Samanlaisia matriiseja
Saman kertaluvun neliömatriisien A ja B sanotaan olevan samanlaisia , jos on olemassa samaa kertaluokkaa oleva ei-singulaarinen matriisi P siten, että:
Samanlaisia matriiseja saadaan määrittämällä sama lineaarinen muunnos matriisilla eri koordinaattijärjestelmissä ; tässä tapauksessa matriisi Р on siirtymämatriisi järjestelmästä toiseen.
Jos kaksi matriisia ovat samankaltaisia, sanotaan, että toinen matriiseista saadaan samankaltaisuusmuunnolla toisesta. Jos lisäksi yksi matriiseista on diagonaali , niin toisen matriisin sanotaan olevan diagonalisoitava.
Ominaisuudet
Matriisin samankaltaisuusrelaatio on ekvivalenssirelaatio neliömatriisien avaruudessa.
Näillä matriiseilla on monia yhteisiä ominaisuuksia, nimittäin:
- sijoitus
- määräävä tekijä
- seurata
- ominaisarvot (mutta ominaisvektorit eivät välttämättä täsmää)
- ominaispolynomi
- Jordan muodostuu solujen permutaatioon asti
Voidaan todistaa, että mikä tahansa matriisi A on samanlainen kuin A T .
Samankaltaisten matriisien kanoniset muodot
Usein herää kysymys, kuinka paljon tietyn lineaarimuunnoksen muotoa voidaan yksinkertaistaa vaihtamalla kantaa (eli koordinaattijärjestelmää). Koska tuloksena olevat matriisit ovat samankaltaisia, tämä on sama asia kuin jonkin matriisin kanonisen muodon etsiminen matriisien ekvivalenssiluokassa, joka on samanlainen kuin tämän lineaarisen muunnoksen matriisi.
Yksinkertaisin tällainen muoto olisi tietysti diagonaalimatriisi , mutta kaikkia matriiseja ei voida pelkistää diagonaalimuotoon (tärkeä poikkeus ovat symmetriset reaali- ja hermiittiset matriisit, jotka voidaan aina diagonalisoida).
On olemassa useita monimutkaisempia kanonisia matriisien muotoja, joihin mikä tahansa matriisi voidaan pelkistää samankaltaisuusmuunnolla: