Normi (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6.6.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Normi on vektoriavaruuteen määritelty funktio , joka yleistää käsitteen vektorin pituudesta tai luvun itseisarvosta .

Määritelmä

Vektorinormi

Normi vektoriavaruudessa reaali- tai kompleksilukukentän yläpuolella on funktionaali , jolla on seuraavat ominaisuudet: $V\$ $p\colon V\to \mathbb {R_{+}}$

$p(x)=0\Rightarrow x=0_{V};$
$\forall x,y\in V,p(x+y)\leqslant p(x)+p(y)$ ( kolmio epätasa-arvo );
$\forall \alpha \in \mathbb {C} ,\forall x\in V,p(\alpha \,x)=|\alpha |p(x).$

Nämä ehdot ovat normin aksioomia .

Vektoriavaruutta, jolla on normi, kutsutaan normiavaruudeksi , ja ehtoja (1–3) kutsutaan myös normiavaruuden aksioomeiksi.

Normin aksioomista seuraa ilmeisellä tavalla normin ei-negatiivisuuden ominaisuus:

$\forall x\in V,p(x)\geqslant 0$ .

Itse asiassa kolmannesta ominaisuudesta seuraa: , ja ominaisuudesta 2 - . $p(0_{V})=p(0\cpiste 0_{V})=0\cpiste p(0_{V})=0$ $\forall x\in V\colon 0=p(0_{V})=p(xx)\leqslant p(x)+p(-x)=2p(x)$

Useimmiten normi merkitään muodossa :. Erityisesti on vektoriavaruuden elementin normi . $\|\cdot \|$ $\|x\|$ $x$ $\mathbb {R}$

Vektoria, jolla on yksikkönormi, kutsutaan yksiköksi tai normalisoiduksi . $\left(\|x\|=1\right)$

Mikä tahansa nollasta poikkeava vektori voidaan normalisoida, eli jakaa omalla normillaan: vektorilla on yksikkönormi. Geometrialta katsottuna tämä tarkoittaa, että otamme yksikköpituuden samansuuntaisen vektorin. $x$ ${\frac {x}{\|x\|}}$

Matriisinormi

Matriisinormi on reaaliluku , joka täyttää kolme ensimmäistä seuraavista ehdoista: $A$ $\|A\|$

$\|A\|\geqslant 0$ , ja vain ; $\|A\|=0$ $A=0\$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , missä ; $\alpha \in \mathbb{R}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Jos myös neljäs ominaisuus täyttyy, normia kutsutaan submultiplikatiiviseksi . Operaattorinormiksi muodostetun matriisinormin sanotaan olevan alisteinen vektoriavaruudessa käytettävälle normille. Ilmeisesti kaikki alemmat matriisinormit ovat submultiplikatiivisia.

Matriisinormia alkaen kutsutaan yhdenmukaiseksi vektorinormin lähteen ja vektorinormin kanssa, jos se on tosi: $\|\cdot \|_{{ab}}$ $K^{{m\times n}}$ $\|\cdot \|_{{a}}$ $K^n$ $\|\cdot \|_{{b}}$ $K^{m}$

\|Ax\|_{b}\leqslant \|A\|_{{ab}}\|x\|_{a}

kaikille . $A\in K^{{m\times n}},x\in K^{n}$

Operaattorinormi

Operaattorin normi on numero , joka määritellään seuraavasti: $A$

\|A\|=\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|

, missä on operaattori , joka toimii normaalista tilasta normaalitilaan .

A

L

K

Tämä määritelmä vastaa seuraavaa:

\|A\|=\sup _{{x\neq 0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}

Operaattorinormien ominaisuudet:

$\|A\|\geqslant 0$ , ja vain ; $\|A\|=0$ $A = 0$
$\|\alpha A\|=|\alpha |\cdot \|A\|$ , missä ; $\alpha \in {\mathbb {R}}$
$\|A+B\|\leqslant \|A\|+\|B\|$ ;
$\|AB\|\leqslant \|A\|\cdot \|B\|$ .

Äärillisulotteisessa tapauksessa operaattori jossain kannassa vastaa matriisia — operaattorin matriisia. Jos normi avaruudessa, joissa operaattori toimii, sallii yhden peruslausekkeen, niin operaattorin normin ominaisuudet toistavat matriisinormin samanlaisia ominaisuuksia.

Norm Properties

$\|x\|-\|y\|\ \leqslant \|x\pm y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$
${{\bigl (}\|x\|-\|y\|{\bigr )}}^{2}\leqslant {\|x\pm y\|}^{2}\leqslant {{ \bigr (}\|x\|+\|y\|{\bigl )}}^{2}$
${\frac {\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2}}{2\|x\|\|y\|}}\in [-1,1]$ [kulman kosini]
$\|0_{V}\|=\|xx\|=\|0x\|=0\cdot \|x\|=0$
$0=\|xx\|\leqslant \|x\|+\|-x\|=2\|x\|\Rightarrow \|x\|\geqslant 0$

Normien vastaavuus

Kahta normia ja on avaruus kutsutaan ekvivalentiksi , jos on kaksi positiivista vakiota ja sellainen , että millä tahansa . Vastaavat normit määrittelevät saman topologian avaruudessa. Äärillisulotteisessa avaruudessa kaikki normit ovat ekvivalentteja [1] . $s$ $q$ $V$ $C_{1}$ $C_{2}$ $x \ in V$ $C_{1}p(x)\leqslant q(x)\leqslant C_{2}p(x)$

Esimerkkejä

Lineaariset normaaliavaruudet

Mitä tahansa esi-Hilbert-avaruutta voidaan pitää normoituna , koska skalaaritulo generoi luonnollisen normin

\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle )),\quad x\in X.

