Lineaarialgebra

Lineaarinen algebra on algebran osa , joka tutkii luonteeltaan lineaarisia objekteja : vektoriavaruuksia (tai lineaarisia) avaruuksia, lineaarisia kuvauksia , lineaarisia yhtälöjärjestelmiä , lineaarialgebran tärkeimpiä työkaluja ovat determinantit , matriisit , konjugaatio . Invarianttiteoriaa ja tensorilaskentaa pidetään yleensä (kokonaan tai osittain) myös lineaarialgebran osana [1] . Objektit, kuten neliö- ja bilineaariset muodot , tensorit ja operaatiot, kuten tensoritulo, seuraavat suoraan lineaariavaruuksien tutkimuksesta, mutta kuuluvat sellaisenaan monilineaariseen algebraan .

Lineaarinen algebra yleistetään yleisalgebran avulla , erityisesti nykyaikainen lineaarisen (vektoriavaruuden) määritelmä perustuu pelkästään abstrakteihin rakenteisiin, ja monet lineaarialgebran tulokset yleistetään mielivaltaisiksi moduuleiksi renkaan yli . Lisäksi lineaarialgebran menetelmiä käytetään laajalti muissa yleisalgebran osissa, erityisesti käytetään usein sellaista tekniikkaa kuin abstraktien rakenteiden pelkistäminen lineaariseksi ja niiden tutkiminen suhteellisen yksinkertaisilla ja hyvin kehitetyillä lineaarialgebran menetelmillä, esim. , se on toteutettu ryhmäesitysten teoriassa . Funktionaalinen analyysi syntyi matemaattisen analyysin menetelmien ja lineaarisen algebran soveltamisena äärettömiin lineaarisiin tiloihin, ja se perustuu suurelta osin lineaarialgebran menetelmiin ja sen lisäyleistyksiin. Lineaarinen algebra on myös löytänyt laajan sovelluksen lukuisissa sovelluksissa (mukaan lukien lineaarinen ohjelmointi , ekonometria ) ja luonnontieteissä (esimerkiksi kvanttimekaniikka ).

Historia

Lineaarisen algebran ensimmäiset elementit seurasivat käytännöllisistä laskennallisista ongelmista lineaariyhtälöiden ratkaisun ympärillä , erityisesti sellaiset aritmeettiset temput kuin kolmoissääntö ja väärän sijainnin sääntö muotoiltiin antiikissa. Eukleideen elementeissä esiintyy kaksi "lineaarisen" luonteen teoriaa: suuruusteoria ja kokonaislukuteoria. Nykyaikaisia matriisimenetelmiä lähellä olevia lineaaristen yhtälöiden ratkaisutapoja löytyy babylonialaisilta (kahden yhtälön järjestelmät kahdella muuttujalla) ja muinaisilla kiinalaisilla ( kirjassa " Mathematics in Nine Books ", jopa kolme yhtälöä kolmella muuttujalla) [2] . Kuitenkin sen jälkeen, kun lineaariyhtälöjärjestelmien ratkaisujen pääkysymyksillä saavutettiin varmuus , osion kehitystä ei käytännössä tapahtunut, ja jopa 1700-luvun lopulla - 1800-luvun alussa uskottiin, että mitään ei ollut olemassa. enemmän ongelmia ensimmäisen asteen yhtälöiden kanssa, lisäksi lineaarisia yhtälöjärjestelmiä, joissa oli lukuisia lukuyhtälöistä poikkeavia muuttujia tai joiden vasemmalla puolella on lineaarisesti riippuvaisia kertoimia, pidettiin yksinkertaisesti virheellisinä [3] .

Menetelmät, jotka muodostivat lineaarisen algebran itsenäiseksi matematiikan haaraksi, juurtuvat muihin haaroihin. Fermat 1630-luvulla luotuaan tasokäyrien luokituksen otti matematiikkaan ulottuvuuden periaatteen (lineaarialgebran avain) ja jakoi analyyttisen geometrian ongelmat tuntemattomien lukumäärän mukaan (yksi tuntematon - pisteen löytäminen , kaksi - käyrä tai geometrinen paikka tasossa, jossa on kolme pintaa ). Euler loi käyrien luokituksen järjestysten mukaan kiinnittäen huomion koordinaattimuunnosten lineaariseen luonteeseen ja esitteli affiinin muunnoksen käsitteen (ja itse sanan "affiniteetti") [4] .

Ensimmäinen determinantin käsitteen käyttöönotto lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi johtuu Leibnizistä ( 1678 [5] tai 1693 [6] ), mutta näitä teoksia ei julkaistu. Determinantti löytyy myös Seki Takakazun teoksista vuonna 1683 , joissa hän yleisti menetelmän lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi muinaisesta kiinalaisesta "Mathematics in Nine Books" -yhtälöistä tuntemattomien kanssa [7] . Maclaurin , itse asiassa käyttämällä yksinkertaisimpia determinantteja vuonna 1748 julkaistussa tutkielmassa , antaa ratkaisuja järjestelmille, joissa on kaksi lineaarista yhtälöä, joissa on kaksi tuntematonta ja kolme yhtälöä, joissa on kolme tuntematonta [8] . Cramer ja Bezout rakensivat työssään ongelmaa tietyn pisteen läpi kulkevan tasokäyrän löytämisestä ( Cramerin sääntö muotoiltiin vuonna 1750 ), Vandermonde ja Lagrange antoivat tapauksille induktiivisen määritelmän [9] ja Cauchy antoi determinanttien ( 1815 ) ja Jacobin (1840-luku) integraalinen määritelmä ja lopulliset ominaisuudet [3] . Gauss (noin 1800) formalisoi muuttujien peräkkäisen eliminoinnin menetelmän näiden ongelmien ratkaisemiseksi, joka tuli tunnetuksi hänen nimellään [10] (vaikka pohjimmiltaan tätä menetelmää käytettiin lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen antiikista [4] ). $n$ $n$ $n>3$

