Quaternion

Quaternion
Perustamis- / luomis- / esiintymispäivä	1843 [1]
Edellinen järjestyksessä	kompleksiluku
Seuraava järjestyksessä	Cayley algebra
Löytäjä tai keksijä	William Rowan Hamilton [1]
avauspäivämäärä	1843
Kaava, joka kuvaa lakia tai lausetta	$i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1$
Kuvattu linkissä	treccani.it/enciclopedia…getpocket.com/explore/it… ( englanti )


Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Kvaterniot ( lat. quaterni , neljä kutakin ) - hyperkompleksilukujen järjestelmä , jotka muodostavat vektoriavaruuden, jonka ulottuvuus on neljä reaalilukukentän päälle . Yleensä merkitään symbolilla . William Hamiltonin ehdotus vuonna 1843 . $\mathbb {H}$

Kvaternionit sopivat kolmi- ja neliulotteisten euklidisten avaruuksien isometrioiden kuvaamiseen, ja siksi niitä käytetään laajalti mekaniikassa . Niitä käytetään myös laskennallisessa matematiikassa - esimerkiksi luotaessa kolmiulotteista grafiikkaa [2] .

Henri Poincare kirjoitti kvaternioneista: "Niiden ulkonäkö antoi voimakkaan sysäyksen algebran kehitykselle ; niistä eteenpäin tiede kulki luvun käsitteen yleistämisen polkua, päätyen matriisin ja lineaarisen operaattorin käsitteisiin, jotka läpäisevät modernin matematiikan. Se oli aritmetiikassa vallankumous, samanlainen kuin Lobatševsky geometriassa ” [ 3 ] .

Määritelmät

Vakio

Quaternions voidaan määritellä summaksi

q=a+bi+cj+dk

missä ovat todelliset luvut $a,b,c,d$

{\näyttötyyli i,j,k}

ovat kuvitteellisia yksiköitä , joilla on seuraava ominaisuus: , kun taas niiden parittaisen tulon tulos riippuu sekvenssijärjestyksestä (ei kommutatiivista ): , a .

i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1

ij=k

ji=-k

Peruskvaternionien kertotaulu

{\näyttötyyli 1,i,j,k}

X	yksi	i	j	k
yksi	yksi	i	j	k
i	i	-yksi	k	-j
j	j	-k	-yksi	i
k	k	j	-i	-yksi

Kuten vektori ja skalaari

Kvaternioni on pari , jossa on kolmiulotteinen avaruusvektori ja skalaari, eli reaaliluku . $\left(a,{\vec {u}}\oikea),$ ${\vec {u}}$ $a$

Lisäystoiminnot määritellään seuraavasti:

\left(a,{\vec {u}}\right)+\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(a+b,{\vec {u}}+ {\vec {v}}\right).

Tuote määritellään seuraavasti:

\left(a,{\vec {u}}\right)\left(b,{\vec {v}}\right)=\left(ab-{\vec {u}}\cdot {\ vec {v)),a{\vec {v}}+b{\vec {u}}+{\vec {u}}\times {\vec {v}}\oikea),

jossa tarkoittaa skalaarituloa ja on vektoritulo . $\cdot$ $\ajat$

Erityisesti,

\left(a,0\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(0,{\vec {v}}\right)\left(a,0\ right)=\left(0,a{\vec {v}}\oikea),

\left(a,0\right)\left(b,0\right)=\left(ab,0\oikea),

\left(0,{\vec {u}}\right)\left(0,{\vec {v}}\right)=\left(-{\vec {u}}\cdot {\vec {v)),{\vec {u}}\times {\vec {v}}\right).

Huomaa, että:

Kvaternionien algebrallisilla operaatioilla on distributiivinen ominaisuus ;
Vektorituotteen antikommutatiivisuus tarkoittaa kvaternionien tuotteen ei-kommutatiivisuutta.

Kompleksilukujen kautta

Satunnainen kvaternion voidaan esittää kompleksilukujen parina muodossa $\q=a+bi+cj+dk$

\ q=(a+bi)+(c+di)j

Tai vastaava

\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,

missä ovat kompleksiluvut, koska se pätee sekä kompleksiluvuille että kvaternioneille ja . $\z_{1},z_{2}$ $\ i^{2}=-1$ $k=ij$

Matriisiesitysten kautta

Reaalimatriisit

Kvaternionit voidaan määritellä myös seuraavan muodon reaalimatriiseiksi tavallisella matriisitulolla ja summalla:

{\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\b&\;\;a&-d&\;\;c\\c&\;\;d&\;\;a&-b\\d&-c&\; \;b&\;\;a\end{pmatrix}}.

