Kroneckerin tuote

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 22. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Kronecker-tulo on binäärioperaatio mielivaltaisen kokoisille matriiseille , joita merkitään . Tuloksena on lohkomatriisi . $\otimes$

Kronecker - tuloa ei pidä sekoittaa tavalliseen matriisikertomiseen . Operaatio on nimetty saksalaisen matemaatikon Leopold Kroneckerin mukaan .

Määritelmä

Jos A on m × n matriisi ja B on p × q matriisi, niin Kroneckerin tulo on mp × nq -lohkomatriisi

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B \end{bmatrix}}.

Laajennettu

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}& \cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22} &\cpisteet &a_{11}b_{2q}&\cpisteet &\cpisteet &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cpisteet &a_{1n}b_{2q}\\\vpisteet &\ vpisteet &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\ cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vpisteet \\\vpisteet &\vpisteet &&\vpisteet &&\dpisteet &\vpisteet &\vpisteet &&\vpisteet \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cpisteet &a_{m1} b_{1q}&\cpisteet &\cpisteet &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cpisteet &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1 }b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\ \\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet &&&\vpisteet &\vpisteet &\dpisteet &\vpisteet \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_ {pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Jos A ja B ovat lineaarisia muunnoksia V 1 → W 1 ja V 2 → W 2 , vastaavasti, niin A ⊗ B on kahden kuvauksen, V 1 ⊗ V 2 → W 1 ⊗ W 2 , tensoritulo .

Esimerkki

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\ cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot \cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}

Bilineaarisuus, assosiaatio ja ei-kommutatiivisuus

Kronecker-tuote on tensoritulon erikoistapaus , mikä tarkoittaa, että se on bilineaarinen ja assosiatiivinen :

A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,

(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,

{\näyttötyyli (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}

(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),

missä A , B ja C ovat matriiseja ja k on skalaari.

Kronecker-tuote ei ole kommutoiva . Aina on kuitenkin olemassa sellaisia permutaatiomatriiseja P ja Q

A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.

Jos A ja B ovat neliömatriiseja , niin A B ja B A ovat permutaatioltaan samanlaisia , eli P = Q T . $\otimes$ $\otimes$

Transpositio

Transponoinnin ja hermiittisen konjugoinnin operaatiot voidaan vaihtaa Kronecker-tuotteen kanssa:

(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T},

(A\otimes B)^{H}=A^{H}\otimes B^{H}.

Sekatuote

Jos A , B , C ja D ovat sen kokoisia matriiseja, että AC :n ja BD : n tulot ovat

(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.

A B on palautuva jos ja vain jos A ja B ovat palautuvia, ja sitten $\otimes$

(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.

(A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D)

, missä on Hadamardin tuote

\odot

A\otimes B=(I\otimes B)(A\otimes I)

, missä on identiteettimatriisi.

minä

Summa ja Kronecker-eksponentti

Olkoon A n × n matriisi , B m × m matriisi ja k × k identiteettimatriisi . _ _ Sitten Kroneckerin summa voidaan määritellä muodossa $E_k$ $\oplus$

A\oplus B=A\otimes E_{m}+E_{n}\otimes B.

Myös reilu

e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.

Spektri, jäljitys ja determinantti

Jos A ja B ovat neliömatriiseja, joiden koko on n ja q . Jos λ 1 , …, λ n ovat matriisin A ominaisarvoja ja μ 1 , …, μ q ovat matriisin B ominaisarvoja . Sitten A B :n ominaisarvot ovat $\otimes$

\lambda _{i}\mu _{j},\qquad i=1,\ldots ,n,\,j=1,\ldots ,q.

Kronecker-tuotteen jälki ja determinantti ovat yhtä suuret

\operaattorinnimi {tr} (A\otimes B)=\operaattorin nimi {tr} (A)\,\operaattorin nimi {tr} (B),

\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.

Yksittäisen arvon hajoaminen ja sijoitus

Jos matriisilla A on r A nollasta poikkeavat singulaariarvot :

\sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{A}.

Matriisin B nollasta poikkeavat singulaariarvot :

\sigma _{B,i},\qquad i=1,\ldots ,r_{B}.

Tällöin Kroneckerin tulolla A B on r A r B nollasta poikkeavat singulaariarvot $\otimes$

\sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots ,r_{A},\,j=1,\ldots ,r_{B}.

Matriisin järjestys on yhtä suuri kuin nollasta poikkeavien singulaariarvojen lukumäärä,

\operaattorinnimi {sijoitus} (A\otimes B)=\operaattorinnimi {sijoitus} (A)\,\operaattorinnimi {sijoitus} (B).

Historia

Kroneckerin teos on nimetty Leopold Kroneckerin mukaan, vaikka on vähän todisteita siitä, että hän olisi ensimmäinen, joka määritteli ja käytti operaation. Aikaisemmin Kronecker-tuotetta kutsuttiin joskus Zefuss-matriisiksi .

Estä Kronecker-tuotteen versiot

Lohkomatriisien tapauksessa voidaan käyttää Kronecker-tuloon liittyviä matriisioperaatioita, jotka poikkeavat vastaavan lohkokertolaskun järjestyksessä. Nämä ovat Tracy-Singhin teoksia ( eng. Tracy-Singh tuote ) ja Khatri-Raon töitä .

Taideteos Tracy-Singh

Ilmoitettu lohkomatriisin kertolaskutoiminto koostuu siitä, että jokainen vasemman matriisin lohko kerrotaan peräkkäin oikean matriisin lohkoilla. Tässä tapauksessa tuloksena olevan matriisin muotoiltu rakenne eroaa Kronecker-tuotteen ominaisuudesta. Tracey–Singh-tuote määritellään [1] [2]

\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\odot \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\) mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}

Esimerkiksi:

\mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{cc |  c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}} \right]=\left[{\begin{array}{c |  cc}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],

{\begin{aligned}\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {A} _{11}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{12}\odot \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A} _{21}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\odot \mathbf {B} \end{array}}\right]={}&\left[{\begin{array}{c |  c |  c |  c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _ {12}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{21 }&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{22}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{12}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{22}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array }}\right]\\={}&\left[{\begin{array}{cc |  cccc |  c |  cc}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}

Taideteos Khatri-Rao

Tämä kertolaskuvariantti on määritelty matriiseille, joilla on sama lohkorakenne. Siinä säädetään, että Kronecker-tuotteen toiminta suoritetaan lohko kerrallaan samannimisten matriisilohkojen sisällä analogisesti elementtikohtaisen Hadamard -tulon kanssa , vain tässä tapauksessa matriisilohkot näkyvät elementteinä, ja Kronecker-tulo on käytetään lohkojen kertomiseen.

Muistiinpanot

↑ Tracy, D.S.; Singh, R.P. (1972). "Uusi matriisituote ja sen sovellukset matriisidifferoinnissa". Statistica Neerlandica . 26 (4): 143-157. DOI : 10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x .
↑ Liu, S. (1999). "Matrix-tulokset Khatri-Rao- ja Tracy-Singh-tuotteista." Lineaarinen algebra ja sen sovellukset . 289 (1-3): 267-277. DOI : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .

Kirjallisuus

Horn R. Matriisianalyysi: Per. englannista. / R. Horn, Ch. Johnson. – M.: Mir, 1989.– 655 s.