Suunnikasidentiteetti

Suunnikkaiden identiteetti on yksi vektorialgebran ja vektorianalyysin yhtälöistä .

Euklidisessa geometriassa

Suunnikkaan sivujen pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin sen diagonaalien pituuksien neliöiden summa .

\ (AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2 }.

Välilyönnissä, joissa on sisätuote

Vektoriavaruuksissa , joissa on sisätulo, tämä identiteetti näyttää tältä [1] :

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|xy\|^{2},

missä

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .

Normoiduissa tiloissa (polarisaatioidentiteetti)

Normoidussa avaruudessa ( V , ), jolle suunnikasidentiteetti pätee, voidaan tuoda sisätulo, joka generoi tämän normin, eli siten, että kaikki avaruuden vektorit . Tämä lause johtuu Fréchet'n , von Neumannin ja Jordanin [2] [3] ansioista . Tämä voidaan tehdä seuraavalla tavalla: $\|\cdot \|$ $\langle x,\ y\rangle$ $\|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle$ $x$ $V$

todellista tilaa varten $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4},$ tai tai ${\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2},$ ${\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 2}.$
monimutkaiseen tilaan $\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|xy\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2 }-\|ix+y\|^{2} \over 4}.$

Yllä olevia kaavoja, jotka ilmaisevat kahden vektorin pistetulon normina, kutsutaan polarisaatioidentiteetiksi .

On selvää, että seuraavalla skalaaritulolla ilmaistu normi täyttää tämän identiteetin. $\ \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle$

Polarisaatioidentiteettiä käytetään usein muuttamaan Banach-avaruudet Hilbert- avaruuksiksi .

Yleistys

Jos B on symmetrinen bilineaarinen muoto vektoriavaruudessa ja neliömuoto Q ilmaistaan muodossa

\ Q(v)=B(v,v)

sitten

{\begin{array}{l}4B(u,v)=Q(u+v)-Q(uv),\\2B(u,v)=Q(u+v)-Q(u )-Q(v),\\2B(u,v)=Q(u)+Q(v)-Q(uv).\end{array}}

Katso myös

Eulerin nelikulmiolause on yleistys identiteetistä mielivaltaisten nelikulmioiden tapaukseen.

Muistiinpanot

↑ Shilov, 1961 , s. 185.
↑ Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Lause 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan) // Fysiikan matemaattiset menetelmät: jakaumat, Hilbert-avaruusoperaattorit ja variaatiomenetelmät (englanniksi) . — Birkhauser, 2003. - s. 192. - ISBN 0817642285 . Arkistoitu 19. elokuuta 2017 Wayback Machineen
↑ Gerald Teschl. Lause 0.19 (Jordan–von Neumann) // Matemaattiset menetelmät kvanttimekaniikassa: sovelluksilla Schrödinger-operaattoreihin (englanniksi) . - American Mathematical Society Bookstore, 2009. - S. 19. - ISBN 0-8218-4660-4 . Arkistoitu 6. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa

Linkit

Analyyttinen geometria tasossa ja avaruudessa / Vector Algebra (venäjä)

Kirjallisuus

Shilov G. E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - M .: Nauka, 1961. - 436 s.