Tällä merkinnällä:

konjugaattikvaternion vastaa transponoitua matriisia: ${\bar q}\mapsto Q^{T}$ ;
kvaterniomoduulin neljäs potenssi on yhtä suuri kuin vastaavan matriisin determinantti: $\left|q\right|^{4}=\det Q.$

Monimutkaiset matriisit

Vaihtoehtoisesti kvaternionit voidaan määritellä seuraavan muodon monimutkaisiksi matriiseiksi, joissa on tavallinen matriisitulo ja summa:

{\begin{pmatrix}\;\;\alpha &\beta \\-{\bar \beta }&{\bar \alpha }\end{pmatrix))={\begin{pmatrix}\;\;a+ bi&c +di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}},

tässä ja merkitse kompleksikonjugaattiluvut k ja . ${\bar \alpha }$ ${\bar \beta }$ $\alpha$ $\beeta$

Tällä esityksellä on useita merkittäviä ominaisuuksia:

kompleksiluku vastaa diagonaalimatriisia;
konjugaattikvaternion vastaa konjugaattitransponoitua matriisia: ${\bar q}\mapsto {\bar Q}^{T}$ ;
kvaternionmoduulin neliö on yhtä suuri kuin vastaavan matriisin determinantti: $\left|q\right|^{2}=\det Q.$

Aiheeseen liittyvät objektit ja toiminnot

Neljänneksi

q=a+bi+cj+dk

kvaternionia kutsutaan skalaariosiksi ja kvaternionia vektoriosaksi . Jos sitten kvaternionia kutsutaan puhtaasti skalaariksi ja kun - puhtaasti vektoriksi . $a$ $q,$ $u=bi+cj+dk$ $u=0,$ $a = 0$

Konjugaatio

Kvaternionille konjugaatti on: $q$

{\bar {q}}=a-bi-cj-dk.

Konjugaattituote on konjugaattien tuote käänteisessä järjestyksessä:

{\overline {pq}}={\bar {q}}{\bar {p}}.

Kvaternioneille tasa-arvo

{\overline {p}}=-{\frac {1}{2}}(p+ipi+jpj+kpk).

Moduuli

Aivan kuten kompleksiluvuille,

\left|q\right|={\sqrt {q{\bar q}}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}

kutsutaan moduuliksi . Jos sitten kutsutaan yksikkö kvaternion . $q$ $\left|q\right|=1,$ $q$

Kvaternionin normina sen moduulia pidetään yleensä: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|$

Siten metriikka voidaan ottaa käyttöön kvaternionien joukkoon. Kvaternionit muodostavat metrisen avaruuden isomorfisen euklidisen metriikan kanssa. $\R^4$

Quaterniot, joiden normi on moduuli, muodostavat Banach-algebran .

Kerto- (jako) käänteinen

Kvaternioni, käänteinen kertolaskulle , lasketaan seuraavasti: . $q$ $q^{{-1}}={\frac {{\bar q}}{\left|q\right|^{2}}}$

Algebralliset ominaisuudet

Kvaternionien joukko on esimerkki solidista eli renkaasta, jossa on jako ja yksi. Kvaternionijoukko muodostaa neliulotteisen assosiatiivisen jakoalgebran todellisten (mutta ei kompleksisten) lukujen kentän yli.

Frobenius-lauseen mukaan kappaleet , ovat ainoat äärellisulotteiset assosiatiiviset jakoalgebrat reaalilukujen alalla. ${\mathbb R}$ ${\mathbb C}$ ${\mathbb H}$

Kvaternion kertolasku ei-kommutatiivisuus johtaa odottamattomiin seurauksiin. Esimerkiksi polynomiyhtälön eri juurien lukumäärä kvaternionien joukossa voi olla suurempi kuin yhtälön aste. Erityisesti yhtälöllä on äärettömän monta ratkaisua - nämä ovat kaikki yksikköpuhtaasti vektorikvarnioneja. $q^{2}+1=0$

Neljä peruskvaternonia ja neljä vastakkaista merkkiä muodostavat kertomalla ryhmän kvaternioita ( luokkaa 8). Nimetty:

Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\oikea\}.

Kvaternionit ja avaruusrotaatiot

Kvaternionit, joita pidetään yli algebrana , muodostavat neliulotteisen reaalivektoriavaruuden . Tämän avaruuden mikä tahansa kierto suhteessa kohtaan voidaan kirjoittaa muodossa , jossa ja ovat yksikkökvaternioiden pari, kun taas pari määräytyy merkkiin asti, eli yhden kierron määrää täsmälleen kaksi paria - ja . Tästä seuraa, että kiertojen Lie-ryhmä on tekijäryhmä , jossa tarkoittaa yksikkökvaternionien kertovaa ryhmää. $\mathbb {R}$ $0$ $q\mapsto\xi q\zeta$ $\xi$ $\zeta$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(\xi ,\zeta \right)$ $\left(-\xi ,-\zeta \right)$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,4\right)$ $\R^4$ $S^{3}\times S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ $S^{3}$