D'Alembert , Lagrange ja Euler , jotka työskentelevät differentiaaliyhtälöiden teorian parissa, tunnistivat tavalla tai toisella lineaaristen homogeenisten yhtälöiden luokan ja totesivat tosiasian, että tällaisen järjestysyhtälön yleinen ratkaisu on tiettyjen ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä (kuitenkin , he eivät huomanneet ratkaisujen lineaarisen riippumattomuuden tarvetta ) [11] . Perustuen havaintoon, että kokonaislukufunktion arvojoukko ei muutu päättyneestä ja suoritetaan lineaarinen korvaus (kokonaislukukertoimilla ja determinantilla 1), Lagrange kehittää vuonna 1769 teorian kokonaislukujen esittämisestä asteen muodot , ja vuonna 1770 yleistää teorian algebrallisiin muotoihin . Gauss kehitti Lagrangen teoriaa pohtien muotojen ekvivalenssikysymyksiä ja esitteli joukon lineaarisiin substituutioihin liittyviä käsitteitä, joista tärkein oli konjugoitu (transponoitu) substituutio [12] . Siitä lähtien asteen ja niihin liittyvien bilineaaristen muotojen aritmeettiset ja algebralliset tutkimukset ovat olleet olennainen osa lineaarialgebran aihetta [13] . $n$ $n$ $f(x,y)$ $x$ $y$

Toinen lineaarisen algebran lähestymistavan lähde oli projektiiivinen geometria , jonka luomisen Desargues aloitti 1600-luvulla ja jota kehitettiin merkittävästi Mongen teoksissa 1700-luvun lopulla ja myöhemmin Ponceletin , Brianchonin ja Challin teoksissa. 1800-luvun alkupuolelta puoliväliin. Noihin aikoihin projektitiivisen geometrian pääasiallisena aiheena olivat kartiot ja nelikulmaiset muodot, jotka ovat pohjimmiltaan neliömäisiä muotoja. Lisäksi Mongen esittelemä projektiivisten tilojen kaksinaisuuden käsite on yksi lineaaristen tilojen kaksinaisuuden aspekteista ( Pinkerle kuitenkin huomasi tämän yhteyden vasta 1800-luvun lopulla ) [14] .

Mutta lineaarisen algebran pääpohja oli vektorilaskenta , joka itse asiassa liittyi osaan, jonka Gauss hahmotteli teoksissaan kompleksilukujen geometrisesta tulkinnasta ( 1831 ) ja sai lopullisen muotonsa Möbiuksen , Grassmannin ja Hamiltonin teoksissa . 1840-1850 luvut. Joten Hamilton vuonna 1843 löytää kvaternionit , kompleksilukujen neliulotteisen analogin, ja antaa niille geometrisen tulkinnan analogisesti Gaussin kanssa (Hamilton kuuluu muun muassa termin "vektori" käyttöönottoon). Hamiltonin koulukunnan fyysikot, joista Maxwell oli merkittävin , selvittivät huolellisesti sen, mikä nyt liittyy vektorialgebraan kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa: skalaarin , vektorin ja vektorien sekatulon käsitteet, nabla-operaattori [15] . otettiin käyttöön , perinteeseen tullut symboliikka muodostui, myös siitä lähtien vektorit tunkeutuvat koulujen ohjelmiin. Samaan aikaan Hamiltonin koulun keskeinen käsite ei ollut vektorit, vaan kvaternionit, ja lineaarisen algebran määritelmät annettiin kvaternion kertolaskuna.

Samanaikaisesti lineaarinen algebra kehittyi Euroopassa. Vuonna 1844 Grassmann rakensi ulkoisen algebran käsitteen , joka kuvaa lineaarisen avaruuden aliavaruuksia [16] . Pitkään hänen teoksensa jätettiin ansaitsematta huomiotta: fyysiseen maailmankuvaan sopivaa kieltä pidettiin kvaternionien kielenä. Joten Tat , "kvaternionistisen" koulukunnan johtaja, piti Gibbsin kritiikkiä naurettavana , mikä osoitti, että kvaternionien kieli ei sovellu kuvaamaan neljää suurempia ulottuvuuksia, koska aika-avaruus on neliulotteinen; kun taas Gibbsille tämä oli äärimmäisen tärkeää, koska hänen kehittämänsä tilastomekaniikan vaiheavaruudet ovat erittäin suuret ( Avogadron luvun luokkaa ). Myöhemmin vahvistettiin Gibbsin, jonka ideat kehitti Heaviside , oikeellisuus: vektorilaskennan kieli tuli pääkieleksi, ja kvaternionien laaja käyttö säilyi historiallisena uteliaana. Grassmannin ja Hamiltonin ajatusten synteesin suoritti 1870-luvulla Clifford : hänen esittämäänsä Clifford-algebran käsite sisältää sekä kvaternionalgebran että ulkoisen algebran erikoistapaukset.

Sylvester esitteli matriisin käsitteen vuonna 1850 [17] [18] . Cayley kehitti matriisilaskentaa yksityiskohtaisesti julkaisemalla muistelman matriisien teoriasta vuonna 1858. On olennaista , että Cayley pitää matriiseja lineaaristen substituutioiden merkintänä [16] . Erityisesti tässä työssä Cayley esittelee matriisien yhteen- ja kertolaskua , matriisin inversion , tarkastelee matriisien tunnusomaisia polynomeja ja formuloi ja todistaa tapauksille 2 × 2 ja 3 × 3 väitteen, että neliön ominaispolynomi matriisi katoaa (tunnetaan nimellä Hamilton–Cayley-lause , koska Hamilton osoitti 4×4-tapauksen kvaternioneilla), yleisen tapauksen todistus johtuu Frobeniuksesta ( 1898 ). Lineaariset yhtälöt matriisi-vektorimuodossa ilmestyivät ensimmäisen kerran ilmeisesti Laguerren ( 1867 ) teoksissa. Ei-euklidisiin geometrioihin liittyvät matriisiryhmät ilmestyivät Killingin töihin 1880-luvulla, ja niistä tuli Lie- ryhmien ja algebroiden teorian perusta yhdessä Lie-ryhmän aikaisemman työn kanssa . Vuosisadan vaihteessa tätä teoriaa rikasttivat Engel ja Cartan , jotka luokittelivat puoliyksinkertaiset Lie-algebrat ja löysivät matkan varrella vektoritulon seitsemänulotteisessa avaruudessa .

Klassisen version invarianttien teoria - oppi algebrallisten muotojen ominaisuuksista, jotka säilyvät lineaarisissa muunnoksissa, on muodostettu 1840-luvulta lähtien Cayleyn, Hermiten ja Sylvesterin teoksissa (tunnetaan nimellä "invariantti kolminaisuus", ranska la ). trinité invariantive ), katsotaan [19] , että invarianttien teoria johtaa periaatteiden luomiseen mielivaltaisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi. Erityisesti Erakko[ selventää ] muotoili ja ratkaisi tietyssä tapauksessa ongelman lineaaristen diofantiiniyhtälöiden löytämisestä, ratkaisun yleisessä tapauksessa löysi Smith , jonka tulos jäi huomaamatta, kunnes Frobenius löysi sen vuonna 1878 [19] . Satunnaisten numeeristen kertoimien lineaariyhtälöjärjestelmien tulosten lopullinen muoto saatiin Kroneckerin järjestämissä töissä , joihin osallistuivat Weierstrass , Frobenius ja joukko saksalaisia tiedemiehiä. Erityistä huomiota kiinnitettiin muotoilujen tarkkuuteen ja tarkkuuteen. . Erityisesti determinantti esiteltiin Kronecker - Weierstrassin luentojen aikana -ulotteisen avaruuden vektorien monilineaarisena merkki-vuorottelufunktiona , joka on normalisoitu siten, että se saa identiteettimatriisin arvon 1; lisäksi tämä määritelmä vastaa Grassmannin laskelmasta [19] [20] seuraavaa määritelmää . Frobenius esitteli vuonna 1877 matriisitason käsitteen , jonka perusteella useat tutkijat ovat lähivuosina yhtä aikaa todenneet väitteen, jonka mukaan lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaistavuus on yhtä suuri kuin sen pää- ja laajennetun matriisin rivien yhteensattuma. tunnetaan venäläisissä ja puolalaisissa lähteissä Kronecker-Capelli-lauseena , ranskaksi - lause Rouche ( fr. Eugène Rouché ) - Fontenay ( fr. Georges Fontené ), saksaksi ja espanjaksi - Rouche-Frobenius-lauseena, italiaksi ja englanniksi - Rouche- Capellin lause . $n$ $n$

Vuonna 1888 Peano muotoili Grassmannin laskentaan perustuen ensimmäistä kertaa eksplisiittisesti lineaariavaruuden aksioomat (vektoriavaruudet reaalilukujen kentän yli, mukaan lukien äärettömät) ja sovelsi merkintää, joka jäi käyttöön 20.-21. vuosisatoja [21] . Toeplitz havaitsi 1910-luvun alussa, että käyttämällä lineaarisen avaruuden aksiomatisointia lineaarisen algebran peruslauseiden todistamiseen, ei tarvitse turvautua determinantin käsitteeseen, joka mahdollistaa tulosten laajentamisen äärettömän luvun tapaukseen. mitoista [21] . Vektorin ja euklidisen avaruuden aksiomaattisen määritelmän muotoilivat ensimmäisen kerran selkeästi 1900-luvun alussa Weil ja von Neumann lähes samanaikaisesti kvanttimekaniikan vaatimusten perusteella [22] .

