Jatkuvien funktioiden tila

Jatkuvien funktioiden avaruus on lineaarinen normiavaruus , jonka elementit ovat jatkuvia segmentin funktioita (yleensä merkitty , joskus tai tai ). Normi tässä tilassa määritellään seuraavasti: $[a,b]$ ${\mathrm {C} }[a,b]$ $C^{0}[a,b]$ $C^{(0)}[a,b]$ $C(a,b)$

||x||_{{\mathbf {C} }[a,b]}=\max _{t\in [a,b]}|x(t)|

Tätä normia kutsutaan myös Chebyshev-normiksi tai yhtenäiseksi normiksi , koska konvergenssi tässä normissa vastaa yhtenäistä konvergenssia .

Ominaisuudet

Jos elementtijono osoitteesta suppenee tässä avaruudessa johonkin rajafunktioon , niin . $x_{n}$ ${\mathrm {C} }[a,b]$ $x(t)$ $x_{n}\rightrightarrows x$ $n\to\infty$
- Tästä syystä: — Banach-välilyönti . ${\mathrm {C} }[a,b]$
Jatkuvien funktioiden avaruus on erotettavissa : siinä oleva kaikkialla laskettava tiheä joukko muodostaa kaikkien polynomien joukon rationaalisilla kertoimilla. Tämä väite saadaan Weierstrassin approksimaatiolauseen seurauksena .
Suunnikkaidentiteetti ei päde siinä , joten siinä oleva normi ei generoi skalaarituloa . ${\mathrm {C} }[a,b]$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Vastaavasti tämä tila on myös rakennettu alueiden ja niiden sulkemisten päälle . Jos kyseessä on ei-kompakti sarja, maksimi on korvattava pienimmällä ylärajalla .

Jatkuvien rajoitettujen funktioiden ( vektorifunktiot ) avaruus on siis kaikkien jatkuvien rajoitettujen funktioiden joukko, johon on lisätty normi: $C(X,Y)$ $x:X\to Y$

\|x\|_{C(X,Y)}=\sup _{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.

Yhdessä Chebyshev-normin kanssa pidetään usein jatkuvan funktion tilaa integraalinormin kanssa:

\|x\|=\int \limits _{a}^{b}|x(t)|\,dt

Tämän normin merkityksessä välissä jatkuvien funktioiden avaruus ei enää muodosta täydellistä lineaarista avaruutta . Perusteellista, mutta ei siinä konvergenttia, on esimerkiksi sekvenssi $x_{n}$

x_{n}(t)={\begin{cases}1,\quad t\geqslant {\frac {1}{n))\\nt,\quad t\in (-{\frac {1 }{n)),{\frac {1}{n)))\\-1,\quad t\leqslant -{\frac {1}{n))\end{cases))

Sen valmistuminen on summatettavien funktioiden tila . ${\näyttötyyli L_{1}[a,b]}$

Kirjallisuus

Kolmogorov A. N., Fomin S. I. Funktioteorian elementit ja funktionaalinen analyysi. - M .: Nauka , 2004 .
L. A. Lyusternik, V. I. Sobolev. Funktionaalisen analyysin elementit. - M .: Nauka , 1965 .
M. Reed, B. Simon. Modernin matemaattisen fysiikan menetelmät. Vol.1 Functional Analysis. - New York London: Academic Press, 1973 .
Yosida K. Funktionaalinen analyysi. - M .: Mir, 1967 .