saattaa näyttää. Tämän havainnollistaa erityisen selvästi Lemma 2. Kaikkia kolmea lemmaa käytetään aktiivisesti todistamaan erilaisia reaalilukujen yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin liittyviä lauseita.

Joukkoteoreettiset ominaisuudet

Aluksi reaaliluvut olivat luonnollinen yleistys rationaalisista luvuista , mutta ensimmäistä kertaa he löysivät laskemattomuuden ominaisuuden, joka sanoo, että reaalilukujoukkoa ei voida numeroida, eli todellisen ja luonnollisen joukon välillä ei ole bijektiota . numerot . Jotta voidaan näyttää koko reaalilukujoukon laskemattomuus, riittää, että näytetään välin laskemattomuus . [kahdeksantoista] $\vasen(0,1\oikea)$

Olkoon kaikki määritetyn välin numerot jo jollakin tavalla lueteltuja. Sitten ne voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa:

x_{1}=0,a_{11}a_{12}\cdots a_{1m}\cdots

x_{2}=0,a_{21}a_{22}\cdots a_{2m}\cdots

\cdots

x_{k}=0,a_{k1}a_{k2}\cdots a_{km}\cdots

\cdots

Tässä on -: nnen luvun -:s numero. On selvää, että kaikki osoitetun tyyppiset luvut todella kuuluvat tarkasteltavaan väliin, elleivät jokaisen numeron kaikki numerot ole välittömästi nollia tai yhdeksän . $a_{{ij}}$ $j$ $i$

Harkitse seuraavaksi seuraavaa numeroa:

x=0,d_{1}d_{2}\cdots d_{m}\cdots

Täyttää jokainen tämän luvun numero seuraavat kolme ominaisuutta: $d_{i}$

$d_{i}\neq 0$
$d_{i}\neq 9$
$d_{i}\neq a_{ii}$

Tällainen luku on todella olemassa määritetyllä aikavälillä, koska se on todellinen, ei ole sama kuin nolla tai yksi, ja desimaaliluvut riittävät kolmannen ominaisuuden säilymiseen. Lisäksi se on mielenkiintoinen seikka, että se ei täsmää minkään yllä kirjoitetun luvun kanssa, koska muuten luvun -:s numero osuisi yhteen luvun -: nnen numeron kanssa . Päädyimme ristiriitaan, joka koostuu siitä, että riippumatta siitä, kuinka tarkasteltavan välin numerot on numeroitu, samasta välistä tulee silti numero, jolle ei ole annettu numeroa. [kahdeksantoista] $x$ $x_{j}$ $j$ $x$ $j$ $x_{j}$

Tämä osoittaa, että reaalilukujen joukko ei ole laskettavissa . Sen tehoa kutsutaan jatkumon voimaksi .

Laajennettu joukko reaalilukuja

Monissa matemaattisen analyysin sovelluksissa on kätevää käyttää laajennettua reaalilukujoukkoa , joka saadaan täydentämällä reaalilukujen joukkoa äärettömässä olevalla pisteellä jollakin seuraavista tavoista [19] . ${\overline {R))$ $R$

Kaksi merkkistä ääretöntä: , $\overline R = R \cup \{ +\infty\} \cup \{ -\infty\}$
Yksi etumerkitön ääretön: . ${\overline {R}}=R\cup \{\infty \}$

Merkilliset äärettömät ja , jotka esiintyvät ensimmäisessä määritelmässä, edustavat positiivisten tai negatiivisten lukujen sarjan rajaa, joka kasvaa loputtomasti modulossa. Toisessa määritelmässä käytetään etumerkitöntä ääretöntä , jota joskus kutsutaan myös nimellä , joka on numerosarjan (mielivaltaisilla etumerkeillä) raja, jonka absoluuttinen arvo kasvaa loputtomasti. Huomaa, että symboli voi merkitä sekä etumerkitöntä ääretöntä että positiivista ääretöntä . Yleensä asiayhteydestä käy selväksi, mitä äärettömyyttä tarkoitetaan, tai sillä ei ole väliä. $+\infty$ $-\infty$ $\infty$ $\pm\infty$ $\infty$ $+\infty$

Reaalilukujen yleistäminen

Reaalilukujen ala on jatkuvasti palvellut matematiikassa yleistysten lähteenä ja useissa käytännössä tärkeissä suunnissa. Seuraavat yleistettyjen numeeristen järjestelmien muunnelmat liittyvät suoraan kenttään . $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

Monimutkaiset luvut . Erityisen hedelmällisiä algebrassa ja analyysissä , niitä käytetään menestyksekkäästi fysiikassa , sähkötekniikassa , kartografiassa , hydrodynamiikassa jne.
Välinumerot . Niitä käytetään pääasiassa likimääräisten laskelmien teoriassa ja todennäköisyysteoriassa .
Epästandardi analyysi , joka lisää äärettömän pieniä ja äärettömän suuria lukuja (eri luokkaa) reaalilukuihin.