Tensorilaskenta , jonka Ricci ja Levi-Civita kehittivät 1890 -luvulla , muodosti sen algebrallisen osan multilineaarisen algebran pääsisällön. Erityistä huomiota kiinnitettiin tähän alaosaan 1910-1930-luvuilla, koska Einstein ja Hilbert käyttivät laajasti tensoreita yleisen suhteellisuusteorian matemaattisessa kuvauksessa .

Vuonna 1922 Banach tutkiessaan täydellisiä normaaleja lineaariavaruuksia, jotka tulivat tunnetuksi hänen työnsä jälkeen nimellä Banach , havaitsi, että viimeisessä tapauksessa syntyy lineaariavaruuksia, jotka eivät ole isomorfisia duaalinsa kanssa [ 21] , ja tässä suhteessa ensimmäisessä 1900-luvun puolivälissä menetelmät ja tulokset lineaarialgebra rikasttivat funktionaalista analyysiä , muodostaen sen pääaiheen nykyisessä mielessä - topologisten lineaariavaruuksien tutkimuksen [23] . Myös 1920-1950-luvulla suunta yleisalgebran linearisointiin yleistyi, joten kehittäessään Dedekindin tulosta minkä tahansa kentän automorfismien lineaarisesta riippumattomuudesta Artin linearisoi Galois'n teorian , ja 1950-luvulla pääasiassa teoksissa Jacobson , nämä tulokset on yleistetty mielivaltaisiin kappaleiden laajennuksiin [24] ; näiden rakenteiden ansiosta on mahdollista soveltaa hyvin tutkitun lineaarialgebran työkaluja ja saavutuksia hyvin abstrakteissa yleisalgebran osissa .

1900-luvun toiselta puoliskolta lähtien tietokoneiden ilmaantuessa, laskennallisen matematiikan ja tietokonealgebran menetelmien kehittyessä lineaarialgebran puitteissa laskennallinen suunta on kehittynyt nopeasti - tehokkaiden menetelmien ja algoritmien etsiminen. lineaarialgebran tehtävien ratkaisuun tietotekniikan avulla on muodostettu itsenäinen osa laskennallista lineaarialgebraa ( englanniksi numerical linear algebra ), ja lineaarialgebran tehtävien ratkaisusta on tullut yksi tärkeimmistä käytännön komponenteista tietokoneiden käytössä. Tämän suunnan kehittämiseen johtaneisiin töihin kuului Turingin luoma algoritmi neliömatriisin LU-hajottamiseksi ylempään ja alempaan kolmioon ( 1948 ) [25] . On merkittävää, että Linpack -testien tuloksia , joissa laskentajärjestelmien on ratkaistava monimutkaisia lineaarisia yhtälöjärjestelmiä LU-hajotelman avulla, pidetään liukulukulaskutoimituksen pääindikaattorina, myös klusterijärjestelmien osalta . 1950-1960-luvulla Faddeev ja Wikinson julkaisivat suuria tutkimuksia laskennallisen lineaarisen algebran alalla , merkittäviä tuloksia 1970-2000-luvulla saavuttivat Marchuk , Samarsky , Godunov , Golub ( eng. Gene H. Golub ), Axelson [ . 26] .

Perusmallit

Matriisit ja determinantit

Matriisi on matemaattinen objekti, joka on kirjoitettu suorakaiteen muotoiseen kokotaulukkoon, jonka soluissa on mielivaltaisen ennalta valitun (pää) kentän elementtejä (yleisimmässä tapauksessa assosiaatiorengas [ 27] ) - nämä voivat olla kokonaislukuja , reaali- tai kompleksilukuja , vektoreita , rationaalisia funktioita — sovelluksista ja tehtävistä riippuen: $m\ kertaa n$

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix}

Matriiseille käytetään myös lyhennettyä merkintää , mutta yleensä ne toimivat matriisien kanssa kuten yksittäisten objektien kanssa: yhteenlasku ja kertolasku määritellään matriisien päällä , ja matriisi voidaan kertoa myös skalaarilla - pääkentän elementillä, suhteessa nämä operaatiot muodostavat vektoriavaruuden päälle (tai yleisimmässä tapauksessa moduulin renkaan päälle ). Muita matriisien operaatioita ovat transponointi (rivien korvaaminen sarakkeilla) ja pseudo -inversio (nelimatriisin inversion yleistys ). Matriiseja, joiden koko on ja , kutsutaan rivivektoriksi ja sarakevektoriksi. $(a_{ij})$ $1 \ kertaa n$ $m\ kertaa 1$

Matriisia, jossa on yhtä suuri määrä rivejä ja sarakkeita, kutsutaan neliöiksi , sisällöstä riippuen ne voivat olla diagonaalisia (kaikki elementit ovat pääkentän nollia, paitsi diagonaali: ), yksittäisiä (kaikki diagonaaliset elementit ovat yhtä suuria kuin yksi pääkentistä kenttä, ja loput ovat nollia), symmetrinen (kaikki elementit ovat symmetrisiä päädiagonaalin suhteen: ), vinosymmetrinen ( ), kolmiomainen (kaikki päälävistäjän ylä- tai alapuolella olevat elementit ovat nolla), ortogonaaliset . Neliömatriiseista samankaltaisuusrelaatio ( ), jossa on matriisin käänteisarvo ), sellaiset matriisien ominaisuudet kuin rank (lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden maksimimäärä) ja karakteristinen polynomi ovat samankaltaisuuden suhteen muuttumattomia [28] . Samankaltaisille suorakulmaisille matriiseille ovat identtiset myös sellaiset ominaisuudet kuin jälki (ottaen päälävistäjän elementtien summan) ja determinantti. $i \neq j \Nuoli oikealle a_{ij} = 0$ $a_{ij} = a_{ji}$ $a_{ij} = - a_{ji}$ $A \sim B \nuoli vasen \olemassa P (A = P^{-1} \cdot B \cdot P$ $P^{-1}$ $P$

