Euklidinen rengas

Euklidinen rengas on yleinen algebrallinen rengas , jossa on euklidisen algoritmin analogi .

Määritelmä

Euklidinen rengas on eheysalue , jolle on määritelty euklidinen funktio ( euklidinen normi ) siten, että jako on mahdollista normin jäännöksellä, joka on pienempi kuin jakaja, eli jokaiselle on esitys , jolle tai [ 1] . $R$ $d \colon R \setminus \{ 0 \} \to \mathbb N_0$ $a,b\in R,\, b\ne 0$ $a=bq+r$ $d(r)<d(b)$ $r = 0$

Lisärajoitus

Usein euklidiselle normille asetetaan lisärajoitus : kaikille nollasta poikkeaville ja renkaasta . Jos sille annetaan normi, joka ei täytä tätä ehtoa, se voidaan korjata määrittelemällä uudelleen: $d(a)\leqslant d(ab)$ $a$ $b$ $R$ $R$

d'(a) = \min_{x\in R\setminus\{0\}} d(ax)

Tällainen normi tyydyttää halutun epäyhtälön, mutta edellinen jakoalgoritmi jakojäännöksellä vaatii korjauksen ( ja jaetaan jäännöksellä: , missä ja , ja koska määritelmästä seuraa , haluttu esitys saadaan :lla ). $x\in R$ $d'(b) = d(bx)$ $kirves$ $bx$ $ax = bxq' + r'x$ $r' = a - bq'$ $d(r'x)<d(bx)=d'(b)$ $d'(r')\leqslant d(r'x)$ $a = bq' + r'$ $d'(r')<d'(b)$

Tällaisella normilla ei ole niin paljon etuja - kaikilla käännettävillä elementeillä on sama normiarvo ja kaikkien (äärellisten) elementtien minimi, elementin oikeilla jakajilla on pienempi normiarvo, ja se myös yksinkertaistaa suoraa todistetta Euklidisten renkaiden faktoriaalisuus (ilman viittausta päärenkaiden faktoriaalisuuteen) ihanteet , joiden todistaminen edellyttää transfiniittisen induktion käyttöä ). Mutta euklidisten renkaiden perusominaisuudet pysyvät voimassa myös ilman tätä lisäominaisuutta. $a$

Esimerkkejä

Kokonaislukujen rengas . Esimerkki euklidisesta funktiosta on itseisarvo . $\mathbb {Z}$ $|\cdot|$
Gaussin kokonaislukujen rengas (missä on imaginaariyksikkö , ) normin kanssa on euklidinen. ${\mathbb {Z}}[i]$ $i$ $i^{2}=-1$ $d(a+ib) = a^2 + b^2$
Satunnainen kenttä on euklidinen rengas, jonka normi on 1 kaikille elementeille paitsi 0. $K$
Polynomien rengas yhdessä muuttujassa kentän päällä . Esimerkki euklidisesta funktiosta on asteaste. $K[x]$ $K$
Muodollisten potenssisarjojen rengas kentän päällä on euklidinen rengas. Potenssisarjan normi on sen ensimmäisen nollasta poikkeavan kertoimen numero. $K[[x]]$ $K$
- Yleisemmin sanottuna mikä tahansa paikallinen rengas on euklidinen, jos siinä oleva maksimiideaali
on prinsiaali ja sen kaikkien potenssien leikkauspiste koostuu vain nollasta. Käännettävän elementin normi on 0, irreversiibelin nollasta poikkeavan yksi - maksimiideaalin maksimiaste , joka sisältää annetun elementin.

Funktioiden rengas, jotka ovat holomorfisia yhdistetyssä kompaktissa joukossa ( jokaisen niistä täytyy olla holomorfisia tämän kompaktin joukon jossain naapurustossa; kahta tällaista funktiota pidetään yhtäläisinä, jos ne ovat yhteneväisiä jossain naapurustossa ) on myös euklidinen. Nollasta poikkeavan funktion normi on nollien lukumäärä (ottaen huomioon monikerroin), jonka se ottaa .