Puhtaasti vektorikvaternionit muodostavat kolmiulotteisen todellisen vektoriavaruuden. Kaikki puhtaasti vektorikvarnioiden tilan kierto suhteessa voidaan kirjoittaa muodossa , jossa on jokin yksikkökvaternion. Näin ollen, erityisesti, on diffeomorfinen . $0$ $u\mapsto \xi u{\bar \xi }$ $\xi$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)=S^{3}/\mathbb{Z } _{2}$ ${\text{SO}}\left(\mathbb{R} ,3\right)$ $\mathbb{R} {\mathrm {P}}^{3}$

"Koko" quaternions

Kvaternionin normiksi valitsemme sen moduulin neliön: . $\left\|z\right\|=\left|z\right|^{2}$

Hurwitzin kokonaislukuja kutsutaan kvaternioneiksi siten, että kaikki ovat kokonaislukuja ja niillä on sama pariteetti. $a+bi+cj+dk$ $2a, 2b, 2c, 2d$

Kokonaisluvun kvaternionia kutsutaan

jopa
outo
yksinkertainen

jos sen normilla on sama ominaisuus.

Kokonaislukukvaternionia kutsutaan primitiiviseksi , jos se ei ole jaollinen millään muulla luonnollisella luvulla kuin , kokonaisluvulla (toisin sanoen ). $yksi$ $\gcd \left(2a,2b,2c,2d\oikea)\leq 2$

Kokonaislukuyksikön kvaternionit

Kokonaislukuyksikkökvarternioita on 24:

\pm 1

; ; ; ;

\pm i

\pm j

\pm k

{\frac {\pm 1\pm i\pm j\pm k}{2)).

Ne muodostavat kertomalla ryhmän, sijaitsevat säännöllisen 4-ulotteisen monitahoisen - 3-kuutiotaedrin (jota ei pidä sekoittaa kolmiulotteiseen monitahuiseen kuuboktaedriin ) -pisteissä.

Hajoaminen alkutekijöihin

Primitiivisille kvaternioneille on totta aritmeettisen peruslauseen analogi .

Lause. [4] Jokaiselle kiinteälle järjestykselle tekijöiden hajotuksessa kvaternion normin positiivisten kokonaislukujen tuloksi on olemassa kvaternion hajoaminen yksinkertaisten kvaternionien tuotteeksi siten, että . Lisäksi tämä laajennus on ainutlaatuinen modulo kertominen yksiköillä, mikä tarkoittaa, että kaikilla muilla laajennuksilla on muoto $N(q)$ $N(q)=p_{1}p_{2}...p_{n}$ $q$ $q=q_{1}q_{2}...q_{n}$ $N(q_{i})=p_{i}$

q=\left(q_{1}\epsilon _{1}\right)\left({\bar \epsilon }_{1}q_{2}\epsilon _{2}\right)\left({\bar \epsilon }_{2}q_{3}\epsilon _{3}\right)...\left({\bar \epsilon }_{{n-1}}q_{n}\right)

jossa , , , … ovat kokonaislukuyksikön kvaternioita. $\epsilon_{1}$ $\epsilon_{2}$ $\epsilon _{3}$ $\epsilon_{{n-1}}$

Esimerkiksi primitiivisen kvaternionin normi on 60, mikä tarkoittaa, että yksiköillä kerrottuna sillä on täsmälleen 12 laajennusta yksinkertaisten kvaternionien tuloksi, mikä vastaa 12:ta luvun 60 laajennusta alkulukujen tuloiksi: $q=(1+i)^{2}(1+i+j)(2+i)$

$60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\quad 60=2\cdot 2\cdot 5\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 2\cdot 5\quad 60=2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\quad 60=2\cdot 3\cdot 5\cdot 2\quad 60=2\cdot 5\cdot 3\cdot 2$

$60=3\cdot 2\cdot 2\cdot 5\quad 60=5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\quad 60=3\cdot 2\cdot 5\cdot 2\quad 60=5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\quad 60=3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\quad 60=5\cdot 3\cdot 2\cdot 2$

Tällaisen kvaternionin laajennusten kokonaismäärä on $24^{3}\cdot 12=165888$

Quaternion-muuttujafunktiot

Aputoiminnot

Kvaternion-merkki lasketaan seuraavasti:

\operaattorinnimi {sgn} \,q={\frac {q}{\left|q\right|}}.

Kvaternionargumentti on 4D-avaruuden kulma kvaternionin ja todellisen yksikön välillä:

\arg q=\arccos {\frac {a}{\left|q\right|}}.

Seuraavassa käytämme annetun kvaternionin esitystä muodossa $q$

q=a+\left|\mathbf {u} \right|\mathrm {i} =\left|q\right|\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,\mathrm {arg} \ ,q}.