Determinantti on polynomi , joka yhdistää neliömatriisin alkiot erityisellä tavalla luonnehtien matriisin käänteisyyttä. Tarkemmin sanottuna matriisin determinantti katoaa, jos ja vain jos matriisi ei ole käännettävä. Sama ehto vastaa sitä tosiasiaa, että matriisissa on lineaarisesti riippuvia rivejä tai sarakkeita. Neliömatriiseja, joiden determinantti on nolla, kutsutaan degeneroituneiksi , jos determinantti on eri kuin nolla, niin matriisia kutsutaan ei- degeneroituneiksi . Determinanttia voidaan käyttää lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisessa. Sen pohjalta otetaan käyttöön käsitteet molli , lisämolli , algebrallinen komplementti [29] .

Vektorit

Vektorin käsite (itsensä termin "vektori" esitteli W. Hamilton ) syntyi alun perin geometrisena abstraktiona kohteille, joille on tunnusomaista sekä suuruus että suunta, kuten nopeus , voimamomentti , sähkökentän voimakkuus , magnetointi . 1900-luvun alussa alkuperäinen tulkinta vektoreista (joita käytetään edelleen perusmatematiikassa) "suunnattuina segmentteinä" muuttui vektoriavaruuden aksiomatiikaksi kahdella operaatiolla : vektorin yhteenlasku ja vektorin kertominen luvuilla (yleisemmin, kentän elementtien mukaan ). Lisäksi usein esitellään erilaisia vektorituotteita: skalaari , vektori , sekoitettu , pseudoskalaarinen , kaksoisvektori .

Lineaarisessa algebrassa avainroolia on vektoreiden lineaarisen riippumattomuuden käsite, joka on vektoriavaruuden perustan ja ulottuvuuden määritelmien taustallaː lukua kutsutaan vektoriavaruuden dimensioksi, jos se sisältää lineaarisesti riippumattomia vektoreita ja mitä tahansa vektoreita. tämä tila ovat lineaarisesti riippuvaisia. Tällaista vektoriavaruutta kutsutaan -ulotteiseksi, ja mikä tahansa sen vektoreista esitetään järjestetyllä numerosarjalla (joka määritetään yksilöllisesti valitsemalla jokin kanta). Siten vektorit voidaan kirjoittaa kokoisiksi matriiseiksi tai - sarakevektoreiksi ja rivivektoreiksi, ja kaikki vektorialgebran operaatiot voidaan pelkistää matriisialgebraksiː, esimerkiksi vektorien yhteenlasku on sama kuin matriisilisäys ja vektorien kertolasku ilmaistaan ensimmäisestä tekijästä muodostetun vinosymmetrisen matriisin ja toista tekijää edustavan sarakevektorin tulona. $n$ $n$ $k>n$ $n$ $n$ $1 \ kertaa n$ $n kertaa 1$

Tensorit

Tensorit syntyivät lineaarisia algebraobjekteja koskevien ideoiden luonnollisena kehityksenä: jos -ulotteinen skalaari esitetään nollaulotteisella objektilla (joka koostuu vain yhdestä kentän elementistä ), vektori on yksiulotteinen taulukko (matriisi koko ), lineaarinen muunnos on kaksiulotteinen matriisi , jolloin tensori voidaan esittää moniulotteisena joukkona kokokentän elementtejä (taulukon mittojen lukumäärää kutsutaan tensorin valenssiksi ), ja skalaarit, vektorit, lineaariset operaattorit osoittautuvat tensorin erikoistapauksiksi (valenssien 0, 1 ja 2 kanssa). Seuraava tensorin käsitteessä käytetty yleistys on otettu mahdollisuudesta esittää lineaarinen funktionaali kovektorina ja ajatuksesta kaksinaisuudesta tilan ja sen konjugaation välillä , sen lineaarifunktioiden avaruudesta; Tätä mahdollisuutta käyttämällä valenssitensoria pidetään vain kontravarianttina , eli sitä tarkastellaan "tavallisen" perustan vastaavien komponenttien kanssa, ja kerran kovarianttina , eli kaksoisavaruuden komponenttien ( , "ranktensori ") kanssa. $n$ $1 \ kertaa n$ $n \ kertaa n \ kertaa \ cdots \ kertaa n$ $r$ $l$ $k$ $r=k+l$ $(l, k)$

Tensorialgebrassa esitellään ja tutkitaan tensorien lineaarisia operaatioita, kuten kertomista skalaarilla, yhteenlaskua, konvoluutiota . Erityinen rooli on tensoritulon ( ) toiminnalla, jonka yleistäminen lineaarisiksi avaruuksiksi mahdollisti tensorin määritelmän yleistämisen: lineaariavaruuden ranktensoria pitäminen tensoritulon elementtinä . sen konjugaatin esiintymät ja esiintymät : $\otimes$ $(l, k)$ $V$ $k$ $V$ $l$ $V^*$

