Banach tilaa

Banach-avaruus on normoitu vektoriavaruus , joka on täydellinen suhteessa normin generoimaan metriikkaan . Funktionaalisen analyysin pääasiallinen tutkimuskohde .

Se on nimetty puolalaisen matemaatikon Stefan Banachin (1892–1945) mukaan, joka tutki näitä tiloja systemaattisesti vuodesta 1922 lähtien.

Esimerkkejä

Joitakin esimerkkejä Banach-välilyönnistä (jäljempänä yksi kentistä tai on merkitty :lla ): $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Euklidiset avaruudet , joille on määritelty euklidinen normi , ovat Banach-avaruudet. $K^n$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $\|x\|={\sqrt {\sum |x_{i}|^{2}}}$
Kaikkien suljetulle aikavälille määriteltyjen jatkuvien funktioiden avaruus on Banach-avaruus, jos määrittelemme sen normiksi . Tällainen funktio olisi normi, koska jatkuvat funktiot suljetulla aikavälillä ovat rajallisia. Välilyönti, jolla on tällainen normi, on täydellinen, ja tuloksena oleva Banach-avaruus merkitään . Tämä esimerkki voidaan yleistää kaikkien jatkuvien funktioiden avaruuteen , jossa on kompakti avaruus , tai kaikkien rajoitettujen jatkuvien funktioiden avaruuteen , missä on mikä tahansa topologinen avaruus , tai jopa kaikkien rajoitettujen funktioiden avaruuteen , missä on mikä tahansa joukko . Kaikissa näissä esimerkeissä voimme kertoa funktioita samalla kun pysymme samassa tilassa: kaikki nämä esimerkit ovat Banach-algebroita . $f\kaksoispiste [a,\;b]\K$ $[a,\;b]$ $\|f\|=\sup\{|f(x)|\kaksoispiste x\in [a,\;b]\}$ $Ohjaamo]$ $C(X)$ $X:lle K$ $X$ $X:lle K$ $X$ $B(X)$ $X:lle K$ $X$
Jos on reaaliluku, niin kaikkien äärettömien elementtien avaruus sellaisista, että sarja konvergoi, on Banach suhteessa normiin, joka on yhtä suuri kuin tämän sarjan summan potenssijuuri , ja sitä merkitään . $p\geqslant 1$ $(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;\ldots )$ $K$ $\sum |x_{i}|^{p}$ $s$ $l^{p}$
Banach-avaruus koostuu kaikista rajatuista elementtijonoista ; tällaisen sekvenssin normi määritellään sekvenssin elementtien absoluuttisten arvojen (moduulien) tarkaksi ylärajaksi . $l^{\infty }$ $K$
Jälleen, jos on reaaliluku, voimme tarkastella kaikkia funktioita, jotka ovat Lebesgue-integroitavia (ja niiden moduulin aste on myös summattava). Tämän funktion moduulin :nnen asteen integraalin asteen juuri määritellään puolinormiksi . Tämä joukko ei ole Banach-avaruus, koska on nollasta poikkeavia funktioita, joiden normi on yhtä suuri kuin nolla. Määrittelemme ekvivalenssisuhteen seuraavasti: ja ovat ekvivalentteja silloin ja vain, jos erotuspuolinormi on yhtä suuri kuin nolla. Tämän suhteen ekvivalenssiluokkien joukko on jo Banach-avaruus; se on merkitty . On tärkeää käyttää Lebesgue-integraalia , ei Riemannin integraalia , koska Riemannin integraali ei muodosta täydellistä avaruutta. Näitä esimerkkejä voi yleistää. Katso esimerkiksi L p -välit . $p\geqslant 1$ $s$ $s$ $s$ $f$ $f$ $g$ $fg$ $L^{p}[a,\;b]$
Jos ja ovat Banach-avaruuksia, voimme muodostaa niiden suoran summan , joka on jälleen Banach-avaruus. Tämä esimerkki voidaan myös yleistää mielivaltaisen suuren Banach-avaruuden suoraksi summaksi. $X$ $Y$ $X\oplus Y$
Jos on Banach -avaruuden suljettu aliavaruus , niin osamääräavaruus on jälleen Banach-avaruus. $M$ $X$ $X/M$
Mikä tahansa Hilbert-avaruus on myös Banach-tila. Käänteinen ei ole totta.
Jos ja ovat Banach-avaruuksia yhden kentän päällä , niin jatkuvien lineaaristen kuvausten joukko on merkitty . Huomaa, että äärettömän ulottuvuuden avaruudessa kaikki lineaariset mappaukset eivät ole automaattisesti jatkuvia. on vektoriavaruus, ja jos normi annetaan muodossa , on myös Banach-avaruus. $V$ $W$ $K$ $K$ $A\kaksoispiste V\-W$ $L(V,\;W)$ $L(V,\;W)$ $\|A\|=\sup\{\|Ax\|\colon x\in V,\;\|x\|\leqslant 1\}$
- Avaruus on
unitaarinen Banach-algebra ; kertolaskun toiminta siinä määritellään lineaaristen kuvausten koostumukseksi. $L(V)=L(V,\;V)$

Banach-välilyöntien tyypit

Kirjallisuus

I. M. Vinogradov. Banach-avaruus // Mathematical Encyclopedia. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)// Matemaattinen tietosanakirja / Ch. toim. I. M. Vinogradov. - M .: Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977-1985.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri katalaani Iso venäläinen Britannica (verkossa)
Bibliografisissa luetteloissa	J9U : 987007282589705171 LCCN : sh85011441 NDL : 00560500 NKC : ph117384