Tässä on kvaternionin todellinen osa, . Samalla siis , todellinen suora taso, joka kulkee läpi ja sillä on kompleksilukujen algebran rakenne, mikä mahdollistaa mielivaltaisten analyyttisten funktioiden siirtämisen kvaternionien tapaukseen. Ne täyttävät vakiorelaatiot, jos kaikki argumentit ovat muotoa kiinteälle yksikkövektorille . Jos joudutaan tarkastelemaan erisuuntaisia kvaternioita, kaavat muuttuvat paljon monimutkaisemmiksi kvaternionalgebran ei-kommutatiivisuuden vuoksi. $a$ ${\mathrm {i}}=\left|{\mathbf {u}}\right|^{{-1}}{\mathbf {u}}$ ${\mathrm {i}}^{2}=-1$ $q$ $a+b{\mathrm {i}}$ ${\mathrm {i))$

Perusfunktiot

Analyyttisten funktioiden standardimäärittely assosiatiivisella normoidulla algebralla perustuu näiden funktioiden laajentamiseen potenssisarjoiksi. Argumentit, jotka todistavat tällaisten funktioiden määrittelyn oikeellisuuden, ovat täysin analogisia monimutkaisen tapauksen kanssa ja perustuvat vastaavien potenssisarjojen konvergenssisäteen laskemiseen. Kun otetaan huomioon edellä oleva "kompleksi" esitys tietylle kvaternionille, vastaava sarja voidaan supistaa alla olevaan kompaktiin muotoon. Tässä on vain joitain yleisimmistä analyyttisista funktioista; samoin mikä tahansa analyyttinen funktio voidaan laskea. Yleinen sääntö on: jos kompleksiluvuille, niin missä on kvaternion , jota tarkastellaan "kompleksisessa" esityksessä . $f(a+b{\mathrm {i}})=c+d{\mathrm {i}}$ $f(q)=c+d{\mathbf {i))$ $q$ $q=a+b{\mathbf {i))$

Aste ja logaritmi

\exp q=\exp a\left(\cos \left|{\mathbf {u}}\right|+\sin \left|{\mathbf {u}}\right|{\hat ({\mathbf {u } }}}}\oikea)

\ln q=\ln \left|q\right|+\arg q\,{\hat ({\mathbf {u))))

Huomaa, että kuten tavallista monimutkaisessa analyysissä, logaritmi osoittautuu määritellyksi vain . $2\pi {\hat {{\mathbf {u))))$

Trigonometriset funktiot

\sin q=\sin a\,\operaattorinnimi {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|+\cos a\,\operaattorin nimi {sh}\left|{\mathbf {u}}\oikea |{\hattu {{\mathbf {u}}}}

\cos q=\cos a\,\operaattorin nimi {ch}\left|{\mathbf {u}}\right|-\sin a\,\operaattorin nimi {sh}\left|{\mathbf {u}}\oikea |{\hattu {{\mathbf {u}}}}

\operaattorin nimi {tg}\,q={\frac {\sin q}{\cos q))

Lineaarinen näyttö

Kvaternionalgebrakuvausta kutsutaan lineaariseksi, jos yhtälöt $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(ax)=af(x)

x,y\in \mathbb {H} ,a\in \mathbb {R}

missä on reaalilukujen kenttä. Jos on kvaternionalgebran lineaarinen kuvaus, niin mille tahansa kuvaukselle $\mathbb {R}$ $f$ $a,b\in \mathbb {H}$

(afb)(x)=af(x)b

on lineaarinen kartoitus. Jos on identiteettikartoitus ( ), niin minkä tahansa voimme tunnistaa tensoritulon kartoituksesta $f$ $f(x)=x$ $a,b\in \mathbb {H}$ $a\otimes b$

{\näyttötyyli (a\otimes b)\circ x=axb}

Kaikille lineaarisille mappauksille on olemassa tensori , Sellainen, että $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $a\in \mathbb {H} \otimes \mathbb {H}$ ${\displaystyle a=a_{s0}\otimes a_{s1))$

{\displaystyle f(x)=a\circ x=(a_{s0}\otimes a_{s1})\circ x=a_{s0}xa_{s1))

Yllä olevat yhtäläisyydet olettavat indeksin summauksen . Siksi voimme tunnistaa lineaarisen mappauksen ja tensorin . $s$ $f$ $a$

Säännölliset funktiot

Kvaternionmuuttujan säännöllisiä funktioita voidaan määrittää eri tavoin. Selkein on kvaternionaalisesti differentioituvien funktioiden huomioiminen, kun taas voidaan tarkastella oikealle -differentioituvia ja vasemmalle - differentioituvia funktioita, jotka eivät täsmää kvaternion kertolaskujen ei-kommutatiivisuuden vuoksi. On selvää, että heidän teoriansa on täysin analoginen. Määrittelemme kvaternion-vasen differentioituvan funktion omaavaksi rajan $f$

{\frac {df}{dq}}=\lim _{{h\to 0}}\left[h^{{-1}}\left(f\left(q+h\right)-f\left (q\oikea)\oikea)\oikea]