\alku{matriisi} \alaisulke{ V \otimes \ldots \otimes V} & \otimes & \aliviiva{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*} \\ k & & l \end{matriisi}

Neliölliset ja bilineaariset muodot

Algebralliset muodot ( homogeeniset polynomit vektoriavaruuksissa, jotka on annettu homogeenisten polynomien vektorikoordinaateissa) kuuluvat multilineaariseen algebraan , mutta neliö-, bilineaariset muodot ja eräät erikoismuodot ( sesquilinear , Hermitian ) ovat tärkeitä myös puhtaasti lineaarisessa algebrassa. Bilineaaristen ja toisen asteen muotojen merkitys on siinä, että ne ilmaistaan matriiseilla, kuten lineaariset operaattorit. Symmetristen ja vinosymmetristen bilineaaristen muotojen ominaisuuksia on tutkittu yksityiskohtaisimmin . $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Vektorivälit

Kaikki lineaarisessa algebrassa tutkitut matemaattiset rakenteet - vektorit, tensorit, matriisit, algebralliset muodot sekä operaatiot niillä on universalisoitu vektoriavaruuden (lineaarisen) yleisessä algebrallisessa käsitteessä. Vektoriavaruus määritellään algebraksi mielivaltaisen elementtijoukon , joita kutsutaan vektoreiksi , ja mielivaltaisen kentän yli , jonka elementtejä kutsutaan skalaareiksi , ja lisäksi vektorit, joissa on vektorien yhteenlaskuoperaatio , muodostavat Abelin ryhmän ja vektorien kertominen skalaari on määritelty: siten, että seuraavat ominaisuudet ( ): $\langle V, \mathfrak F, +, \cdot \rangle$ $V$ $\mathfrak F$ $\langle V, + \rangle$ $\cdot : \mathfrak F \times V \to V$ $1, \alpha, \beta \in \mathfrak F, \, \mathbf v, \mathbf u \in V$

1 \cdot \mathbf v = \mathbf v

\alpha \cdot (\mathbf v + \mathbf u) = \alpha \cdot \mathbf v + \alpha \cdot \mathbf u

(\alpha + \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot \mathbf v + \beta \cdot \mathbf v

(\alpha \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf v)

Kenttänä tarkastellaan joskus erityisesti reaalilukujen kenttää (silloin puhutaan todellisesta vektoriavaruudesta) tai kompleksilukujen kenttää ( kompleksivektoriavaruus) tavallisilla yhteen- ja kertolaskuoperaatioilla, erityisesti teoriassa kupera joukkoja, monet tulokset on muotoiltu erityisesti todellisia tai kompleksisia vektoriavaruuksia varten [30] . Mutta merkittävä osa väitteistä ja suurin osa konstruktioista pätee mielivaltaisille kentille, lisäksi monet vektoriavaruksille saadut lineaarisen algebran tulokset yleistettiin 1900-luvulla unitaarimoduuleiksi ei - kommutatiivisten jakorenkaiden yli ja jopa mielivaltaisiksi moduuleiksi . renkaat tai moduulit tietyin rajoituksin.

Lineaariset vektorien yhdistelmät ovat muotosummia, joidenäärellisiä $\alpha_1 \mathbf v_1 + \dots + \alpha_n \mathbf v_n$

Vektoriavaruuksien lisäyleistämistä, kuten niiden varustamista seminormeilla , normeilla , metreillä , topologioilla , tutkitaan funktionaalisessa analyysissä .

Lineaariset kartoitukset

Kuten muidenkin algebrallisten rakenteiden teoriat, lineaarinen algebra tutkii vektoriavaruuksien välisiä kartoituksia, jotka säilyttävät vektoriavaruuden rakenteen. Mielivaltaisten vektoriavaruuksien lineaarinen kuvaus (lineaarinen muunnos, lineaarinen operaattori) yhden kentän yli on kartoitus, joka säilyttää lineaarisuuden: $L: V:stä U:lle$

L(\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = L(\mathbf v_1) + L(\mathbf v_2)

L (\alpha \cdot \mathbf v) = \alpha \cdot L (\mathbf v)

Kun kahden vektoriavaruuden välillä on yksi-yhteen-kuvaus, joka on lineaarinen, niin näiden avaruuksien sanotaan olevan isomorfisia ; monet vektoriavaruuksien ominaisuudet säilyvät isomorfisissa muunnoksissa (ovat invariantteja isomorfismissa).

Kaikkien annettujen vektoriavaruuksien lineaaristen kuvausten luokassa voidaan määritellä vektoriavaruuden rakenne. Äärillisulotteisten vektoriavaruuksien lineaariset mappaukset voidaan kirjoittaa matriisimuotoon ja niiden ominaisuuksia tutkitaan jo matriisien avulla .

