Algebra Clifford

Clifford-algebra on erityinen assosiatiivinen yksikköalgebra jonkin kommutatiivisen renkaan ( on vektoriavaruuden tai yleisemmin vapaan moduulin) yli, jossa jokin operaatio ["kertoja"] osuu yhteen bilineaarisen muodon kanssa, joka on annettu . $Cl(E, Q(,))$ $K$ $E$ $K$ $E$ $K$

Konstruktion merkitys on avaruuden E ⊕ K assosiatiivinen laajennus ja kertolaskuoperaatio siinä siten, että jälkimmäisen neliö osuu yhteen annetun neliömäisen muodon Q kanssa. Ensin tarkasteli Clifford . Clifford-algebrat yleistävät kompleksiluvut , parakompleksiluvut ja kaksoisluvut , myös kaksikompleksiluvut , kvaternionit jne.: niiden perhe kattaa tyhjentävästi kaikki assosiatiiviset hyperkompleksiluvut .

Muodollinen määritelmä

Olkoon kommutatiivinen rengas identiteetillä , vapaa K - moduuli ja neliömuoto muodossa . Toisen muodon (tai parin ) Clifford-algebra on tensorialgebran osamääräalgebra , -moduuli kaksipuolisella ideaalilla , jonka muodostavat muodon elementit $K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $(E, Q)$ $Cl(E, Q)$ $T(E)$ $K$ $E$

x\otimes xQ(x)1,~~x\in E

Elementit (vektorit) kohteesta , jotka ovat 1. sijan tensoreja , katsotaan myös elementiksi , ja vastaava kuvaus on moduulien monomorfismi (upotus): $E$ $Cl(Q)$

E \hookrightarrow Cl(Q)

Kommentti

Jos on reaali- tai kompleksilukukenttiä, niin - lineaarista avaruutta ja laatuna käytetään tällaiselle avaruudelle ominaista skalaarituloa . $K$ $E$ $K(,)$

Esimerkkejä todellisista ja kompleksisista algebroista

Ominaisuudet

Clifford-algebroiden pääidentiteetti: jos renkaan K ominaisuus ei ole yhtä suuri kuin kaksi , niin mille tahansa : $x, y \ in E$ $xy+yx=2\left\langle x,y\right\rangle$

missä on neliömuotoa Q vastaava symmetrinen bilineaarinen muoto :

\left\langle ,\right\rangle

\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left(Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)

ilmaisua kutsutaan

antikommutaattoriksi ja .

{\näyttötyyli [x,y]:=xy+yx}

x

y

Nolla neliömuodossa algebra on sama kuin -moduulin ulkoinen algebra . $K$ $Cl(E,Q)$ $\lambda(E)$ $K$ $E$
Olkoon jokin perusta -moduuli , sitten muodon elementit $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $K$ $E$ $1, e_{j_1}e_{j_2}\dots e_{j_k}\ (j_1<\pisteet<j_k,$ kaikille k :lle 1 - n ) tai muuten: missä muodostavat -moduulin perustan . Erityisesti on ilmainen arvomoduuli (ulottuvuus) $e_1^{\sigma_1}e_2^{\sigma_2}\dots e_n^{\sigma_n}$ $\sigma_j = 0,1$ $K$ $Cl(Q)$ $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$
- Jos lisäksi ovat ortogonaalisia suhteessa , niin se voidaan määritellä -algebraksi generaattoreilla ja määrittelevillä suhteilla , ( ) ja . $e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}$ $K$ $Cl(Q)$ $K$ $1,e_1,e_2,\pisteet,e_n$ $e_i e_j + e_j e_i = 0$ $i\not=j$ $e_i^2= Q(e_i,e_i)$
Clifford-algebrassa on Z 2 - luokittelu . Erityisesti :n parillisen määrän alkioiden tuloilla generoitu alimoduuli in , muodostaa aligebran in , jota merkitään . $Cl(Q)$ $E$ $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
Olkoon kenttä ja neliömuoto on ei- degeneroitunut $K$ $K(,)$
- silloin jopa n :lle algebra on keskeinen yksinkertainen algebra dimensiolla , osaalgebra on erotettavissa ja sen keskustassa on ulottuvuus 2 yli . $Cl(Q)$ $K$ $2^{n}$ $Cl^+(Q)$ $K$
Jos on algebrallisesti suljettu , niin $K$
- sillä jopa n on
matriisialgebra , a on kahden matriisialgebran tulo, $Cl(Q)$ $Cl^+(Q)$
sillä pariton n päinvastoin on matriisi ja kahden matriisialgebran tulos. $Cl^+(Q)$ $Cl(Q)$

Clifford-algebroiden matriisiesitykset

Diracin yhtälö on tärkeä esimerkki CL_3,1(ℝ) -esitysten soveltamisesta, joita ettore Majorana tutki ensimmäisenä .

Kirjallisuus

H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. spin geometria. – 1989.
Lounesto, Pertti (2001), Clifford-algebrat ja spinorit , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 ( arkistoitu 4. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa )
Ian R. Porteous "Clifford-algebrat ja klassiset ryhmät" Cambridge, CUP , 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
R. Jagannathan (2010), " Yleistetyistä Clifford-algebroista ja niiden fyysisistä sovelluksista Arkistoitu 29. marraskuuta 2014 Wayback Machinessa "