Osoittautuu, että kaikilla sellaisilla funktioilla jossain pisteen ympäristössä on muoto $q$

f=a+qb

missä ovat jatkuvat kvaternionit. Toinen tapa perustuu operaattoreiden käyttöön $a,b$

{\frac {\partial }{\partial {\bar q))}={\frac {\partial }{\partial t))+{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x)) +{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y))+{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z))

{\frac {\partial }{\partial q))={\frac {\partial }{\partial t))-{\vec i}{\frac {\partial }{\partial x))-{\vec j}{\frac {\partial }{\partial y}}-{\vec k}{\frac {\partial }{\partial z}}

ja sellaisten kvaternionifunktioiden huomioon ottaminen, joille [5] $f$

{\frac {\partial f}{\partial {\bar q))}=0

joka on täysin analoginen operaattorien käytön kanssa ja monimutkaisessa tapauksessa. Tässä tapauksessa saadaan analogit integraalista Cauchyn lauseesta , jäännösteoriasta , harmonisista funktioista ja Laurentin sarjasta kvaternionifunktioille [6] . ${\frac {\partial }{\partial {\bar z))}$ ${\frac {\partial }{\partial z))$

Kartoitusten eriyttäminen

Jatkuvaa kartoitusta kutsutaan joukossa differentioituvaksi, jos jokaisessa pisteessä kuvauksen muutos voidaan esittää muodossa $f:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$ $U\subset \mathbb {H}$ $x\in U$ $f$

f(x+h)-f(x)={\frac {df(x)}{dx}}\circ h+o(h)

missä

{\frac {df(x)}{dx}}:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}

kvaternionalgebran lineaarinen kartta ja jatkuva kartta siten, että $\mathbb {H}$ $o:\mathbb {H} \rightarrow \mathbb {H}$

\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {|o(a)|}{|a|}}=0

Lineaarista kuvausta kutsutaan kuvauksen derivaataksi . ${\frac {df(x)}{dx))$ $f$

Johdannainen voidaan esittää muodossa [7]

{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1}f(x)}{ dx}}

Vastaavasti kartoitusdifferentiaalilla on muoto $f$

df=

{\frac {df(x)}{dx}}\circ dx=\left({\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}\otimes {\frac {d_{s1} f(x)}{dx}}\oikea)\circ dx={\frac {d_{s0}f(x)}{dx}}dx{\frac {d_{s1}f(x)}{dx} }

Tässä oletetaan summaamista indeksin mukaan . Termien määrä riippuu funktion valinnasta . Lausekkeita ja kutsutaan derivaatan komponenteiksi. $s$ $f$ ${\frac {d_{s0}df(x)}{dx))$ ${\frac {d_{s1}f(x)}{dx))$

Mielivaltaiselle kvaternionille tasa-arvo $a$

{\frac {df(x)}{dx}}\circ a=\lim _{t\to 0}(t^{-1}(f(x+ta)-f(x)))

Kertolaskutyypit

Grassmann kertolasku

Tämä on toinen nimi yleisesti hyväksytylle kvaternionien kertolaskulle ( ). $pq$

Euklidinen kertolasku

Se eroaa yleisesti hyväksytystä tekijästä siinä, että ensimmäisen tekijän sijasta otetaan konjugaatti siihen: . Se on myös ei-kommutatiivista. ${\bar p}q$

Pistetuote

Samanlainen kuin samanniminen vektoreiden toiminta:

p\cdot q={\frac {{\bar p}q+{\bar q}p}{2))

Tällä toiminnolla voidaan valita yksi kertoimista, esimerkiksi . $\left(a+bi+cj+dk\right)\cdot i=b$

Kvaternionmoduulin määritelmää voidaan muuttaa:

\left|p\right|={\sqrt {p\cdot p}}

Ulkoinen tuote

\operaattorin nimi {Ulkoinen}\vasen(p,q\oikea)={\frac {{\bar p}q-{\bar q}p}{2))

Ei käytetty kovin usein, mutta harkitaan pistetuotteen lisäksi.

Vektorituote

Samanlainen kuin vektoreiden samanniminen operaatio. Tuloksena on myös vektori:

p\times q={\frac {pq-qp}{2))

Historiasta

Hamilton julkaisi kvaternionijärjestelmän ensimmäisen kerran vuonna 1843 . Tieteen historioitsijat ovat myös löytäneet luonnoksia tästä aiheesta Gaussin julkaisemattomista käsikirjoituksista , jotka ovat peräisin vuosilta 1819-1820 [ 9 ] . Euler harkitsi myös kvaternioita. B. O. Rodrigue (1840), tarkastellessaan ehdottoman jäykän kappaleen kiertoja, johti säännöt kvaternionien kertomiselle [10] [11] .