Ominaisvektorit ja ominaisarvot

Yleensä lineaaristen kuvausten toiminta voi olla melko monimutkaista. Tärkeä ja yleinen tehtävä on löytää sellainen vektoriavaruuden kanta, jossa tietyn lineaarisen kuvauksen matriisilla on yksinkertaisin muoto. Tämän ongelman ratkaisemisessa avainroolissa ovat lineaarisen kuvauksen muuttumattomat aliavaruudet , eli aliavaruudet, joiden kuva upotetaan itseensä kartoituksen aikana . Jos löydetään nollasta poikkeavia invariantteja aliavaruuksia (eli ), joiden suora summa on koko avaruus , niin kartoitusmatriisilla on lohkodiagonaalimuoto, jossa on kertalukulohkot , , päädiagonaalilla, jos valitaan kanta, joka koostuu vektoriryhmät, joissa -:s ryhmä on kanta aliavaruudessa . $V$ $L: V$ $L$ $L$ $W_1, \ldots, W_k$ $L(W_i)\osajoukko W_i$ $V$ $L$ $n_1, \ldots, n_k$ $n_i = \dim W_i$ $k$ $i$ $W_i$

Invariantin aliavaruuden yksinkertaisin tapaus on yksiulotteinen invarianttialiavaruus , joka voidaan määrittää käyttämällä yhtä (mitä tahansa) nollasta poikkeavaa vektoria . Tässä tapauksessa ehto aliavaruuden kuvan sisäkkäisyydestä itseensä saa muodon jollakin numerolla ; tällainen konstruktio johtaa ominaisvektorin ja ominaisarvon määrittelyyn: jos jollekin vektorille ja luvulle yhtälö pätee , niin sitä kutsutaan kuvauksen ominaisarvoksi ja vektoria sen ominaisvektoriksi . Lineaarisen kuvauksen ominaisarvot on määritelty yksiselitteisesti ja ominaisvektorit määritetään suhteellisuuteen asti, eli satunnaisella nollasta poikkeavalla luvulla kertomiseen asti. $W$ $x \ in W$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $x\neq 0$ $\lambda$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $L$ $x$

Jos kuvauksessa on joukko lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita, joiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tilan dimensio , ne voivat muodostaa kannan (kutsutaan tietyn kuvauksen ominaisperustaksi ), jossa kartoitusmatriisi on diagonaalinen, ominaisarvot päädiagonaalissa. Tällaisten lineaaristen kuvausten sanotaan olevan diagonalisoitavia . Riittävä (mutta ei välttämätön) ehto diagonalisoitavuudelle on erillisten ominaisarvojen läsnäolo. $n$ $n$ $V$ $n$

Jordan normaalimuoto

Sovellus

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen

M lineaarisen algebrallisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta, on yhtälöjärjestelmä, jonka muoto on

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \pisteet\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \pisteet + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

Se voidaan esittää matriisimuodossa seuraavasti:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

tai:

kirves = b

Edustusteoria

Lineaarinen ohjelmointi

Ekonometria

Kvanttimekaniikka

Muistiinpanot

↑ Lineaarinen algebra / P. S. Aleksandrov // Suuri Neuvostoliiton Encyclopedia : [30 nidettä] / ch. toim. A. M. Prokhorov . - 3. painos - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1969-1978.
↑ Kleiner, 2007 , Noin 4000 vuotta sitten babylonialaiset tiesivät kuinka ratkaista kahden lineaarisen yhtälön järjestelmä kahdessa tuntemattomassa (2 × 2 järjestelmä). Kuuluisassa matematiikan taiteen yhdeksässä luvussa kiinalaiset ratkaisivat 3 × 3 järjestelmiä työskentelemällä pelkästään (numeeristen) kertoimiensa kanssa. Nämä olivat matriisimenetelmien prototyyppejä, toisin kuin Gaussin ja muiden "eliminointimenetelmät", s. s. 79.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 74.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 75.
↑ Prasolov, 1996 , s. 9.
↑ Kleiner, 2007 , s. 80.
↑ Prasolov, 1996 , s. kymmenen.
↑ Kleiner, 2007 , Ensimmäinen julkaisu, joka sisälsi jotain perustietoa determinanteista, oli Maclaurinin Algebran traktaatti, jossa niitä käytettiin ratkaisemaan 2 × 2 ja 3 × 3 järjestelmiä, s. 81.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , s. 394.
↑ Kleiner, 2007 , s. 79.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 75-76.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 76.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 76-77, 134-137.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 77-78.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , s. 402.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , s. 80.
↑ Lat . matriisi - "perussyy". Monet lähteet uskovat, että Sylvester otti termin käyttöön vuonna 1848, mutta hän ei julkaissut yhtään teosta sinä vuonna, katso JJ Sylvester. James Joseph Sylvesterin / HF Bakerin kerätyt matemaattiset paperit . - Cambridge : Cambridge University Press, 1904 , kun taas JJ Sylvesterin vuonna 1850 julkaistussa teoksessa . Lisäykset tämän lehden syyskuun numeron "On a new class of theorems" artikkeleihin ja Pascalin lauseeseen // The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — Voi. XXXVII . - s. 363-370 . : "...Tämä ei sinänsä edusta determinanttia, vaan on ikään kuin matriisi, josta voimme muodostaa erilaisia determinanttijärjestelmiä..."
↑ Kleiner, 2007 , … termin "matriisi" loi Sylvester vuonna 1850, s. 82.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , s. 82.
↑ Kleiner, 2007 , s. 81.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , s. 84.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria . - Moskova: Fizmatlit, 2009. - P. 511 . - 1000 kappaletta. - ISBN 978-5-9221-1139-3 .
↑ Dunford N., Schwartz J. Esipuhe ( A. G. Kostyuchenko , tieteellinen toimittaja) // Lineaariset operaattorit. - M . : Ulkomainen kirjallisuus , 1962. - S. 5-6. Funktionaalisessa analyysissä on kuitenkin useita suuria "perinteisiä" suuntauksia, jotka tähän päivään asti määrittävät suurelta osin sen kasvot. Niiden joukossa on lineaaristen operaattoreiden teoria, jota joskus kutsutaan funktionaalisen analyysin selkärangaksi.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 85.
↑ Poole, D. Lineaarinen algebra: Moderni johdanto . – 2. painos. - Belmont : Brooks/Cole, 2006. - P. [ 179 ] (sarake 1). — 714 s. — ISBN 0-534-99845-3 .
↑ Ilyin V.P. Lineaarinen algebra: Gaussista tulevaisuuden supertietokoneisiin (eng.) . Nature , 1999, nro 6 (1. kesäkuuta 1999). Haettu 2. toukokuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 10. toukokuuta 2013.
↑ Maltsev, 1970 , s. 12.
↑ Maltsev, 1970 , s. 55-59.
↑ Prasolov, 1996 , s. 9-29.
↑ Vektoriavaruus - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . Kadets M.I.

