Yhteistoimijat

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 8.3.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Liitännäisfunktionaaliset funktionaaliset ovat toimijapari , jotka ovat tietyssä suhteessa keskenään. Liitännäisfunktioita kohdataan usein matematiikan eri alueilla.

Epämuodollisesti funktorit F ja G ovat konjugoituja, jos ne täyttävät suhteen . Silloin F :tä kutsutaan vasemmanpuoleiseksi adjointfunktoriksi ja G :tä oikeaksi. $\mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))$

Motivaatio

Adjunktiofunktorit ovat yksi luokkateorian keskeisistä työkaluista , monia merkittäviä matemaattisia konstruktioita voidaan kuvata adjointfunktoreiksi. Seurauksena on, että monien mielenkiintoisten tulosten todisteita voi välittömästi seurata yleisistä adjointfunktorien lauseista, kuten eri määritelmien ekvivalenssista, ja siitä, että oikeanpuoleiset adjointfunktorit liikkuvat rajoilla (ja vasemmat koliiteilla).

Optimointiongelman ratkaisu

Voidaan sanoa, että adjoint-funktionaali on tapa määritellä tehokkain ratkaisu johonkin ongelmaan standardimenetelmällä. Esimerkiksi rengasteorian perusongelma on, kuinka pseudorointi (eli rengas, jolla ei ehkä ole kertovaisuutta) muutetaan renkaaksi . Tehokkain tapa tehdä tämä on lisätä renkaaseen yksi, kaikki elementit, jotka ovat välttämättömiä renkaan aksioomien tyydyttämiseksi (esimerkiksi tyypin r +1 elementit , jossa r on renkaan elementti), eikä oleta kaikki suhteet uudessa renkaassa, jotka eivät ole välttämättömiä aksioomien täyttämiseksi. Tämä rakenne on vakio siinä mielessä, että se toimii kaikissa pseudooreissa.

Yllä oleva kuvaus on hyvin epämääräinen, mutta sitä voidaan täsmentää luokkateorian kieltä käyttämällä: konstruktio on " tehokkain ", jos se täyttää universaalin ominaisuuden , ja " standardi " siinä mielessä, että se määrittelee funktorin. Universaalit ominaisuudet on jaettu alku- ja terminaaliin, koska nämä käsitteet ovat kaksoiskäsitteitä , riittää, kun tarkastellaan yhtä niistä.

Alkuominaisuuden käytön ideana on muotoilla ongelma sellaisella apukategorialla E , että jää vain alkuobjekti E löytää . Tällä muotoilulla on se etu, että "tehokkaimman ratkaisun löytämisen" ongelmasta tulee melko ankara ja jossain mielessä samanlainen kuin ääripään löytämisen ongelma . Oikean kategorian E valitsemiseksi on joskus tarpeen valita vaikeita temppuja: puolirenkaan R tapauksessa vaadittu luokka on luokka, jonka objektit ovat puolirenkaiden R → S homomorfismeja , joissa S on jokin rengas, jolla on identiteetti. E :n morfismit välillä R → S 1 ja R → S 2 ovat kommutatiivisia kolmioita muotoa ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) , jossa S 1 → S 2 on rengashomomorfismi. Morfismi R → S 1 :n ja R → S 2 : n välillä tarkoittaa, että S1 ei ole yhtä tehokas ratkaisu ongelmaan kuin S2 : S2 : ssa on enemmän lisättyjä elementtejä ja/tai enemmän suhteita niiden välillä kuin S 1 .

Sanoa, että tämä menetelmä määrittelee " tehokkaimman " ja " standardin " ratkaisun ongelmaan, on sama kuin sanoa, että se määrittelee liitännäisfunktioita.

Muodolliset määritelmät

Liitännäisfunktionaaleille on olemassa useita vastaavia määritelmiä. Niiden vastaavuus on alkeellista, mutta ei triviaalia.

Universaali nuolen määritelmä on helppo muotoilla ja se on myös lähinnä intuitiota "optimointiongelmasta".

Yksikkö- ja yksikkömäärittely on kätevä algebrassa usein esiintyville funktoreille, koska se tarjoaa kaavoja, jotka voidaan tarkistaa suoraan.

