Rengas (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Rengas (myös assosiatiivinen rengas ) yleisalgebrassa on algebrallinen rakenne , jossa on määritelty palautuvan yhteenlasku- ja kertolaskuoperaatio , ominaisuuksiltaan samanlainen kuin vastaavilla lukuoperaatioilla . Yksinkertaisimpia esimerkkejä renkaista ovat lukukokoelmat ( kokonaisluku , reaaliluku , kompleksi ), tietylle joukolle määriteltyjen numeeristen funktioiden kokoelmat. Kaikissa tapauksissa on olemassa joukko, joka on samanlainen kuin lukukokoelmat siinä mielessä, että sen elementtejä voidaan lisätä ja kertoa, ja nämä operaatiot käyttäytyvät luonnollisesti [1] .

Kerto- ja yhteenlaskuoperaatioiden yleisten ominaisuuksien, niiden sisäisen yhteyden tutkimiseksi keskenään, riippumatta niiden elementtien luonteesta, joille operaatiot suoritetaan, otettiin käyttöön renkaan käsite [2] .

Renkaat ovat rengasteorian pääasiallinen tutkimuskohde - yleisen algebran pääosa, jossa on kehitetty työkaluja, jotka ovat löytäneet laajan sovelluksen algebrallisessa geometriassa , algebrallisessa lukuteoriassa , algebrallisessa teoriassa $K$ ja invarianttiteoriassa .

Historia

Algebran nopea kehitys tieteenä alkoi 1800-luvulla. Yksi lukuteorian päätehtävistä 1860- ja 1870-luvuilla oli jaotuvuusteorian rakentaminen algebrallisten lukujen yleisillä aloilla . Ratkaisun tähän ongelmaan julkaisi Richard Dedekind ("X Täydennys luentoihin Dirichlet-lukujen teoriasta", 1871). Tässä työssä käsiteltiin ensin lukukentän kokonaislukurenkaan käsitettä , tässä yhteydessä määriteltiin moduulin ja ihanteen käsitteet [3] .

Määritelmä

Rengas on joukko , jolle on annettu kaksi binaarioperaatiota : ja (kutsutaan yhteen- ja kertolaskuksi ), joilla on seuraavat ominaisuudet, jotka pätevät mille tahansa : $R$ $+$ $\ajat$ $a, b, c \in R$

$a + b = b + a$ — summauksen kommutatiivisuus ;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - lisäyksen assosiatiivisuus ;
$\exists 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ - neutraalin elementin olemassaolo lisäyksen suhteen;
$\kaikki a\in R\;\olemassa b\in R\left(a+b=b+a=0\oikea)$ - vastakkaisen elementin olemassaolo lisäyksen suhteen;
$(a \times b) \times c=a \times (b \times c)$ — kertolaskujen assosiatiivisuus;
$\left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{matrix}}\right.$ - jakelukyky .

Toisin sanoen rengas on universaali algebra , joka on Abelin ryhmä yhteenlaskussa , puoliryhmä kertolaskussa ja kaksipuolinen distributiivinen suhteessa . $\vasen(R,+,\times\oikea)$ $+$ $\ajat$ $\ajat$ $+$

Sormuksissa voi olla seuraavat lisäominaisuudet:

yksikön läsnäolo : ( rengas yksiköllä ), yleensä yksikköä merkitään 1; $\exists e \in R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$
kertolasku kommutatiivisuus : ( kommutatiivinen rengas ); $\kaikki a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$

Joskus rengas ymmärretään vain renkaana , jossa on yksikkö [4] (eli sen on oltava monoidi ), mutta tutkitaan myös renkaita ilman yksikköä (esim. parillisten lukujen rengas on kommutoiva assosiatiivinen rengas ilman yksikköä [5] ). $\left(R,\times \right)$

Symbolin sijasta käytetään usein symbolia (tai se jätetään pois kokonaan). $\ajat$ $\cdot$

Yksinkertaisimmat ominaisuudet

Seuraavat ominaisuudet voidaan päätellä suoraan rengasaksioomista:

renkaan lisäyksen suhteen neutraali elementti on ainutlaatuinen;
mille tahansa renkaan elementille sen lisäksi käänteinen elementti on ainutlaatuinen;
kertomassa oleva neutraali elementti, jos sellainen on, on ainutlaatuinen;
$a\cdot 0 = 0,$ eli 0 on kertomalla absorboiva elementti;
$(-b) = (-1) \cdot b,$ missä on alkio käänteinen summalle ; $(-b)$ $b$
$(-a) \cdot b = (-ab);$
$(-a) \cdot (-b) = (ab).$ [6] [5]