Kirjallisuus

Bourbaki . Lineaarinen ja multilineaarinen algebra // Esseitä matematiikan historiasta / I. G. Bashmakova (käännetty ranskasta). - M . : Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1963. - S. 73-86. — 292 s. — (Matematiikan elementit).
Gantmakher F. R. Matriisiteoria. - M.: Nauka, 1966.
Gel'fand I.M. Luennot lineaarisesta algebrasta . - 5., korjattu. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 320 s. -5000 kappaletta. kopio. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Lineaariset rakenteet // Polut ja labyrintit. Esseitä matematiikan historiasta = Routes et dédales / Ranskan kielestä kääntänyt A. A. Bryadinskaya, toimittanut I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 s. — (Moderni matematiikka. Suosittu sarja). – 50 000 kappaletta.
Israel Kleiner. Lineaarisen algebran historia // Abstraktin algebran historia . - Boston : Birkhäuser, 2007. - P. 79-89 . - 168 p. — ISBN 978-0-8176-4684-4 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4685-1_5 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineaarinen algebra ja geometria. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Maltsev AI Lineaarisen algebran perusteet. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.
Postnikov M. M. Lineaarinen algebra (geometrian luentoja. Lukukausi II). - 2. — M .: Nauka , 1986. — 400 s.
Prasolov VV Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet. - M .: Nauka, 1996. - 304 s. - (Fizmatlit). - ISBN 5-02-014727-3 .
Streng G. Lineaarinen algebra ja sen sovellukset. — M .: Mir , 1980. — 454 s.
Faddeev D.K. Luennot algebrasta. - 5. - Pietari. : Lan , 2007. - 416 s.
Halmos P. Äärillisulotteiset vektoriavaruudet. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineaarinen algebra ja geometria. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX527736 BNF : 11937509n GND : 4035811-2 J9U : 987007293931805171 LCCN : sh85003441 LNB : 000082525 NDL : 00570681 NKC : ph122353

Matematiikan alat

Portaali "Tiede"

Matematiikan perusteet joukko teoria matemaattinen logiikka logiikan algebra

Lukuteoria ( aritmetiikka )

Algebra
Algebra	Yhtälön ratkaisu
Lineaarialgebra	Vektorilaskenta matriiseja Tensorilaskenta Multilineaarinen algebra
Yleisalgebra	Kommutatiivinen algebra Edustusteoria Differentiaalialgebra Homologinen algebra Yleisalgebra Luokkateoria

Analyysi
Klassinen analyysi	Differentiaalilaskenta Integraalilaskenta
Funktion teoria	Harmoninen analyysi Quaternion Analysis Monimutkainen analyysi mittateoria Reaalimuuttujan funktioiden teoria toiminnallinen analyysi Variaatiolaskelma
Differentiaali- ja integraaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät ja ergodinen teoria Differentiaaliyhtälöt tavallinen osittaisissa johdannaisissa Integraaliyhtälöt
Vektorianalyysi Globaali analyysi Katastrofi teoria Mukautettu analyysi Sujuva äärettömän pieni analyysi

Geometria ja topologia
Geometria	Algebrallinen geometria Analyyttinen geometria Euklidinen geometria Ei-euklidinen geometria Planimetria Stereometria
Topologia	Yleinen topologia Algebrallinen topologia Differentiaaligeometria ja topologia

Diskreetti matematiikka
Kombinatoriikka graafiteoria

Sovellettu matematiikka
Matemaattinen fysiikka Matemaattinen kemia matemaattinen biologia Matemaattiset tilastot Matemaattinen mallinnus Algoritmien teoria Numeeriset menetelmät matemaattinen taloustiede talousmatematiikka Todennäköisyysteoria Toimintatutkimus Peliteoria

Portaali "Matematiikka"
Luokka "Matematiikka"