Hom -joukon määritelmä tekee määritelmästä symmetrisen ja selventää syitä kutsua funktoreita "adjoint".

Universal Arrow

Funktori F : C ← D on vasemmanpuoleinen adjunktiivinen funktori , jos jokaiselle luokan C objektille X on olemassa päätenuoli ε X välillä F pisteeseen X. Jos kullekin C :n X :lle valitaan D : ssä objekti G 0 X , jolle on määritelty päätenuoli ε X : F ( G 0 X ) → X , niin on olemassa ainutlaatuinen funktionaali G : C → D , jolloin GX = G 0 X ja mille tahansa morfismille kategoriassa C f : X → Xʹ meillä on ε Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε X ; F :tä kutsutaan tällöin funktorin G vasemmaksi adjointiksi .

Funktori G : C → D on oikea adjointfunktori , jos jokaiselle luokan D objektille Y on alkunuoli Y :stä G : hen . Jos jokaiselle D :n Y :lle valitaan C : ssä objekti F 0 Y siten , että alkunuoli η Y : Y → G ( F 0 Y ) Y :stä G : hen on määritelty , niin on olemassa ainutlaatuinen funktionori F : C ← D , kuten että FY = F 0 Y ja GF ( g ) ∘ η Y = η Yʹ ∘ g g : lle : Y → Yʹ on D :n morfismi ; G :tä kutsutaan silloin funktorin F oikeaksi adjointiksi .

Kuten terminologia antaa ymmärtää, on totta, että F on G :n vasen duaali silloin ja vain, jos G on F :n oikea duaali . Tämä ei kuitenkaan käy ilmi yleisnuolen määritelmästä, vaan se johtuu yksikön ja yksikön määritelmästä.

Yksikkö ja couunit

Määrittääksemme yksikön ja yksikön luokkiin C ja D , meidän on kiinnitettävä kaksi funktiota F : C ← D , G : C → D ja kaksi luonnollista muutosta :

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{{{\mathcal C}}}\\\eta &:1_{{{\mathcal D}}}\to GF\end{aligned}}

kutsutaan ko -yksiköksi ja konjugaatioyksiköksi , vastaavasti siten, että koostumukset

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

ovat identtisiä funktioiden F ja G muunnoksia 1 F ja 1 G.

Tällaisessa tilanteessa F on G :n vasen konjugaatti ja G on F :n oikea konjugaatti . Joskus tämä suhde on merkitty tai yksinkertaisesti . $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $F\dashv G$

Yhtälöiden muodossa yllä olevia ehtoja (ε,η) kutsutaan yksikkö- ja yksikköyhtälöiksi :

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Määritelmä Hom-funktion avulla

Tarkastellaan kahta funktiota F : C ← D ja G : C → D . Olkoon luonnollinen isomorfismi :

\Phi :{\mathrm {hom}}_{C}(F-,-)\to {\mathrm {hom}}_{D}(-,G-)

Tämä määrittelee päätelmien perheen:

\Phi _{{Y,X}}:{\mathrm {hom}}_{C}(FY,X)\to {\mathrm {hom}}_{D}(Y,GX)

kaikille kohteille X C : ssa ja Y D :ssä .

Tässä F :tä kutsutaan G:n vasemmaksi konjugaatiksi ja G : tä F :n oikeaksi konjugaatiksi .

Ymmärtääksemme, mitä Φ :n luonnollisuudella tarkoitetaan , on tarpeen selittää, kuinka hom C ( F -, -) ja hom D ( -, G -) ovat funktoreita. Itse asiassa ne ovat molemmat bifunktoreita D op × C :stä Setiin . Yksinkertaisesti sanottuna Φ :n luonnollisuus tarkoittaa, että kaikille morfismeille f : X → X ′ C : ssä ja morfismille g : Y ′ → Y D : ssä seuraava kaavio kommutuu:

