Banach algebra

Banach-algebra kompleksin tai reaalikentän yli on assosiatiivinen algebra , joka on Banach-avaruus . Tässä tapauksessa kertolaskun on oltava normin mukainen:

\forall x, y \in A , \|x \, y\| \ \leq \|x \| \, \| y\|

Tämä ominaisuus tarvitaan kertolaskuoperaation jatkuvuuden kannalta normin suhteen.

Banach-algebraa kutsutaan unitaaliksi tai Banach -algebraksi, jossa on yksikkö, jos sillä on yksikkö (eli elementti , joka on totta kaikille ). Tällöin yleensä vaaditaan, että yksikkönormin on oltava yhtä suuri kuin 1. Jos yksikkö on olemassa, se on ainutlaatuinen. Mikä tahansa Banach-algebra voidaan isometrisesti upottaa sitä vastaavaan unitaliin Banach-algebraan suljettuna kaksipuolisena ideaalina . $\mathbf{1}$ $x\in A$ $x\mathbf{1}=\mathbf{1} x=x$ $A$ $A_e$

Banach-algebran sanotaan olevan kommutatiivinen , jos kertolasku on kommutatiivinen .

Esimerkkejä

Kompleksilukujen tai reaalilukujen kentät - ja suhteessa yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin. Nämä ovat unitaalikommutatiivisia algebroita. $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$
Kompleksisten tai reaalimatriisien algebrat suhteessa matriisin kertolaskuun ja submultiplikatiiviseen matriisinormiin .
Kvaternionalgebra on todellinen algebra, jolla on normi, moduuli .
$C(\Omega)$ on jatkuvien funktioiden algebra kompaktissa joukossa suhteessa pisteittäiseen kertolaskuun suhteessa supnormiin . Yleisempi esimerkki on äärettömyyteen häviävien kompleksiarvoisten funktioiden avaruus, jossa on paikallisesti kompakti avaruus . $C_0(\Omega)$ $\Omega$
Rajoitettujen operaattoreiden algebra , joka toimii Banach-avaruudessa operaattorinormin ja koostumuksen suhteen kertolaskuna. Kompaktien operaattoreiden joukko samoihin operaatioihin nähden on suljettu ideaali tässä algebrassa.
Jos on paikallisesti kompakti Hausdorffin topologinen ryhmä , jossa on Haar-mitta , niin mitta-integroitavien kompleksiarvoisten funktioiden Banach-avaruus on Banach-algebra kertolaskukonvoluution suhteen, määritelty kaavalla $G$ $\mu$ $L_1(G)$ $\mu$ $G$

(xy)(g) = \int_G x(h) y(h^{-1}g) \, \mathrm{d}\mu(h), \; g \ in G

$L_1(\mathbb R)$ on funktioiden algebra, joka summataan rivillä, jossa konvoluutio on kertolasku. Tämä on erikoistapaus edellisestä esimerkistä.
C*-algebra on algebra, jonka * -involuutio on yhteensopiva normin kanssa: $\forall a \ ||a^*a||=||a||^2$

Ominaisuudet

Jotkut alkeisfunktiot voidaan määritellä potenssisarjoilla Banach-algebran elementeille. Erityisesti voidaan määrittää Banach-algebran elementin eksponentti , trigonometriset funktiot ja yleensä mikä tahansa koko funktio . Banach-algebran elementeille äärettömästi pienenevän geometrisen progression ( Neumann-sarja ) summan kaava pysyy voimassa .

Algebran käännettävien elementtien joukko on avoin joukko . Lisäksi kartoitus , joka yhdistää jokaisen käännettävän elementin käänteiseen, on homeomorfismi . Kyseessä on siis topologinen ryhmä. $\mathrm{Inv}(A)$ $A$ $\mathrm{Inv}$ $\mathrm{Inv}(A)$

Unitaalialgebrassa yksikkö ei voi olla kommutaattori: mille tahansa x : lle y ∈ A. Tästä seuraa, että se ei myöskään ole kommutaattori. $xy - yx \ne \mathbf{1}$ $\lambda \mathbf{1}, \ \lambda \ne 0$

Gelfand – Mazur -lause pätee : jokainen unitaalinen kompleksi Banach-algebra, jossa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat käännettävissä, on isomorfinen . $\mathbb {C}$

Spektriteoria

Banach-algebroissa otetaan käyttöön spektrin käsite, joka laajentaa operaattorin spektrin käsitteen yleisempään objektiluokkaan.

Algebran elementin sanotaan olevan käännettävä , jos on sellainen elementti , että . Elementin spektri on sellainen joukko, että elementti on peruuttamaton. Unitaalikompleksin Banach-algebran minkä tahansa elementin spektri on ei-tyhjä kompakti joukko. Toisaalta missä tahansa kompaktissa joukossa kaavan määrittämän algebran elementin spektri on sama kuin , joten mielivaltaisen Banach-algebran elementin spektrille ei ole muita rajoituksia. $a\in A$ $A$ $a^{-1} \in A$ $aa^{-1}=a^{-1}a=\mathbf{1}$ $\sigma(a)$ $a$ $\lambda \in \mathbb{C},$ $a-\lambda \mathbf{1}$ $K \osajoukko \mathbb{C}$ $w$ $C(K)$ $w(z) = z$ $K$

Elementin spektrisäde on määrä $\mathrm{r}(x)$ $x\in A$

\mathrm{r}(x) = \up \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(x) \}

Beurling - Gelfand - kaava spektrisäteelle on voimassa :

\mathrm{r}(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.