-ulotteisten vektoreiden Hölder - normit (perhe): , $n$ $\|x\|_{p}={\left(\sum _{i}|x_{i}|^{p}\right)}^{\frac {1}{p))$

missä (yleensä oletetaan olevan luonnollinen luku). Erityisesti: $p\geqslant 1$

$\|x\|_{1}=\sum _{{i}}|x_{{i}}|$ , jota kutsutaan myös L1 - metriksiksi , normiksi $\ell _{1}$ tai Manhattan - etäisyydeksi . Vektorille se on kaikkien sen elementtien moduulien summa.
$\|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{{i}}|x_{{i}}|^{2}}}$ , jota kutsutaan myös L2-metriikaksi , normiksi $\ell _{2}$ tai euklidiseksi normiksi . Onko kahden pisteen välinen geometrinen etäisyys moniulotteisessa avaruudessa, laskettuna Pythagoraan lauseella.
$\|x\|_{\infty }=\max |x_{{i}}|$ (tämä on ääritapaus ). $p\rightarrow \infty$

Funktioiden normit todellisten (tai kompleksisten) jatkuvien funktioiden avaruudessa välillä [0,1] : $C[0,1]$
- $\|f\|_{{C[0,1]}}=\sup _{{x\in [0,1]}}|f(x)|$ - tämän normin merkityksessä segmentillä jatkuvien funktioiden avaruus muodostaa
täydellisen lineaariavaruuden . Samaa ei voida sanoa seuraavista kahdesta esimerkistä tämän tilan normista, jotka ovat kuitenkin oikeutettuja: $C[0,1]$
$\|f\|_{1}=\int \limits _{0}^{1}|f(t)|\,dt$
$\|f\|_{2}={\sqrt {\int \limits _{0}^{1}|f(t)|^{2}\,dt))$

Vastaavasti voimme ottaa käyttöön normit äärellisulotteisten vektorifunktioiden äärellisulotteisille vektorifunktioille, korvaamalla arvolla ja integroimalla segmentin integroinnilla toimialueen yli (segmentin maksimi vastaavassa tapauksessa on alueen maksimi ). $|f(x)|\$ $\|f(x)\|\$

"L0 norm"

Erikoistapaus on (L0-"norm"), joka määritellään vektorin nollasta poikkeavien elementtien lukumääränä. Tarkkaan ottaen tämä ei ole normi, koska normin kolmas aksiooma ei päde. Pohjimmiltaan tämän tyyppistä "normia" käytetään harvoissa koodausongelmissa, erityisesti Compressive sensingissa , jossa sinun on löydettävä vektorin harvin esitys (enemmän nollia), eli pienimmällä -normilla. Tällä "normilla" voidaan määrittää Hamming-etäisyys . $\ell _{0}$ $\ell _{0}$

Tietyntyyppiset matriisinormit

Luodut normit : $\|A\|_{{p}}=\sup _{{\|x\|_{{p}}=1}}\|Ax\|_{{p}}$
- $p = 1$ : -normi, $m$ $\|A\|_{m}=\max _{j}\sum _{i}|a_{{ij}}|$
- $p = 2$ ( Euklidinen normi ) ja (neliömatriisit), matriisin toissijaista normia kutsutaan spektrinormiksi . Matriisin spektrinormi on yhtä suuri kuin matriisin suurin singulaariarvo tai positiivisen puolimääräisen matriisin suurimman ominaisarvon neliöjuuri : , jossa tarkoittaa matriisin konjugaattia matriisiin . $m = n$ $A$ $A$ $A^{\tikari }A$ $\left\|A\right\|_{2}={\sqrt {\lambda _{({\text{max))))(A^{\tikari }A)))$ $A^{\tikari }$ $A$
- $p=\infty$ : -norm $l$ $\|A\|_{l}=\max _{i}\sum _{j}|a_{{ij}}|$

Tässä on matriisikonjugaatti ja on matriisin jälki .

A^{\tikari }

A

{\mathrm {Tr))

Elementti -normi ( ): $s$ $p>0$ $\|A\|_{p}=\left(\sum _{i,j}|a_{ij}|^{p}\right)^{\frac {1}{p))$
- Frobenius-normi : . $\|A\|_{F}=\|A\|_{2}={\sqrt {\sum _{i,j}|a_{ij}|^{2))}={\ sqrt {\mathrm {Tr} \,A^{\dagger }A))$

Aiheeseen liittyvät käsitteet

Avaruuden topologia ja normi

Normi määrittelee avaruuteen metriikan ( metrisen avaruuden etäisyysfunktiona ) muodostaen näin metrisen avaruuden ja siten topologian , jonka perustana ovat kaikenlaiset avoimet pallot, eli metriavaruuden joukot . muotoa . Sellaisen topologian joukkoteoreettisen topologian kielellä määritellyt ja normin kielellä määritellyt konvergenssin käsitteet ovat yhtenevät. $B(x,r)=\{y\kaksoispiste \|xy\|<r\}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ M. Verbitsky. Topologian johdantokurssi. Ongelmat ja lauseet . Litraa, 20.12.2018. - S. 163-164. — 346 s.

Normi ​​(matematiikka)