Peruskäsitteet

Rengaselementtien tyypit

Olkoon renkaassa muita elementtejä kuin nolla (rengas ei ole triviaali ). Tällöin vasen nollan jakaja on renkaan nollasta poikkeava alkio, jolle on olemassa nollasta poikkeava renkaan alkio siten, että oikea nollan jakaja määritellään samalla tavalla. Kommutatiivisissa renkaissa nämä käsitteet ovat samat. Esimerkki: Tarkastellaan jatkuvien funktioiden rengasta intervallilla. Olkoon sitten , että ne ovat nollajakajia. Tässä ehto tarkoittaa, että se on muu funktio kuin nolla, mutta ei tarkoita, että se ei ota arvoa missään [7] $a$ $R,$ $b$ $R$ $ab=0.$ $(-yksitoista).$ $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ $f, g$ $f\ne0$ $f$ $f$ $0.$

Nilpotentti elementti on sellainen elementti , että jollekin Esimerkki: matriisi Nilpotentti elementti on aina nollan jakaja (ellei rengas koostu yhdestä nollasta), päinvastoin ei yleensä pidä paikkaansa [8] . $a,$ $a^n = 0$ $n > 0.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr).$

Idempotentti elementti on sellainen elementti, jossa esimerkiksi mikä tahansa projektiooperaattori on idempotentti , erityisesti seuraava: matriisirenkaassa [9] $e$ $e\cdot e=e.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 1 & 0\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr)$ $2\ kertaa 2.$

If on mielivaltainen elementti renkaassa, jolla on identtisyys, niin k:n vasen käänteisalkio on sellainen, että oikea käänteisalkio määritellään samalla tavalla. Jos elementissä on sekä vasen että oikea käänteisalkio, niin jälkimmäinen osuu yhteen ja sanotaan, että sillä on käänteiselementti, joka on yksilöllisesti määritelty ja merkitty . Itse elementtiä kutsutaan käänteiseksi elementiksi. [7] $a$ $R,$ $a$ $a^{-1}_{l}$ $a^{-1}_{l}a=1.$ $a$ $a$ $a^{-1}.$

Subring

Osajoukkoa kutsutaan osajoukoksi , jos se on itse rengas suhteessa kohdassa määriteltyihin operaatioihin . Tässä tapauksessa sanotaan, että se on renkaan jatke [10] Toisin sanoen ei-tyhjä osajoukko on alirengas, jos $A\alajoukko R$ $R,$ $A$ $R.$ $R$ $A.$ $A\alajoukko R$

$A$ on renkaan additiivinen alaryhmä, eli mille tahansa $R,$ $x, y \in A: x+y, -x \in A,$
$A$ on suljettu kertolaskussa, eli mille tahansa $x, y \in A: xy \in A.$

Määritelmän mukaan alirengas ei ole tyhjä , koska se sisältää nolla-elementin . Nolla ja yksi renkaasta ovat nolla ja yksi sen alirenkaista [11] .

Aliring perii kommutatiivisuusominaisuuden [12] .

Minkä tahansa alirenkaiden joukon leikkauspiste on alirengas. Pienintä osajoukon sisältävää alirengasta kutsutaan renkaan generoivan järjestelmän generoimaksi alirenkaaksi, joka on aina olemassa, koska kaikkien sisältävien alirenkaiden leikkauspiste täyttää tämän määritelmän. [yksitoista] $E\alajoukko R$ $E,$ $E$ $R.$ $E,$

Sormuksen alirengasta, jonka identiteetillä on luotu identiteetti, kutsutaan renkaan pienimmäksi eli pääosarenkaaksi, joka sisältyy mihin tahansa renkaan alirenkaaseen [13] $R,$ $R.$ $R.$

Ihanteet

Renkaan ihanteen määritelmä ja rooli on samanlainen kuin normaalin alaryhmän määritelmä ryhmäteoriassa [14] .