Kompleksisen analyysin nopea ja erittäin hedelmällinen kehitys 1800-luvulla herätti matemaatikoiden kiinnostuksen seuraavaan ongelmaan: löytää uudenlaisia lukuja, jotka ovat ominaisuuksiltaan samanlaisia kuin kompleksiluvut , mutta jotka eivät sisällä yhtä, vaan kahta imaginaariyksikköä. Oletettiin, että tällainen malli olisi hyödyllinen matemaattisen fysiikan tilaongelmien ratkaisemisessa. Työ tähän suuntaan oli kuitenkin epäonnistunut. Hamilton [11] käsitteli samaa ongelmaa .

Irlantilainen matemaatikko William Hamilton löysi uudenlaisen luvun vuonna 1843 , ja se ei sisältänyt kahta, kuten odotettiin, vaan kolme kuvitteellista yksikköä. Hamilton työskenteli ensin duplettien (tason pisteiden) kanssa ja sai helposti kompleksilukuja vastaavien kertolaskujen sääntöjä, mutta avaruuden pisteille ( kolmioille ) hän ei voinut saada mitään kertolaskua sellaisille joukoille. Lopulta päätin kokeilla neljää - pisteitä neliulotteisessa avaruudessa. Hamilton kutsui näitä lukuja kvaternioiksi [12] . Myöhemmin Frobenius osoitti tiukasti ( 1877 ) lauseen , jonka mukaan on mahdotonta laajentaa kompleksista kenttää kenttään tai kappaleeseen , jossa on kaksi imaginaariyksikköä [13] .

Kvaternionien ja niiden sovellusten kehitys fysiikassa seurasi kolmea toisiinsa liittyvää polkua: algebrallinen lähestymistapa, jonka apologeetit olivat Cayley , Clifford , B. Pierce , C. Pierce ja Frobenius; monimutkaisten kvaternionien teorialla, jonka edustajat olivat Clifford, Studi ja Kotelnikov ; fysiikan kanssa Maxwellin ja Heavisiden nimien vuoksi [14] . Huolimatta uusien numeroiden epätavallisista ominaisuuksista (niiden ei-kommutatiivisuudesta), tämä malli toi nopeasti käytännön hyötyä. Maxwell käytti kompaktia kvaternion merkintää laatiessaan sähkömagneettisen kentän yhtälöitä . [15] Myöhemmin luotiin kvaternionalgebran pohjalta kolmiulotteinen vektorianalyysi ( Gibbs , Heaviside ) [16] . Kvaternionien käyttö on korvattu sähködynamiikan yhtälöiden vektorianalyysillä. Maxwellin yhtälöiden läheinen yhteys kvaternioneihin ei kuitenkaan rajoitu sähködynamiikkaan, koska SRT:n muotoilun 4-vektorina on Minkowski konstruoinut SRT-teoriassa käyttämällä A. W. Conwayn ja Silbersteinin [ kvaternioneja. 17] . Sodan jälkeinen kvaternionien käytön aika fysiikassa liittyy ryhmäteorian ja niiden esitysten laajaan käyttöön alkeishiukkasfysiikassa. On myös mahdollista korvata kvanttimekaniikan standardi Hilbert-avaruus sen määritelmällä kvaternionien vinokentän yli [18] .

Moderni sovellus

1900-luvulla kvanttimekaniikassa [19] ja suhteellisuusteoriassa [20] yritettiin useita yrityksiä käyttää kvaterniomalleja . Quaternionit ovat löytäneet todellisen sovelluksen nykyaikaisessa tietokonegrafiikassa ja peliohjelmoinnissa [21] sekä laskennallisessa mekaniikassa [22] [23] , inertianavigointi- ja ohjausteoriassa [24] [25] . Vuodesta 2003 lähtien on julkaistu Hypercomplex Numbers in Geometry and Physics -lehteä [26] .

Monissa sovelluksissa on löydetty yleisempiä ja käytännöllisempiä keinoja kuin kvaternionit. Esimerkiksi nykyään avaruuden liikkeiden tutkimiseen käytetään useimmiten matriisilaskentaa [27] . Kuitenkin silloin, kun on tärkeää määrittää kolmiulotteinen rotaatio käyttämällä minimimäärää skalaariparametreja, Rodrigues-Hamilton-parametrien (eli rotaatiokvaternionin neljän komponentin) käyttö on usein suositeltavaa: tällainen kuvaus ei koskaan rappeudu. , ja kun kuvataan rotaatioita kolmella parametrilla (esimerkiksi Euler-kulmat ), näille parametreille on aina kriittisiä arvoja, kun kuvaus degeneroituu [22] [23] .

