Karakterisointi (algebra)

Ominaisuus on numeerinen arvo, jota käytetään yleisalgebrassa kuvaamaan tiettyjä renkaiden tai kenttien ominaisuuksia .

Renkaan ominaisuus on pienin kokonaisluku siten, että jokaiselle elementille yhtälö pätee: $R$ ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R$ $n>0$ $r\in R$

n\cdot r=\alleviivamerkki {r+\cdots +r}_{n}=0

ja jos tällaista numeroa ei ole, niin . ${\mathhop {{\mathrm {char}}}}R=0$

Jos renkaassa on yksikkö , ominaisuus voidaan määritellä pienimmäksi nollasta poikkeavaksi luonnolliseksi luvuksi siten, että , mutta jos sellaista ei ole, ominaisuus on yhtä suuri kuin nolla. $R$ $n$ $n\cdot 1=0$ $n$

Kokonaislukurenkaan ominaisuudet , rationaalilukujen kenttä , todellisten lukujen kenttä , kompleksilukujen kenttä ovat nolla. Jäännösrenkaan ominaisuus on . Piirrellisen kentän ominaisuus , jossa on alkuluku, on positiivinen kokonaisluku, on yhtä suuri kuin . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $n$ ${\mathbb {F}}_{{p^{m}}}$ $s$ $m$ $s$

Triviaali rengas , jossa on yksi elementti, on ainoa rengas, jolla on ominaisuus . $0=1$ $yksi$

Jos ei-triviaalirenkaalla, jolla on yksikkö ja jossa ei ole nollajakajia , on positiivinen ominaisuus , se on alkuluku. Siksi minkä tahansa kentän ominaisuus on joko , tai alkuluku . Ensimmäisessä tapauksessa kenttä sisältää alikenttänä rationaalilukujen kentän kanssa isomorfisen kentän , toisessa tapauksessa kenttä sisältää alikenttänä kentän, joka on isomorfinen jäännöskentän kanssa . Molemmissa tapauksissa tätä alikenttää kutsutaan yksinkertaiseksi kenttään (joka sisältää ). $n$ $K$ $0$ $s$ $K$ $\mathbb {Q}$ $K$ $\mathbb {F} _{p}$ $K$

Äärillisen kentän ominaisuus on aina positiivinen, mutta se, että kentän ominaisuus on positiivinen, ei tarkoita, että kenttä olisi äärellinen. Vastaesimerkkeinä voidaan mainita rationaalisten funktioiden kenttä kertoimilla in ja kentän algebrallinen sulkeminen . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p}$

Jos on alkuominaisuuden kommutatiivinen rengas , niin kaikille , . Tällaisille renkaille voidaan määritellä Frobenius-endomorfismi . $R$ $s$ $(a+b)^{{p^{n}}}=a^{{p^{n}}}+b^{{p^{n}}}$ $a, b\in R$ $n\in \mathbb {N}$

Kirjallisuus

Lidl R., Niederreiter G. Rajalliset kentät: 2 osassa T. 1. Per. englannista. - M.: Mir, 1988.
Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. - M.: Nauka, 1977.
Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra: Oppikirja. 2 osassa T. 2. - M .: Helios ARV, 2003.