Renkaan ei- tyhjää osajoukkoa kutsutaan vasemmanpuoleiseksi ideaaliksi, jos: $minä$ $R$

$minä$ on renkaan additiivinen aliryhmä , eli minkä tahansa kahden alkion summa ryhmästä kuuluu ja $minä$ $minä$ $a\in I\Rightarrow -a\in I.$

$minä$ suljetaan kertomalla vasemmalla mielivaltaisella renkaan elementillä, eli mikä tahansa on tosi . $a\minässä,$ $r\in R$ $ra\in I$

Ensimmäinen ominaisuus tarkoittaa myös, että se on suljettu kertolaskussa itsessään, joten se on alirengas. $minä$ $minä$

Oikea ideaali, joka on suljettu kertomalla oikeanpuoleisen renkaan elementillä, määritellään samalla tavalla.

Renkaan kaksipuolinen ideaali (tai vain ideaali) on mikä tahansa ei-tyhjä osajoukko, joka on sekä vasen että oikea ideaal. $R$

Myös renkaan ihanne voidaan määritellä jonkin homomorfismin ytimeksi [15] . $R$ $f:R\to R'$

Jos on renkaan elementti, niin muodon elementtijoukkoa (vastaavasti ) kutsutaan :n generoimaksi vasemmaksi (vastaavasti oikeaksi) pääideaaliksi . Jos rengas on kommutatiivinen, nämä määritelmät yhtyvät ja generoitu pääideaali merkitään Esimerkiksi kaikkien parillisten lukujen joukko muodostaa ideaalin kokonaislukujen renkaassa, tämä ideaali generoidaan elementillä 2. Voidaan osoittaa, että kaikki ideaalit kokonaislukujen renkaassa ovat pääasiallisia [16] . $x$ $R$ $Rx$ $xR$ $x$ $R$ $x,$ $(x).$

Ideaalia renkaasta, joka ei ole sama koko renkaan kanssa, kutsutaan yksinkertaiseksi , jos tämän ideaalin osamäärärenkaassa ei ole nollajakajia. Ideaalia renkaasta, joka ei ole yhtenevä koko renkaan kanssa ja joka ei sisälly mihinkään suurempaan ideaaliin, joka ei ole yhtä suuri kuin rengas, kutsutaan maksimaaliksi [17] .

Homomorfismi

Rengashomomorfismi (rengashomomorfismi) on kuvaus, joka säilyttää yhteen- ja kertolaskuoperaatiot. Nimittäin renkaasta renkaaseen homomorfismi on sellainen funktio , että $R$ $S$ $f:R\to S,$

$f(a + b) = f(a) + f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R$ .

Kun kyseessä ovat renkaat, joilla on identtisyys, myös ehdot [18] [19] vaaditaan joskus . $f(1) = 1$

Rengashomomorfismia kutsutaan isomorfismiksi, jos on olemassa käänteinen rengashomomorfismi. Mikä tahansa bijektiivinen rengashomomorfismi on isomorfismi. Automorfismi on homomorfismia renkaasta itseensä, joka on isomorfismi. Esimerkki: renkaan identiteettikartoitus itseensä on automorfismi [20] .

Jos on rengashomomorfismi, katoavien elementtien joukkoa kutsutaan ytimeksi (merkitty merkillä ). Minkä tahansa homomorfismin ydin on kaksipuolinen ideaali [21] . Toisaalta kuva ei ole aina ideaali, vaan se on alirengas [15] (merkitty merkillä ). $f:R\to S$ $R,$ $f$ $\mathrm{ker} f$ $f$ $S$ $\mathrm{im}f$

Factor ring

Osamäärärenkaan määritelmä ideaalilla on samanlainen kuin osamääräryhmän määritelmä . Tarkemmin sanottuna renkaan osamäärä rengas kaksipuolisella ideaalilla on joukko additiivisen ryhmän kosetit additiivisen alaryhmän mukaan seuraavilla operaatioilla: $R$ $minä$ $R$ $minä$

${\näyttötyyli (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$ ,
${\näyttötyyli (a+I)(b+I)=(ab)+I}$ .