Algebrana yli kvaternionit muodostavat todellisen vektoriavaruuden, joka on varustettu kolmannen asteen tensorilla , jonka tyyppi on (1,2), jota joskus kutsutaan rakennetensoriksi . Kuten mikä tahansa tämän tyyppinen tensori, kartoittaa jokaisen 1-muodon ja vektoriparin reaaliluvuksi . Kaikille kiinteälle 1-muodolle se muuttuu toisen asteen kovarianttitensoriksi, josta tulee symmetriansa tapauksessa sisätulona . Koska jokainen todellinen vektoriavaruus on myös todellinen lineaarinen monisto , tällainen sisätulo generoi tensorikentän, josta tulee (pseudo- tai oikea) euklidinen metriikka , mikäli se ei ole rappeutunut . Kvaternionien tapauksessa tämä sisätulo on epämääräinen , sen allekirjoitus on riippumaton 1-muodosta ja vastaava pseudoeuklidinen metriikka on Minkowski-metriikka [28] . Tämä metriikka laajenee automaattisesti nollasta poikkeavien kvaternionien Lie-ryhmään sen vasemmanpuoleisten invarianttien vektorikenttiä pitkin muodostaen niin sanotun suljetun FLRU-metriikan (Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker) [29] , tärkeä ratkaisu Einsteinin yhtälöihin. . Nämä tulokset selventävät joitakin kvanttimekaniikan ja yleisen suhteellisuusteorian yhteensopivuusongelman näkökohtia kvanttigravitaation teorian puitteissa [30] . $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S$ $S$ $t$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\vasen(a,b\oikea)$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $S\vasen(t,a,b\oikea)$ $t$ $S$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $\scriptstyle \mathbb {H}$ $t$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Hazewinkel M. , Gubareni N. M. Algebrat , renkaat ja moduulit (englanniksi) - Springer Science + Business Media , 2004. - s. 12. - ISBN 978-1-4020-2690-4
↑ Quaternions in peliohjelmointi Arkistoitu 25. heinäkuuta 2009 Wayback Machinessa ( GameDev.ru )
↑ Polak L. S. William Rowan Hamilton (150-vuotissyntymäpäivän johdosta) // Luonnontieteiden historian instituutin julkaisut. - Neuvostoliiton tiedeakatemia, 1956. - T. 15 (Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden historia) . - S. 273. .
↑ John C. Baez. Kvaternioneista ja oktonioista: niiden geometria, aritmetiikka ja symmetria, kirjoittaneet John H. Conway ja Derek A. Smith . — Arvostelu. Haettu 7. helmikuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 22. elokuuta 2011.
↑ R. Fueter Über die analytische Darstellung der regulären Funktionen einer Quaternionenvariablen, - Kommentti. matematiikka. Helv. 8, s. 371-378, 1936.
↑ A. Sudbery Quaternion Analysis, Matematiikan laitos, Yorkin yliopisto, 1977.
↑ Lauseke ei ole murtoluku ja sitä tulee käsitellä yhtenä merkinä. Tätä merkintää ehdotetaan yhteensopivuuden vuoksi johdannaismerkinnän kanssa. Lausekkeen arvo annettuna on kvaternion. ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ ${\frac {d_{sp}f(x)}{dx))$ $x$
↑ 5. elokuuta 1865 päivätyssä kirjeessään pojalleen Archibaldille Hamilton kirjoittaa: "... Mutta tietysti kirjoitus on jo poistettu" ( L. S. Polak Mekaniikan variaatioperiaatteet, niiden kehitys ja soveltaminen fysiikkaan. - M .: Fizmatgiz, 1960. - s. 103-104)
↑ Bourbaki N. . Matematiikan arkkitehtuuri. Esseitä matematiikan historiasta. - M . : Ulkomainen kirjallisuus, 1963. - S. 68.
↑ Rodrigues Olinde. Geometriset lait, jotka säätelevät kiinteän järjestelmän liikkeitä avaruudessa ja näistä liikkeistä aiheutuvia koordinaattien muutoksia, niitä mahdollisesti aiheuttavista syistä riippumatta = Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variation des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendamment des Case qui peuvent les produire // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. - 1840. - T. 5 . - S. 380-440 .
↑ 1 2 Berezin, Kurochkin ja Tolkachev, 2003 , s. 5.
↑ Mištšenko ja Solovjov, 1983 , s. 11-12.
↑ Mištšenko ja Solovjov, 1983 , s. viisitoista.
↑ Berezin, Kurochkin ja Tolkachev, 2003 , s. 6-8.
↑ A. N. Krylov Katsaus akateemikko P. P. Lazarevin työhön. Arkistoitu 3. toukokuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Berezin, Kurochkin ja Tolkachev, 2003 , s. kahdeksan.
↑ Berezin, Kurochkin ja Tolkachev, 2003 , s. 9.
↑ Berezin, Kurochkin ja Tolkachev, 2003 , s. kymmenen.
↑ Kurochkin Yu. A. Kvaternionit ja jotkin niiden sovellukset fysiikassa. Väitöskirjan esipainos nro 109. - BSSR:n tiedeakatemian Fysiikan instituutti. – 1976.
↑ Alexandrova N. V. Hamiltonin kvaternionien laskenta // Hamilton W. R. Valitut teokset: optiikka, dynamiikka, kvaternionit. - M . : Nauka, 1994. - (Tieteen klassikot). - S. 519-534.
↑ Pobegailo A.P. Kvaternionien käyttö tietokonegeometriassa ja -grafiikassa. - Minsk: BGU Publishing House, 2010. - 216 s. — ISBN 978-985-518-281-9 . .
↑ 1 2 Wittenburg J. Solid State Systems -dynamiikka. - M .: Mir, 1980. - 292 s. - S. 25-26, 34-36.
↑ 1 2 Pogorelov D. Yu. Johdatus kehon järjestelmien dynamiikan mallintamiseen. - Bryansk: BSTU Publishing House, 1997. - 156 s. — ISBN 5-230-02435-6 . . - S. 22-26, 31-36.
↑ Ishlinsky A. Yu. Suuntaus, gyroskoopit ja inertianavigointi. - M .: Nauka, 1976. - 672 s. - S. 87-103, 593-604.
↑ Chub V. F. Inertianavigoinnin yhtälöt ja aika-avaruuden kvaternioteoria . Haettu 9. joulukuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 13. joulukuuta 2013. (määrätön)
↑ Lehti "Hyperkompleksiluvut geometriassa ja fysiikassa" . Haettu 13. maaliskuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 26. syyskuuta 2016. (määrätön)
↑ Klein F. Luennot matematiikan kehityksestä 1800-luvulla . - M. - L. : GONTI, 1937. - T. I. - S. 229-231 .. - 432 s.
↑ Vladimir Trifonov Neliulotteisuusongelman lineaarinen ratkaisu // Euruphysics Letters, - IOP Publishing, V. 32, nro 8 / 12.1995. - P. 621-626 - DOI: 10.1209/0295-5075/32/8/001.
↑ Vladimir Trifonov Luonnongeometry of Nonzero Quaternions // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 46, nro 2 / 02.2007. - s. 251-257 - ISSN 0020-7748 (tulostettu) ISSN 1572-9575 (Verkossa).
↑ Vladimir Trifonov GR-ystävällinen Quantum Systems -kuvaus // International Journal of Theoretical Physics, - Springer Netherlands, V. 47, nro 2 / 02.2008. - s. 492-510 - ISSN 0020-7748 (tulostettu) ISSN 1572-9575 (Online).