H(K)

K

\mathbb {C}

H(K)

K

K

Euklidisten renkaiden (jossakin renkaassa olevat alarenkaat) laskettavan leikkauspisteen ei tarvitse olla euklidinen rengas (eikä edes Noetherian tai faktoriaali ). Esimerkiksi funktioiden rengas, jotka ovat holomorfisia avoimella ympyrällä , on euklidisten funktioiden renkaiden leikkauspiste, jotka ovat holomorfisia suljetuilla ympyröillä , jotka sisältyvät sisällään , mutta se ei ole vastaavasti noeterilainen eikä faktoriaalinen eikä ei-euklidinen.

H(\mathbb D)

\mathbb D

H(K)

K

\mathbb D

Euklidisen renkaan fraktioiden rengas kertoimilla on myös euklidinen. Murto-osan normi kohteesta otetaan:

S^{-1}R

R

S

x

S^{-1}R

d_S(x) = \min\{d_R(u):\,(u,s)\in R\times S, \, x=u/s\},

missä on euklidinen normi , ja on normi .

DR

R

d_S

S^{-1}R

Jako jäännösjäännöksellä määritellään seuraavasti: olkoon kaksi nollasta poikkeavaa murtolukua ja S −1 R . Normin määritelmän mukaan sisällä ja siinä on elementtejä , että ja . Jakamisen jälkeen jäännöksellä elementtien renkaassa ja - niin, että se osoittautuu ; rakentamisesta seuraa eriarvoisuutta .

x = r/t

y

S^{-1}R

u

R

s

S

y=u/s

d_S(y) = d_R(u)

R

rs

u

rs = uq + r

d_R(r')<d_R(u)

r/t = (u/s) (q/t) + r'/ts

d_S(r'/ts)\leqslant d_R(r')< d_R(u) = d_S(y)

Äärillisten desimaalilukujen rengas on euklidinen , koska se on kokonaislukujen renkaan osamäärän rengas . $\mathbb {Z}$
Kiinteänapaisen kentän rationaalifunktioiden renkaat ovat euklidisia , koska ne ovat polynomirenkaan osamäärän renkaita . $\mathbb {C}$ $\mathbb{C}[x]$

Eukleideen algoritmi

Euklidisessa renkaassa toteutamme euklidisen algoritmin kahden luvun (alkion) suurimman yhteisen jakajan löytämiseksi. Antaa aluksi annetaan kaksi elementtiä ja , ja ja . Jako jäännöksellä antaa elementin kanssa . Jos se on muu kuin nolla, voit käyttää uudelleen jakoa jäännöksellä saadaksesi elementin ja niin edelleen. Tämä luo arvoketjun . Tämä ketju kuitenkin katkeaa, koska mikä tahansa luonnollinen luku voi tiukasti ylittää vain äärellisen määrän muita luonnollisia lukuja. Tämä tarkoittaa, että joillekin jäännös on nolla, eikä yhtä suuri, se on elementtien suurin yhteinen jakaja ja . Siksi euklidisessa renkaassa euklidisen algoritmin päättyminen on taattu. Tarkkaan ottaen euklidisissa renkaissa on mahdollista toteuttaa euklidinen algoritmi. $a_{0}$ $a_{1}$ $d(a_1)\leqslant d(a_0)$ $a_1\ne0$ $a_2 = a_0 - a_1q_1$ $d(a_2)<d(a_1)$ $a_3 = a_1 - a_2q_2$ $a_0, a_1, a_2, \pisteet$ $d(a_0)>d(a_1)>d(a_2)>\pisteet$ $n$ $a_{{n+1}}$ $a_n$ $a_{0}$ $a_{1}$

Euklidisten renkaiden ominaisuudet

Euklidisessa renkaassa jokainen ihanne on pääasiallinen (erityisesti kaikki eukleidalaiset renkaat ovat Noeterilaisia ).
- Antaa olla mielivaltainen ihanne Euklidisessa renkaassa. Jos se sisältää vain , se on tärkein. Muuten sen nollasta poikkeavien elementtien joukossa on alkio , jolla on vähimmäisnormi (luonnollisten lukujen vähimmäisperiaate). Se jakaa kaikki muut ihanteen elementit: esittämällä mielivaltaisen elementin muodossa c , käy ilmi, että se on myös ihanteen elementti ja sen täytyy olla nolla, koska sen normi on pienempi kuin y . Siksi ihanne sisältyy ihanteeseen . Toisaalta jokainen ideaali, joka sisältää elementin, sisältää ideaalin , mikä tarkoittaa, että se on pääideaali. $minä$ $0$ $f$ $g \in I$ $g = fq + r$ $d(r) < d(f)$ $r$ $minä$ $f$ $minä$ $(f)$ $f$ $(f)$ $I = (f)$
Jokainen euklidinen rengas on faktoriaalinen, eli jokainen elementti voidaan esittää yksinkertaisten elementtien äärellisellä tulolla ja lisäksi yksiselitteisesti (niiden permutaatioon ja käänteisillä elementeillä kertomiseen asti). Factoriality on kaikkien tärkeimpien ihannerenkaiden yhteinen ominaisuus .
Jokainen euklidinen rengas on kiinteästi suljettu , eli jos murtoluku on polynomin juuri, jonka suurin kerroin on 1, niin se on jaollinen . Integraalinen suljettuus on kaikkien tekijärenkaiden yhteinen ominaisuus. $R$ $a/b,\,a,b\in R$ $f\in R[x]$ $a$ $b$

Euklidisen renkaan yli olevien moduulien ominaisuudet

Olkoon euklidinen rengas. Sitten äärellisesti generoiduilla -moduuleilla on seuraavat ominaisuudet: $R$ $R$

Jokainen äärellisesti generoidun -moduulin alimoduuli generoidaan äärellisesti (seuraus siitä, että rengas on Noetherian ). $N$ $R$ $M$ $R$
Alimoduulin arvo ei ylitä moduulin arvoa (seuraus ideaalin periaatteesta on rakenneteoreema äärellisesti generoiduille moduuleille pääideaalien alueille ). $N$ $M$ $R$
Vapaan -moduulin alimoduuli on myös ilmainen. $R$
Äärillisesti generoitujen -moduulien homomorfismi pelkistyy aina normaalimuotoon. Toisin sanoen on olemassa moduulin N generaattoreita (kanta, jos moduuli on vapaa) , jotka muodostavat moduulin M (kannan) , lukumäärä ja ovat elementtejä renkaassa siten, että se jakaa ja i > k , ja loput - . Lisäksi kertoimet määritetään yksilöllisesti renkaan käännettävillä elementeillä kertomiseen asti . (Se, että rengas on euklidinen, liittyy suoraan tähän ominaisuuteen .) $A\kaksoispiste N\ - M$ $R$ $u_1, u_2, \pisteet, u_n$ $v_1, v_2, \dots, v_m$ $k\leqslant \min\{m,n\}$ $a_1,\pisteet,a_k$ $R$ $a_{i}$ $a_{i+1}$ $Au_i = 0$ $Au_i = a_iv_i$ $a_1,\pisteet,a_k$ $R$ $R$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Kurosh, 1962 , s. 91.

Linkit

Weisstein , Eric W. Euklidinen rengas Wolfram MathWorldissä .
B. L. van der Waerden. Algebra. - Pietari. : Lan, 2004. - 624 s. — ISBN 5-8114-0552-9 .
Kurosh A. G. Luennot yleisalgebrasta. - M .: Fizmatlit, 1962. - 400 s.
Rodossky K. A. Euklidesin algoritmi. - M .: Nauka, 1988. - 239 s.
J. von zur Gathen, J. Gerhard. Nykyaikainen tietokonealgebra. - Cambridge University Press, 1999. - 771 s. - ISBN 0-521-82646-2 .

Joidenkin sormusluokkien sisällyttäminen kaavioon
kommutatiiviset renkaat ⊃ integraalirenkaat ⊃ tekijärenkaat ⊃ pääideaalialueet ⊃ euklidiset renkaat ⊃ kentät