Sovellukset

Reaalilukujen matemaattista mallia käytetään laajalti tieteessä ja tekniikassa jatkuvasti muuttuvien suureiden mittaamiseen. Tämä ei kuitenkaan ole sen pääsovellus, koska todellisuudessa mitatuissa suureissa on aina äärellinen määrä desimaalilukuja, eli ne ovat rationaalilukuja. Tämän mallin päätarkoituksena on toimia pohjana analyyttisille tutkimusmenetelmille. Näiden menetelmien valtava menestys kolmen viime vuosisadan aikana on osoittanut, että reaalilukujen malli heijastelee useimmissa tapauksissa riittävästi jatkuvien fyysisten suureiden rakennetta [20] [21] .

Se, mitä on sanottu, ei tietenkään tarkoita, että reaalilukuviiva on tarkka kuva todellisesta jatkuvasta suuresta. Esimerkiksi moderni tiede ei vielä tiedä, ovatko tila ja aika diskreettejä vai äärettömästi jaettavia; kuitenkin myös toisessa tapauksessa reaalilukujen mallia näille suureille tulisi pitää likimääräisenä, koska käsitteet avaruuspisteestä ja ajanhetkestä ovat idealisaatioita , joilla ei ole todellista analogia. Tästä peruskysymyksestä on keskusteltu laajasti tieteessä Zenonin aporiaista alkaen .

Katso myös

Muistiinpanot

↑
Nimet " todellinen luku " ja " reaaliluku " ovat vastaavia. Historiallisesti termiä " reaaliluku " käytettiin Moskovan matematiikan koulussa ja " reaalilukua " Leningradin koulussa . Esimerkkinä voidaan mainita kaksi klassikkoteosta:
- Luzin, N. N. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. (Moskovan koulu)
- Natanson, I. P. Reaalimuuttujan funktioiden teoria. (Leningradin koulu)
Nykyaikaisissa yliopistooppikirjoissa käytetään molempia termejä:
- Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. ( MGU, mekhmat ) - todellinen luku
- Ilyin V. A., Poznyak V. G. Matemaattisen analyysin perusteet. ( Moskovan valtionyliopisto, fysiikan tiedekunta ) - todellinen luku
- Kudrjavtsev, L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. ( MIPT ) on reaaliluku
- Fikhtengol'ts, G. M. Differentiaali- ja integraalilaskennan kurssi. ( Pietarin valtionyliopisto ) — todellinen luku
↑ Katso L. D. Kudryavtsev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1. - S. 35-36. , sekä Bourbaki N. Esseitä matematiikan historiasta. - S. 146.
↑ 1 2 3 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta. - S. 287-289.
↑ Bourbaki N. . Matematiikan arkkitehtuuri. Esseitä matematiikan historiasta. - S. 147.
↑ 1 2 Bourbaki N. . Matematiikan arkkitehtuuri. Esseitä matematiikan historiasta. - S. 150-151.
↑ Matematiikan historia. - T. I. - S. 190-191, 304-305.
↑ Matematiikan historia. - T. II. - S. 35.
↑ Bourbaki N. . Matematiikan arkkitehtuuri. Esseitä matematiikan historiasta. - S. 154.
↑ Lukija matematiikan historiasta. Matemaattinen analyysi. Todennäköisyysteoria / Toim. A. P. Juskevitš . - M . : Koulutus, 1977. - S. 171-178. — 224 s.
↑ Bernard Bolzano. Äärettömän paradoksit. Arkistoitu 13. huhtikuuta 2014 Wayback Machineen
↑ Rykhlik Karel. Reaalilukujen teoria Bolzanon käsinkirjoitetussa perinnössä // IMI, 1958. Nro 11. S. 515-532.
↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra ja analyysin alku. Oppikirja lukion 10-11 luokalle. - M., Education, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 162-165
↑ Rybnikov K. A. Matematiikan historia. - T. 2. - S. 196.
↑ Koska reaalilukujen joukkoon on jo otettu käyttöön lineaarinen järjestysrelaatio, voimme määritellä reaaliviivan topologian: avoimina joukoina otamme kaikki mahdolliset muodon intervalliliitot. $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Reid C. Gilbert. - S. 79.
↑ Katso L. D. Kudryavtsev, Course of Mathematical Analysis. - T. 1.
↑ $(a>0)\;{\overset {\text{def}}{\Leftrightarrow }}\;(a\geqslant 0)\land (a\neq 0)$
↑ 1 2 3 V. A. Iljin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Luku 2. Reaaliluvut // Matemaattinen analyysi / Toim. A. N. Tikhonova . - 3. painos , tarkistettu ja ylimääräistä - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 44-45, 63 - 64. - 672 s. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kudryavtsev L. D., 2005 , s. 19.
↑ Matematiikka, sen sisältö, menetelmät ja merkitys (kolmessa osassa). - Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1956. - T. 1. - S. 29-31. — 296 s.
↑ Stewart, Ian . Professori Stewartin uskomattomat numerot = Professori Stewartin uskomattomat numerot. - M . : Alpina tietokirjallisuus, 2016. - S. 209-210. — 422 s. - ISBN 978-5-91671-530-9 .