Samoin kuin ryhmien tapauksessa, on olemassa kanoninen homomorfismi , jonka antaa . Ydin on ihanteellinen . $p: R \ to R/I$ $x \mapsto x + I$ $minä$

Ryhmähomomorfismilauseen tapaan on olemassa rengashomomorfismilause: olkoon sitten isomorfinen osamäärärenkaaseen homomorfismin ytimen suhteen [22] . $f:R\to R',$ $\mathrm{Im}f$ $\mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f$

Jotkut erikoisluokat sormuksista

Rengasta, jossa on yksikkö ja jossa jokainen nollasta poikkeava elementti on käännettävä, kutsutaan renkaaksi [23] . $1\neq 0$
Kommutatiivista kappaletta kutsutaan kentällä [24] ; toisin sanoen kenttä on kommutatiivinen rengas identiteetillä, jolla ei ole ei-triviaaleja ihanteita [8] [25] .
Kommutatiivista rengasta ilman nollajakajia kutsutaan eheysalueeksi (tai integraalirenkaaksi) [26] . Mikä tahansa kenttä on eheysalue, mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa [27] .
Integraalirengasta , joka ei ole kenttä, kutsutaan euklidiseksi , jos renkaaseen annetaan normi , joka: $R$ ${\displaystyle N\colon R\to Z_{+))$
1. kaikille nollasta poikkeaville on totta, että ; $a, b \in R$ $N(a)\leq N(ab)$
2. mille tahansa nollasta poikkeavalle nollalle on olemassa sellainen, että ja tai
[26] . $a, b \in R$ $q,r \in R$ $a = qb + r$ $r = 0$ $N( r ) < N(b)$
Integraalirengasta, jossa jokainen ihanne on pääasiallinen, kutsutaan pääihanteiden renkaaksi ; jokainen euklidinen rengas ja jokainen kenttä ovat pääideaalirenkaita [12] .
Rengasta, jonka alkiot ovat numeroita ja jonka toiminnot ovat lukujen yhteen- ja kertolasku , kutsutaan numerorenkaaksi , esimerkiksi parillisten lukujen joukko on lukurengas, mutta mikään negatiivisten lukujen järjestelmä ei ole rengas, koska niiden tulo on positiivinen [28] .

Esimerkkejä

$\{0\}$ on triviaalirengas, joka koostuu yhdestä nollasta. Tämä on ainoa rengas, jossa nolla on kertova ykkönen [5] . Tätä triviaalia esimerkkiä on hyödyllistä pitää renkaana kategoriateorian näkökulmasta , koska tässä tapauksessa renkaiden luokkiin syntyy pääteobjekti .
$\mathbb {Z}$ - kokonaisluvut (tavallisilla yhteen- ja kertolaskuilla). Tämä on tärkein esimerkki renkaasta, koska mitä tahansa rengasta voidaan pitää algebrana yli . Se on myös lähtökohde yksikkörenkaiden Ring - kategoriassa . [29] [30] $\mathbb {Z}$
$\mathbb {Z} _{n}$ on äärellinen jäännösrengas modulo luonnollinen luku n . Nämä ovat klassisia esimerkkejä lukuteorian renkaista. Jäännösrengas on kenttä silloin ja vain jos n on alkuluku . [31] Vastaavat kentät ovat lähtökohta äärellisten kenttien teorialle . Jäännösrenkaat ovat tärkeitä myös äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien rakenteen tutkimuksessa , ja niitä voidaan käyttää myös p -adic-lukujen muodostamiseen .
$\mathbb {Q}$ on rationaalilukujen rengas , joka on kenttä. Tämä on ominaisuuden 0 yksinkertaisin kenttä . Se on lukuteorian pääasiallinen tutkimuskohde. Sen täydentäminen erilaisten ei-ekvivalenttien normien mukaan antaa reaalilukujen ja p -adic-lukujen kentät, joissa p on mielivaltainen alkuluku [32] . $\mathbb {R}$ $\Q_p,$
Mielivaltaiselle kommutatiiviselle renkaalle voidaan rakentaa polynomirengas n muuttujasta ja kertoimet kohdassa [11] Erityisesti polynomirengas kokonaislukukertoimilla on universaali polynomirengas siinä mielessä, että kaikki polynomirenkaat ilmaistaan tensorina tuote : $R$ $R[x_1,x_2,\pisteet,x_n]$ $R.$ $R[x][y]=R[x,y].$ $R[x_1,\pisteet,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right).$
Joukon osajoukkojen rengas on rengas, jonka elementit ovat osajoukkoja . Yhteenlaskuoperaatio on symmetrinen ero , ja kertolasku on joukkojen leikkauspiste : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setmiinus B ) \kuppi (B \setmiinus A),

A \cdot B = A \cap B.

Rengasaksioomit on helppo tarkistaa. Nollaelementti on tyhjä joukko, yksikkö on kaikki. Kaikki renkaan elementit ovat idempotentteja, eli mikä tahansa elementti on sen käänteinen lisäksi: Osajoukkojen rengas on tärkeä Boolen algebroiden ja mittateorian teoriassa , erityisesti todennäköisyysteorian rakentamisessa [5] .

x.

A\cdot A = A.

A+A=0.

Rakennukset

Suora tuote

Sormusten tuote ja voidaan varustaa luonnollisella rengasrakenteella: mille tahansa , : $R\ kertaa S$ $R$ $S$ $r_1,r_2\in R$ $s_{1},s_{2}\in S$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

Samanlainen rakenne on olemassa mielivaltaisen rengasperheen tulolle (lisäys ja kertolasku annetaan komponenttikohtaisesti) [33] .

Olkoon kommutatiivinen rengas ja olla siinä pareittain koprime-ideaalit (ihanteiksi kutsutaan koprimeiksi, jos niiden summa on yhtä suuri kuin koko rengas). Kiinan jäännöslauseen mukaan kartoitus: $R$ $\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n$

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a }_n)

on surjektiivinen, ja sen ydin on ( ihanteiden tuote, ihanteiden leikkauspiste ) [ 18] . $\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i$

Endomorfismirengas

Abelin ryhmän endomorfismien joukko muodostaa renkaan, jota merkitään . Kahden endomorfismin summa määritellään komponenttikohtaisesti: , ja tuote määritellään koostumukseksi: . Jos on ei-abelilainen ryhmä, niin yleisesti ottaen ei ole yhtä suuri kuin , kun taas renkaan lisäyksen on oltava kommutatiivista [34] . ${\näyttötyyli (A,+)}$ $\operaattorin nimi {Loppu} (A)$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=f(g(x))$ ${\näyttötyyli (A,+)}$ $f+g$ $g+f$

Yksityisten kenttä ja yksityisten kehä

Integraalirenkaalle on olemassa rakenne, jonka avulla voidaan rakentaa pienin sen sisältävä kenttä . Osarenkaiden kenttä on joukko muodollisten murtolukujen ekvivalenssiluokkia seuraavan ekvivalenssisuhteen mukaisesti : $R$ $R$ $p/q,\; p,q\in R$

{p_1 \over q_1}\sim {p_2 \over q_2}

jos ja vain jos

{p_1q_2}={p_2q_1},

normaaleissa toiminnoissa: ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

Ei ole aivan ilmeistä, että annettu relaatio todella on ekvivalenssirelaatio: todistuksessa on käytettävä renkaan eheyttä. Tämä rakenne on yleistetty mielivaltaisiin kommutatiivisiin renkaisiin. Nimittäin multiplikatiivisesti suljettu järjestelmä kommutatiivisessa renkaassa (eli osajoukko, joka sisältää yhden mutta ei sisällä nollaa; minkä tahansa kahden alkion tulo osajoukosta kuuluu taas siihen). Tällöin osamäärän rengas on joukko muodollisten murtolukujen ekvivalenssiluokkia suhteessa ekvivalenssisuhteeseen: $S$ $R$ $S^{-1}R$ $r/s,\; r\in R, s\in S$

{r_1 \over s_1}\sim {r_2 \over s_2}

jos ja vain jos sellainen on olemassa

s'\in S

s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1)))=0.

Tätä rakennetta kutsutaan myös renkaan lokalisoinniksi (koska algebrallisessa geometriassa sen avulla voidaan tutkia moniston paikallisia ominaisuuksia sen yksittäisessä pisteessä). Esimerkki: desimaaliluku - kokonaislukujen renkaan lokalisointi kertolaskujärjestelmän mukaan $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

On luonnollinen kartoitus Sen ydin koostuu sellaisista elementeistä , joille on olemassa sellainen, että . Erityisesti integraalirenkaalle tämä kartta on injektiivinen [35] [36] . $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ $r$ $s\in S$ $rs=0$

Kategorinen kuvaus

Sormukset yhdessä rengashomomorfismien kanssa muodostavat luokan , jota yleensä merkitään (joskus renkaiden luokkaa, joilla on yksikkö, merkitään tällä tavalla ja tavallisten renkaiden luokkaa merkitään ). Yksikkörenkaiden luokassa on monia hyödyllisiä ominaisuuksia: erityisesti se on täydellinen ja täysin valmis . Tämä tarkoittaa, että siinä on kaikki pienet rajat ja kolimitit (esimerkiksi tuotteet , sivutuotteet , ytimet ja koksiytimet ). Yksiköllä varustettujen renkaiden luokassa on alkuobjekti (rengas ) ja pääteobjekti (nollarengas). $\mathbf {Ring}$ ${\mathbf {Rng}}$ $\mathbb {Z}$

