Yksityisen rengas

Kommutatiivisen renkaan R (jossa on yksikkö) osamäärä S −1 R kertolaskujärjestelmän mukaan on murto -avaruus, jossa osoittajat R :stä ja nimittäjät S :stä murtoluvuille tavanomaisin aritmeettisin operaatioin ja tunnistein. $S\subset R$

Myös termiä renkaan R lokalisointi joukon S suhteen käytetään . Tämä termi tulee algebrallisesta geometriasta : jos R on funktioiden rengas algebrallisella variaatiolla V , niin tämän vaihtelun paikallisten ominaisuuksien tutkimiseksi pisteessä p otetaan yleensä huomioon joukko funktioita, jotka eivät ole yhtä suuret kuin nolla. tämä piste ja lokalisoi R :n tätä joukkoa pitkin.

Tavallinen lokalisoinnin (tai osamäärärenkaan) merkintätapa on S −1 R , mutta muita merkintöjä käytetään joissakin tapauksissa useammin. Siten, jos S on alkuideaalin I komplementti , R :n lokalisaatio merkitään R I :ksi (ja sitä kutsutaan renkaan lokalisaatioksi alkuideaalilla), ja jos S on alkion f kaikkien potenssien joukko. , käytetään merkintää R f . Kaksi viimeistä tapausta ovat perustavanlaatuisia piiriteorialle .

Määritelmä

Kertova järjestelmä renkaassa R on osajoukko S renkaassa R , joka sisältää 1:n, ei sisällä nollaa ja on kertolaskussa suljettu (renkaassa R ). Kertovassa järjestelmässä S joukko muodostaa ihanteen renkaassa R . Siinä tapauksessa, että joukko S ei sisällä renkaan R nollajakajia , ideaali koostuu vain nollasta ja järjestelmää S kutsutaan säännölliseksi. Jos R on integraalirengas , niin jokainen sen kertova järjestelmä on säännöllinen. $I_{S}=\{a\in R:\,\olemassa s\in S,\,as=0\}$ $I_{S}$

R -renkaan murto -osien renkaan alkiot kertovassa systeemissä S ovat muotoa r/s olevia muodollisia murto-osia , joissa r on mielivaltainen R :n alkio ja s on joukon S alkio . Kaksi murto -osaa ja niitä pidetään ekvivalentteina (edustavat osamäärärenkaan samaa elementtiä), jos . Yhteen- ja kertolaskuoperaatiot määritellään tavalliseen tapaan: ${\displaystyle r_{1}/s_{1))$ ${\displaystyle r_{2}/s_{2))$ ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S))$

r_{1}/s_{1}+r_{2}/s_{2}=(r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1})/s_{1}s_{2 }

r_{1}/s_{1}*r_{2}/s_{2}=r_{1}r_{2}/s_{1}s_{2}

Tarkistetaan, että jos summassa tai tulossa murtoluvut korvataan vastaavilla, uusi tulos ilmaistaan edellistä vastaavalla murto-osalla. Tällaisilla operaatioilla joukko saa yksikön sisältävän kommutatiivisen renkaan rakenteen. Sen nolla on murtoluku 0/1 , yksikkö on murtoluku 1/1 . $S^{-1}R$

Yksityinen kenttä

Jos R on eheysalue , niin kaikkien sen nollasta poikkeavien elementtien joukko muodostaa kertovan järjestelmän. Osamäärän rengas tämän järjestelmän mukaan on kenttä ja sitä kutsutaan osamääräkentällä tai relaatiokentällä , sitä merkitään yleensä Frac(R) tai Quot(R) . Kaikki osamääräkentän alkiot ovat muotoa a/b , jossa a, b ovat R :n ja b ≠ 0:n alkioita, tavanomaisilla aritmeettisilla säännöillä osoittaja- ja nimittäjävähennykselle, yhteen- ja kertolaskulle. On helppo nähdä, että osamääräkenttä on pienin kenttä, johon R voidaan upottaa . Esimerkiksi kentän osamäärän kenttä on isomorfinen itse kentän kanssa.

Sen osamääräkentässä on luonnollinen renkaan upottaminen, joka lähettää a :n a/1 :een . Renkaan R murto-osien kenttä täyttää seuraavan universaalin ominaisuuden : jos h : R → F on injektiivinen homomorfismi renkaista R :stä kenttään F , niin on olemassa ainutlaatuinen rengashomomorfismi g : Quot( R ) → F , joka on sama kuin jossa h R :n alkioissa . Tämä universaali ominaisuus voidaan ilmaista seuraavilla sanoilla: osamääräkenttä on tavallinen tapa tehdä renkaan alkioista käännettävä , osamäärän rengas on standardi tapa tehdä renkaan alkioiden osajoukko käännettäväksi .

Kategoriateorian kannalta osamääräkentän rakennetta voidaan kuvata seuraavasti. Tarkastellaan luokkaa, jonka objektit ovat integraalirenkaita ja joiden morfismit ovat injektiivinen rengashomomorfismi. Kenttien luokasta tähän luokkaan on unohdettava funktionaali (koska kaikki kenttähomomorfismit ovat injektiivisiä ) . Osoittautuu, että tällä funktorilla on vasen adjoint , ja se osoittaa integraalirenkaaseen murtokenttään.