Kirjallisuus

Viitteet

Arnold IV Teoreettinen aritmetiikka. - M .: UCPHEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Esseitä matematiikan historiasta / käännös. ranskasta I. G. Bashmakova, toim. K. A. Rybnikova. - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963.

Hilbert D. Geometrian perusteet = Grundlagen der Geometrie / per. I. S. Gradshteinin 7. saksankielisestä painoksesta, toim. P. K. Rashevsky. - M. - L .: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta. — Per. ranskasta - M .: MIR, 1986. - 432 s.

Dedekind R. Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. tarkistettu painos. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - 4. painos, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Matemaattisen analyysin perusteet: 2 tunnissa Osa I. - 7. painos. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 648 s. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Matematiikan historiaa muinaisista ajoista 1800-luvun alkuun. Kolmessa osassa / toim. Juskevitš. - M .: NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Työskentelee joukkoteorian parissa / toim. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Juskevitš,. - M . : TIETEET, 1985. - (Tieteen klassikot).

A. N. Kolmogorov. Reaalilukuteorian perusteluista // Uspekhi Mat . - 1946. - T. 1 , numero. 1(11) . - S. 217-219 .
Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Kudrjavtsev L. D. Matemaattisen analyysin lyhyt kurssi. - 3. painos tarkistettu .. - M . : FIZMATLIT, 2005. - T. 1. - 400 s. — ISBN 5-9221-0184-6 .

Reed K. Gilbert / käänn. englannista. I. V. Dolgachev, toim. R. V. Gamkrelidze. - M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Matematiikan historia. - M . : Moskovan yliopiston kustantamo, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Matemaattisen analyysin kurssi. — 3. painos, korjattu. - M. : FIZMATLIT, 2001. - 672 s. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol'ts G.M. Matemaattisen analyysin perusteet. - 7. painos - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Suositeltavaa luettavaa

reaaliluvun käsitteen muodostumisen historiasta:

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Esseitä matematiikan historiasta.
Matematiikan historia, toimittanut A. P. Yushkevich kolmessa osassa, M .: Nauka.

Osa 1 Muinaisista ajoista nykyajan alkuun. (1970)
Osa 2 1600-luvun matematiikka. (1970)
Osa 3 1700-luvun matematiikka. (1972) Arkistoitu 24. maaliskuuta 2017 Wayback Machinessa

Yksityiskohtainen esitys teoriasta reaalilukujen rakentamisesta perussarjoja käyttäen sekä teoria reaalilukujen rakentamisesta käyttämällä rationaalilukujen alueen osia, löytyy seuraavasta:

Arnold IV Teoreettinen aritmetiikka . Arkistoitu 25. helmikuuta 2010 Wayback Machinessa

Ne, jotka haluavat tutustua R. Dedekindin itsensä alkuperäiseen ajatuskulkuun, voivat suositella esitettä, jossa Dedekind hahmotteli vuonna 1872 teoriaansa todellisesta luvusta. Tämä kirja on edelleen yksi parhaista ja saavutettavimmista aiheen näyttelyistä tähän mennessä. Siellä on venäjänkielinen käännös:

Dedekind, R. Jatkuvuus ja irrationaaliset luvut = Stetigkeit und irrationale Zahlen. — 4. tarkistettu painos. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

Klassisessa oppikirjassa on myös erinomainen esitys Dedekindin teoriasta :

Fikhtengol'ts, G. M. Matemaattisen analyysin perusteet. - 7. painos - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 s. — ISBN 5-9221-0196-X .

Reaaliluvun teorian rakentaminen äärettömiä desimaalilukuja käyttämällä löytyy kirjoista:

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Matemaattisen analyysin kurssi.
Ilyin V. A., Poznyak E. G. Matemaattisen analyysin perusteet: 2 tunnissa. Osa I.

aksiomaattinen esitys reaaliluvun teoriasta löytyy kirjoista:

Kudrjavtsev, L. D. Matemaattisen analyysin kurssi. - 5. painos - M . : Drofa, 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1 .
Zorich, V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. - Toim. 4th, rev. - M. : "MTsNMO", 2002. - 657 s. — ISBN 5-94057-056-9 .

D. Hilbert esittelee aksiomaattisen menetelmän olemuksen ja sen vertailun konstruktiiviseen lähestymistapaan useilla sivuilla kohdassa ”Liite VI. Numeron käsitteestä" klassisen teoksen seuraavassa painoksessa:

Hilbert D. Geometrian perusteet = Grundlagen der Geometrie. - per. I. S. Gradshteinin 7. saksankielisestä painoksesta, toim. P. K. Rashevsky. - M. - L .: Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1948.

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNF : 11977586x GND : 4202628-3 J9U : 987007538747105171 LCCN : sh85093221 NDL : 00574870 NKC : ph125164

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion