Tensor tuote

Tensoritulo on operaatio vektoriavaruuksilla sekä kerrottujen avaruuksien elementeillä ( vektorit , matriisit , operaattorit , tensorit jne.).

Lineaariavaruuksien tensoritulo on lineaariavaruus, jota merkitään . Elementeille ja niiden tensoritulo on avaruudessa . $A$ $B$ $Joskus B$ $a\in A$ $b\in B$ $a\otimes b$ $Joskus B$

Tensoritulon merkintä syntyi analogisesti joukkojen karteesisen tulon merkinnän kanssa .

Lineaaristen (vektori)avaruuksien tensoritulo

Äärillisulotteiset avaruudet

Antaa ja olla äärellisulotteisia vektoriavaruuksia kentän päällä , olla perusta vuonna , ja olla perusta vuonna . Avaruuden tensorituloksi kutsutaan elementtien generoima vektoriavaruus , jota kutsutaan kantavektoreiden tensorituloiksi . Mielivaltaisten vektorien tensoritulo voidaan määrittää asettamalla operaatio bilineaariseksi : $A$ $B$ $K$ $\{e_{i}\}_{{i=1\dots n}}$ $A$ $\{f_{k}\}_{{k=1\dots m}}$ $B$ $Joskus B$ $A$ $B$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $a\otimes b$ $a\in A,~b\in B$ $\otimes$

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \ paikassa K

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \in K

Tässä tapauksessa mielivaltaisten vektorien tensoritulo ja ilmaistaan kantavektoreiden lineaarisena yhdistelmänä . Elementtejä , jotka voidaan esittää muodossa , kutsutaan hajotettaviksi . $a$ $b$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $Joskus B$ $a\otimes b$

Vaikka avaruuden tensoritulo määritellään kantavalinnalla, sen geometriset ominaisuudet eivät riipu tästä valinnasta.

Määrittäminen yleisellä ominaisuudella

Tensoritulo on tietyssä mielessä yleisin tila, johon alkuperäiset avaruudet voidaan kuvata bilineaarisesti. Nimittäin kaikille muille avaruus- ja bilineaarisille mappauksille on olemassa ainutlaatuinen lineaarinen kartoitus , joka $C$ $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ $f: A\ joskus B\-C$

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

jossa tarkoittaa funktioiden koostumusta . $\circ$

Tästä seuraa erityisesti, että tensoritulo ei ole riippuvainen ja :n kantavalinnasta , koska kaikki universaalin ominaisuuden täyttävät avaruudet osoittautuvat kanonisesti isomorfisiksi :n kanssa . $A$ $B$ $Joskus B$

Näin ollen mielivaltaisen bilineaarisen kuvauksen määrittäminen vastaa lineaarisen kuvauksen määrittämistä : välilyönnit ja ovat kanonisesti isomorfisia. $L^{2}\ni \varphi :A\times B\to C$ $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$ $\ L^{2}(A\ kertaa B,C)$ $L(A\ kertaa B,C)$

Yli kahden välilyönnin tulo

Yllä oleva yleisominaisuus voidaan laajentaa useamman kuin kahden tilan tuotteisiin. Olkoon esimerkiksi , , ja kolme vektoriavaruutta. Tensorituote yhdessä trilineaarisen kartoituksen kanssa suoratuotteesta $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))$

{\displaystyle \varphi :V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))

on sellaisessa muodossa kuin mikä tahansa trilineaarinen kartoitus suorasta tulosta vektoriavaruuteen $F$ $W$

F:V_{1}\kertaa V_{2}\kertaa V_{3}\-W

kulkee yksilöllisesti tensorituotteen läpi:

F=L\circ \varphi

missä on lineaarinen kartoitus. Tensoritulolle on ainutlaatuinen ominaispiirre tämä ominaisuus, aina isomorfismiin asti . Yllä olevan konstruktion tulos on sama kuin kahden tilan tensoritulon toisto. Esimerkiksi jos , ja ovat kolme vektoriavaruutta, on olemassa (luonnollinen) isomorfismi $L$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\otimes V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{ 2})\otimes V_{3}.

Yleensä mielivaltaisen indeksoidun joukkojen perheen tensoritulo määritellään universaaliksi objektiksi monilineaarisille kuvauksille suoratuloksesta . $V_i$ $minä\minässä$ $\textstyle \prod _{i\in I}V_{i}$

Antaa olla mielivaltainen luonnollinen luku. Silloin avaruuden th tensoritehoa kutsutaan kopioiden tensorituloksi : $n$ $n$ $V$ $n$ $V$

V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.

Toiminnallisuus

Tensoritulo toimii myös lineaarisissa kartoituksissa. Olkoon , lineaarisia operaattoreita. Operaattoreiden tensoritulo määräytyy säännön mukaan $A\colon U_{1}\to U_{2}$ ${\displaystyle B\colon W_{1}\to W_{2))$ ${\displaystyle A\otimes B\colon U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2))$

(A\otimes B)(u\otimes w)=(Au)\otimes (Bw),~~u\in U_{1},\,w\in W_{1}

Tämän määritelmän jälkeen tensoritulosta tulee bifunktori vektoriavaruuksien luokasta itseensä, kovariantti molemmissa argumenteissa. [yksi]

Jos operaattorien A ja B matriiseilla jollakin kantavalinnalla on muoto

{\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatrix}}

{\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatrix}}

silloin niiden tensoritulon matriisi kirjoitetaan kantaan, jonka muodostaa emästen tensoritulo lohkomatriisin muodossa

{\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \ \a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots & \cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{11}}b_ {{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}} &a_{{1n}}b_{{22}}&\cpisteet &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vpisteet &\vpisteet &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_ {{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ dpisteet &&\vpisteet &\vpisteet &&\vpisteet \\\vpisteet &\vpisteet &&\vpisteet &&\dpisteet &\vpisteet &\vpisteet &&\vpisteet \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1 }}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{ 12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{ m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{ {2q}}\\\vpisteet &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_ {{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{ pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end {bmatrix}}

Vastaavaa matriisioperaatiota kutsutaan Leopold Kroneckerin mukaan Kroneckerin tuloksi .

Erikoistapaukset

Kahden vektorin tensoritulo

Oikealla olevan sarakevektorin (matriisi) kertominen rivivektorilla kuvaa niiden tensorituloa:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{ 1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2} &a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatrix}}.

Ominaisuudet

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Seuraavat algebralliset ominaisuudet perustuvat kanoniseen isomorfismiin:

Assosiatiivisuus

(A\otimes B)\otimes C\simeq A\otimes (B\otimes C)

Muodollisesti tensoritulo ei ole kommutatiivinen, mutta siinä on luonnollinen isomorfismi $A\otimes B\to B\otimes A$
Lineaarisuus

A\otimes (B\otimes C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\oplus

on lineaaristen tilojen ulkosumma .

Modulin tensoritulo

Antaa olla moduuleja joidenkin kommutatiivisten renkaiden yli . Moduulien tensoritulo on moduulin yli , joka on annettu yhdessä multilineaarisen kuvauksen kanssa ja jolla on universaalisuusominaisuus, toisin sanoen sellainen, että mille tahansa moduulin päälle ja mille tahansa multilineaariselle mappaukselle on ainutlaatuinen moduulien homomorfismi siten, että diagrammi $A_{1},A_{2},\pisteet ,A_{n}$ $R$ $B$ $R$ $f\kaksoispiste A_{1}\kertaa \pistettä \kertaa A_{n}\to B$ $C$ $R$ $g\kaksoispiste A_{1}\kertaa \pistettä \kertaa A_{n}\to C$ $h\kaksoispiste B\-C$

kommutatiivisia. Tensorituloa merkitään . Tensoritulon universaalisuudesta seuraa, että se on yksilöllisesti määritelty isomorfismiin asti. $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$

Todistaaksemme minkä tahansa moduulin tensoritulon olemassaolon kommutatiivisen renkaan yli, rakennamme vapaan moduulin, jonka generaattorit ovat n elementtiä moduuleista, joissa . Olkoon alimoduuli , jonka muodostavat seuraavat elementit: $M$ $(x_{1},\pisteet,x_{n})$ $x_{i}\in A_{i}$ $N$ $M$

$(x_{1},\pisteet ,x_{i}+y_{i},\pisteet ,x_{n})-(x_{1},\pisteet ,x_{i},\pisteet ,x_{n}) -(x_{1},\pisteet ,y_{i},\pisteet ,x_{n})$
$(x_{1},\pisteet ,\lambda x_{i},\pisteet ,x_{n})-\lambda (x_{1},\pisteet ,x_{i},\pisteet ,x_{n})$

Tensoritulo määritellään osamäärämoduuliksi , luokka on merkitty ja sitä kutsutaan elementin tensorituloksi , a määritellään vastaavaksi indusoiduksi mappaukseksi. $B = M/N$ $(x_{1},\pisteet ,x_{n})+N$ $x_{1}\otimes \pistes \otimes x_{n}$ $x_{i}$ $f$

Kohdista 1) ja 2) seuraa, että kartoitus on monilineaarinen. Osoittakaamme, että mille tahansa moduulille ja mille tahansa multilineaariselle mappaukselle on olemassa ainutlaatuinen moduulihomomorfismi , joka on sellainen, että . $f\kaksoispiste A_{1}\kertaa \pistettä \kertaa A_{n}\to B$ $C$ $g\kaksoispiste A_{1}\kertaa \pistettä \kertaa A_{n}\to C$ $h$ $g=h\circ f$

Itse asiassa, koska se on ilmainen, on olemassa ainutlaatuinen kartoitus , joka tekee kaaviosta $M$ $h^{*}$

kommutatiivinen, ja johtuen siitä, että se on monilineaarinen, niin tästä eteenpäin , siirtymällä indusoituun kartoitukseen, saadaan, että , on ainoa homomorfismi, jonka olemassaolo vaadittiin todistamaan. $g$ $N$ $h^{*}(N)=0$ $h\kaksoispiste M/N\ C$

Elementtejä , jotka voidaan esittää muodossa , kutsutaan hajotettaviksi . $A_{1}\otimes \otimes \otimes A_{n}$ $x_{1}\otimes \pistes \otimes x_{n}$

Jos ovat moduulien isomorfismit, niin bilineaarista kartoitusta vastaava indusoitu homomorfismi $f_{i}\colon A_{i}\to B_{i}$

f_{1}\otimes \pistes \otimes f_{n}\colon A_{1}\otimes \pistes \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \pistes \otimes B_{n}

universaalisuuden ominaisuuden kautta olemassa olevaa kutsutaan homomorfismien tensorituloksi . $f_{i}$

Erityisen yksinkertainen tapaus saadaan ilmaisten moduulien tapauksessa . Antaa olla moduulin perusta . Rakennetaan renkaamme päälle vapaa moduuli , jonka perustana on n -kam -elementtejä , määritetään kuvaus ja laajennetaan sitä lineaarisuuden avulla. Sitten on tensoritulo, jossa on elementtien tensoritulo . Jos moduulien määrä ja kaikki niiden kanta ovat äärelliset, niin $e_{{i1}},\pisteet ,e_{{in}}$ $A_{i}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})$ $f(e_{{1m}},e_{{2p}},\pisteet ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\pisteet ,e_{{ns }})$ $A_{1}\times\dots\times A_{n}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\dots ,e_{{ns}})$ $e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$

{\mathrm {rank}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rank}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rank}} \,A_{n}

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 .
Leng S. Algebra. - M .: Mir , 1967.
Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka , 1976. — 648 s.

Muistiinpanot

↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhalovna; Gubareni, Nadia; Kirichenko, Vladimir V. Algebrat, renkaat ja moduulit (uuspr.) . - Springer, 2004. - S. 100. - ISBN 978-1-4020-2690-4 .