Elementin ratkaisevaa joukkoa kutsutaan joukoksi . Banach-algebran alkion ratkaiseva joukko on aina avoin. Elementin resolventti on kaavan määrittelemän kompleksimuuttujan funktio . Banach-algebran elementin resolventti on holomorfinen funktio . $a\in A$ $\rho(a) = \mathbb{C} \setminus \sigma(a)$ $a\in A$ $R_a \kaksoispiste \rho(a) \on A$ $R_a(\lambda) = (\lambda\mathbf{1} - a)^{-1}$

Jos on holomorfinen funktio spektrin naapurustossa , se voidaan määrittää kaavalla $f$ $D\alajoukko {\mathbb {C}}$ $\sigma(a)$ $f(a) \in A$

f(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma f(\lambda) R_a(\lambda) \, \mathrm{d}\lambda

jossa on tasasuuntautuva Jordan-ääriviiva, joka sijaitsee , sisältää elementin spektrin ja on suunnattu positiivisesti, ja se on elementin liuottimia . Erityisesti tätä kaavaa voidaan käyttää elementin eksponentin määrittämiseen Banach-algebran perusteella. $\gamma$ $D$ $x$ $R_{a}$ $a$

Ihanteet ja hahmot

Olkoon A unitaalinen kommutatiivinen Banach-algebra kompleksilukukentän yli. Algebran A merkki χ on nollasta poikkeava lineaarinen funktio , jolla on kertova ominaisuus: millä tahansa a , b ∈ A , χ( ab ) = χ( a )χ( b ) ja χ( 1 ) = 1 ovat tosia. Eli merkki on algebran A ja nollasta poikkeava homomorfismi . Voidaan varmistaa, että jokainen Banach-algebran merkki on jatkuva ja sen normi on 1. $\mathbb {C}$

Merkkiydin on A : n maksimiideaali . Jos on maksimaalinen ideaali, niin osamääräalgebra on kenttä ja Banach-algebra, niin Gelfand-Mazur-lauseen mukaan se on isomorfinen . Siksi jokaiselle maksimaaliselle ideaalille voidaan antaa yksilöllinen merkki χ siten, että ker χ = . Tämä merkki määritellään tekijäkartoituksen ja isomorfismin koostumukseksi . Siten merkkijoukon ja maksimaalisten ihanteiden joukon välille muodostetaan bijektio . $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$ $\mathfrak{m}$ $\mathfrak{m}$ $A/\mathfrak{m}$ $\mathbb {C}$

Kaikkien merkkien joukkoa kutsutaan maksimiideaalien avaruudeksi tai algebran A spektriksi ja sitä kutsutaan Spec A: ksi . Tämä joukko voidaan varustaa topologialla, joka on peritty heikosta* topologiasta ( pisteittäisen konvergenssin topologia ) kaksoisavaruudessa A * . Banach- Alaoglu-lauseesta ja Spec A :n suljettavuudesta seuraa , että Spec A on kompakti Hausdorffin topologinen avaruus .

Algebran A elementin Gelfand-muunnos on jatkuva funktio , joka määritellään kaavalla kaikille merkeille χ. Gel'fand-muunnos suorittaa algebran A supistumishomomorfismin jatkuvien funktioiden algebraksi C(Spec A) kompaktissa joukossa. $a$ $\hat{a} \colon \mathrm{Spec}\, A \to \mathbb{C}$ $\hat{a}(\chi) = \chi(a)$

Algebran A radikaali on kaikkien sen maksimaalisten ihanteiden leikkauspiste. Jos radikaali koostuu vain nollasta, algebran A sanotaan olevan puoliyksinkertaista . Gelfand-muunnoksen ydin osuu yhteen algebran radikaalin kanssa, joten Gelfand-muunnos on injektiivinen , jos ja vain, jos algebra A on puoliksi yksinkertainen. Siten mikä tahansa puoliksi yksinkertainen kommutatiivinen Banach-algebra, jolla on yksikkö, osuu isomorfismiin asti joidenkin funktioiden algebran kanssa, jotka jatkuvat kompaktissa joukossa – Gelfand-muunnoksen kuvan kanssa.

Kirjallisuus

Naimark M. A. Normed sormukset. - M .: Nauka, 1968. - 664 s.
Helemsky A. Ya. Luennot funktionaalisesta analyysistä. - M. : MTSNMO, 2004. - ISBN 5-94057-065-8 .
Helemsky A. Ya. Banachit ja polynormoidut algebrat: yleinen teoria, esitykset, homologia. — M .: Nauka, 1989. — ISBN 5-02-014192-5 .