Kirjallisuus

I. L. Kantor, A. S. Solodovnikov. Hyperkompleksiluvut . — M .: Nauka , 1973. — 144 s.
Mishchenko A.S. , Solovjov Yu.P. Quaternions // Kvant . - 1983. - T. 9 . - S. 10-15 .
Berezin A. V., Kurochkin Yu. A., Tolkachev E. A. Kvaternionit relativistisessa fysiikassa . - 2. - M . : Pääkirjoitus URSS, 2003. - S. 12 . — 202 s. — ISBN 5-354-00403-9 .
Martin John Baker EuclideanSpace.com Arkistoitu 27. syyskuuta 2007 Wayback Machinessa - Neljännesten soveltaminen 3D-grafiikkaan.
Quaternions. Neljännekset.
Vatulyan A. O. Quaternions // Soros Educational Journal . - 1999. - Nro 5 . - S. 117-120 .
John H. Conway , Derek A. Smith. . — M .: MTSNMO , 2009. — 184 s. — ISBN 978-5-94057-517-7 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX4728834 BNF : 11981947w GND : 4176653-2 J9U : 987007553303805171 LCCN : sh85109754 LNB : 000137096 NDL : 00570899 NKC : ph844096

Numeeriset järjestelmät
Laskettavat sarjat	Luonnolliset luvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Kokonaisluvut ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Järkevä ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebrallinen ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Jaksot Laskettavissa Aritmeettinen
Reaaliluvut ja niiden laajennukset	Todellinen ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Monimutkainen ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Quaternions ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayleyn numerot (oktaavit, oktoniot) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Vaihtoehdot Kaksinkertainen Hyperkompleksi Superrealistinen Hypermateriaali surrealistinen
Numeeriset laajennustyökalut	Cayley-Dixonin menettely Frobenius-lause Hurwitzin lause
Muut numerojärjestelmät	kardinaaliluvut Järjestysluvut (transfinite, ordinaals) p-adic Yliluonnollisia lukuja intervallinumerot
Katso myös	kaksoisnumerot Irrationaalisia lukuja transsendenttiset numerot numerosäde Biquaternion

Algebra renkaan päällä
Mitat - Teho 2	Kompleksiluvut (koko 2) $\mathbb {C}$ Quaternions (koko 4) $\mathbb {H}$ Cayley Numbers/Octonions/Octaves (koko 8) $\mathbb O$ Sedenions (koko 16) $\mathbb S$
Katso myös	Frobenius-lause Hyperkompleksiluku Algebra Runko kuvitteellinen yksikkö