Ominaisuudet

Murtolukurenkaalla on algebran kanoninen rakenne renkaan R päällä, koska yhdessä renkaan S −1 R kanssa renkaan R kanoninen homomorfismi S −1 R :ksi määritetään välittömästi (jokainen R : n alkio r vastaa murtolukua r/1 ). Tämän homomorfismin ydin on ihanteellinen . Jos järjestelmä S on säännöllinen (ei sisällä nollajakajia), tämä homomorfismi on injektiivinen ja rengas R on siten upotettu osamäärän renkaaseen järjestelmän S suhteen . Tässä tapauksessa murto-osa r/s on ainoa ratkaisu yhtälöön sx = r . $I_{S}$
Jos sekä alkiot r että s kuuluvat S :ään , niin rengas S −1 R sisältää murtoluvut r/s ja s/r . Niiden tuote on 1, joten ne ovat käännettävissä. Sitä vastoin jokaisella renkaan S −1 R käännettävällä elementillä on muoto er/s , missä r ja s kuuluvat S:ään ja e on renkaan R käännettävä elementti .
Jos R on euklidinen rengas , niin mikä tahansa rengas, joka on R :n ja sen fraktiokentän välissä, on renkaan R murto - osien rengas jonkin kerrannaisjärjestelmän S mukaan.
Jos järjestelmä S koostuu vain renkaan R käännettävistä elementeistä, niin renkaan R kanoninen homomorfismi S −1 R : ksi muuttuu isomorfismiksi , koska jokainen murto -osa r/s osoittautuu kumottavaksi renkaassa R .
Alkuideaalien joukon S −1 R ja alkuideaalien joukon R välillä on bijektio , jotka eivät leikkaa joukkoa S (homomorfismin R → S −1 R indusoima ). Tämän ominaisuuden tärkeä erikoistapaus: renkaan lokalisointi alkuideaalilla p antaa paikallisen renkaan , jonka ainoa alkuideaali on generoitu p :n elementtien kuvista .

Esimerkkejä

Kokonaislukujen renkaan osamäärä on rationaalisten lukujen kenttä . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$
10:n potenssit muodostavat kertovan järjestelmän. Osamäärän rengas sen suhteen on äärellisten desimaalilukujen rengas. $\mathbb {Z}$
Polynomirenkaan osamäärä kentän k yli on rationaalisten funktioiden kenttä . $k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]$ $k(X_{1},X_{2},...,X_{n})$
Parilliset luvut ovat alkuideaalin muodossa. Sen mukainen renkaan sijainti on rationaalisten murtolukujen rengas, jossa nimittäjä pelkistymättömässä muodossa on pariton luku. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
Tarkastellaan polynomirengasta k [ x ] ja f = x . Silloin R f on Laurentin polynomien rengas k [ x, x −1 ].

Yksityiset moduulit

Suunnilleen samaa rakennetta voidaan soveltaa moduuleille ja mielivaltaiselle A - moduulille M tarkastellaan osamäärän moduulia S −1 M . Eli olkoon se moduulielementtien joukko, joka on tuhottu kertomalla jollakin kertolaskujärjestelmän S alkiolla , on helppo tarkistaa, että tämä joukko on suljettu yhteen- ja kertolaskussa renkaan elementillä. Murtolukumoduuli S −1 M on muotoa m/s olevien muodollisten murtolukujen joukko ekvivalenssisuhteella , jos , tavanomaisella murtolukujen yhteenlaskuoperaatiolla ja myös kertolaskulla renkaan S − alkioilla. 1 A muotoa m/s * a/s' = am /ss' . $I_{S}$ ${\displaystyle r_{1}/s_{1}\equiv r_{2}/s_{2))$ ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}\in I_{S))$

Olkoon A -moduulien homomorfismi , se indusoi S −1 A -moduulien homomorfismin kuvaamalla m/s arvoon u(m)/s . On selvää , että eli operaatio S −1 on funktori . Lisäksi tämä funktio on tarkka . [1] Tästä seuraa, että jos on alimoduuli , niin on alimoduuli . Jos tarkastellaan tietyn moduulin kahta alimoduulia, niin S −1 :n soveltaminen niihin permutuu ottamalla moduulien summa, moduulien leikkauspiste ja osamäärämoduuli. $u:M\to N$ $S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N$ $S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v$ $M'$ $M$ $S^{-1}M'$ $S^{-1}M$

Osamäärän moduuli esitetään tensoritulon avulla: Tästä esityksestä ja lokalisointifunktion tarkkuudesta seuraa, että moduuli on tasainen . $S^{-1}M\cong S^{-1}A\otimes _{A}M.$ $S^{-1}M$

Paikalliset ominaisuudet

Renkaan A (tai A -moduulin M ) ominaisuutta P kutsutaan paikalliseksi , jos seuraavat lauseet ovat ekvivalentteja:

A: lla (vastaa M ) on ominaisuus P ,
A I :llä (vastaavasti M I ) on ominaisuus P kaikille renkaan A pääideaaleille I.

Paikallisista ominaisuuksista voidaan antaa seuraavat esimerkit: moduulin ominaisuus olla yhtä suuri kuin nolla, homomorfismin ominaisuus olla injektiivinen tai surjektiivinen (on otettava huomioon lokalisoinnin aiheuttamat homomorfismit), moduulin ominaisuus olla tasainen .

Muistiinpanot

↑ Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. – 2003.

Linkit

Atiyah M., McDonald I. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra. - T.1. - M .: IL, 1963.