Renkaalle voidaan antaa seuraava kategorinen määritelmä: assosiatiivinen rengas, jossa on yksikkö, on monoidi Abelin ryhmien kategoriassa ( Abelin ryhmät muodostavat monoidiluokan tensoritulooperaation suhteen ). R - renkaan toiminta Abelin ryhmään ( monoidiksi kertomalla käsitelty rengas ) muuttaa Abelin ryhmän R - moduuliksi . Moduulin käsite yleistää vektoriavaruuden käsitteen : karkeasti sanottuna moduuli on "vektoriavaruus renkaan päällä". [29] [30]

Sormusten erikoisluokat

Yleistykset - ei-assosiatiivinen rengas , semiring , lähellä rengasta .

Rakenteet renkaiden päällä

Muistiinpanot

↑ Vinberg, 2011 , s. 17-19.
↑ Belsky A., Sadovsky L. Sormukset // Kvant . - 1974. - Nro 2 .
↑ Erich Reck. Dedekindin panokset matematiikan perusteisiin // The Stanford Encyclopedia of Philosophy / Edward N. Zalta. – 1.1.2012. Arkistoitu alkuperäisestä 2. joulukuuta 2013.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 , s. 9.
↑ 1 2 3 4 Vinberg, 2011 , s. 18-19.
↑ Kurosh, 1968 , s. 273-275.
↑ 1 2 Van der Waerden, 1975 , s. 51-53.
↑ 1 2 Atiyah, Macdonald, 1972 , s. yksitoista.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 359.
↑ Vinberg, 2011 , s. 407.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , s. 110-111.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , s. 21.
↑ Kulikov, 1979 , s. 437.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 64.
↑ 1 2 Feis, 1977 , s. 153.
↑ Kulikov, 1979 , s. 430-431.
↑ Vinberg, 2011 , s. 406.
↑ 1 2 Feis, 1979 , s. kymmenen.
↑ Vinberg, 2011 , s. 388.
↑ Kulikov, 1979 , s. 107-108.
↑ Kulikov, 1979 , s. 432.
↑ Vinberg, 2011 , s. 387-390.
↑ Vinberg, 2011 , s. 523.
↑ Kasvot, 1977 , s. 152.
↑ Kulikov, 1979 , s. 430.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , s. 118.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 .
↑ Kurosh, 1968 , s. 266.
↑ 1 2 Face, 1977 .
↑ 1 2 Face, 1979 .
↑ Vinberg, 2011 , s. 28-34.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 509-512.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 33.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 173.
↑ Van der Waerden, 1975 , s. 450-452.
↑ Kurosh, 1968 , s. 305-311.

Kirjallisuus

M. Atiyah , I. MacDonald. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M . : Mir, 1972. - 160 s.
Belsky A., Sadovsky L. Sormukset. // Kvantti nro 2, 1974.
Van der Waerden B. L. Algebra. - M .: Mir, 1975. - 623 s.
Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - Uusi painos, tarkistettu. ja muita .. - M . : MTSNMO, 2011. - 592 s.
Glazer G. I. Matematiikan historia koulussa: IX-X luokka. Opettajan opas - Uusi painos, tarkistettu. ja muita .. - M . : Koulutus, 1983. - 351 s.
1800-luvun matematiikka. Matemaattinen logiikka. Algebra. Numeroteoria. Todennäköisyysteoria / Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (toim.). - M .: Nauka, 1978. - 255 s.
Kulikov L. Ya. Algebra ja lukuteoria: Proc. käsikirja pedagogisille oppilaitoksille. - M . : Korkeampi. koulu, 1979. - 559 s.
Kurosh A. G. Korkeamman algebran kurssi .. - M . : Nauka, 1968. - 431 s.
Kasvot K. Algebra. Sormukset, moduulit, luokat. - M . : Mir, 1977. - T. 1. - 688 s.
Kasvot K. Algebra. Sormukset, moduulit, luokat. - M . : Mir, 1979. - T. 2. - 464 s.
Herstein I. Ei-kommutatiiviset renkaat. - M . : Mir, 1972. - 190 s.

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX531097 BNF : 131630283 GND : 4128084-2 J9U : 987007538867405171 LCCN : sh85114140 NKC : ph126754