Esimerkkejä

Ilmaiset ryhmät

Vapaan ryhmän rakentaminen on kätevä esimerkki määritelmien olemuksen selventämiseksi. Olkoon F : Grp ← Set funtori , joka liittää joukkoon Y Y : n elementtien muodostaman vapaan ryhmän , ja G : Grp → Set unohdusfunktio , joka liittää ryhmän X sen tukijoukkoon. Silloin F on G :n vasen adjunkti :

Päätenuolet: jokaiselle ryhmälle X ryhmä FGX on vapaa ryhmä, jonka X :n elementit muodostavat joukkona . Olkoon ryhmähomomorfismi, joka vie FGX :n generaattorit X :n vastaaviin elementteihin . Sitten on terminaalinen morfismi joukosta F ryhmään X , koska mikä tahansa homomorfismi vapaasta ryhmästä FZ ryhmään X voidaan viedä läpi yhden funktion avulla joukosta Z joukkoon X . Tämä tarkoittaa, että ( F , G ) on adjointfunktorien pari. $\varepsilon _{X}:FGX\to X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\to X$

Joukot Hom: vapaan ryhmän FY kartoitukset ryhmään X vastaavat yksiselitteisesti kartoituksia joukosta Y joukkoon GX : jokainen homomorfismi määräytyy yksilöllisesti sen vapaan ryhmän generaattoreiden arvojen perusteella. Suoralla laskennalla voidaan tarkistaa, että tämä vastaavuus on luonnollinen muunnos, ja siten pari ( F , G ) on konjugoitu.

Lisää esimerkkejä algebrasta

Kaikki vapaat objektit ovat tulosta vapaan funktionaalin soveltamisesta, joka on unohtavan funktorin vasen adjunkti .
Tuotteet , ytimet ja taajuuskorjaimet ovat esimerkkejä kategorisista rajoituksista . Kaikki rajafunktiot ovat aivan diagonaalifunktion vieressä . Samoin sivutuotteet , kokernelit ja koekvalisaattorit ovat koliliitteja ja koliittifunktionaali on diagonaalifunktion vasen adjointti.
Yksikön lisääminen pseudorenkaaseen (esimerkki "Motivaatio"-osiosta). Jos meille annetaan pseudoroiva R , niin vastaava rengas on tulo R × Z , jolla Z -bilineaarinen tulo määritellään kaavalla (r,0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r ,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) . Konstruoitu funktori jätetään konjugaatiksi unohtavaan funtoriin, joka lähettää renkaan vastaavaan pseudoorointiin.
Sormuksen pidennykset. Olkoon R ja S renkaita ja ρ : R → S rengashomomorfismi. Tällöin S voidaan nähdä (vasemmalla) R -moduulina ja tensoritulo S :n kanssa määrittää funktorin F : R - Mod → S - Mod . Tässä F on jätetty konjugaatiksi unohtavaan funktoriin G : S - Mod → R - Mod .
Tensor -tuotteet . Jos R on rengas ja M on oikea R - moduuli, niin tensoritulo M :n kanssa määrittää funktorin F : R - Mod → Ab . Funktori G : Ab → R - Mod määriteltynä G ( A ) = hom Z ( M , A ) on oikea konjugaatti F :n kanssa .
Yksityinen kenttä . Integraalirenkaiden ja injektiohomomorfismien luokassa Dom m unohdetulla funktorilla Field → Dom m on vasen adjointti, joka liittää jokaiseen integraalirenkaaseen sen osamääräkentän .
Polynomirenkaat '. Ring * : lle, kommutatiivisten renkaiden kategorialle, joissa on erottuva elementti ja homomorfismit, jotka säilyttävät erottuvan elementin, unohtava funktiontori G: Rengas * → Sormuksella on vasen duaali - se yhdistää parin ( R [ x ], x ) ja R [ x] , jossa R [ x ] on rengaspolynomi, jonka kertoimet ovat R :stä .
Abelisointi. Unohdetulla funktorilla G : Ab → Grp on vasen adjointti, jota kutsutaan abelisaatiofunktoriksi, joka määrittää jokaiselle ryhmälle G osamääräryhmän kommutantilla : G ab = G /[ G , G ] .

Topologiaesimerkkejä

Funktori kahdella konjugaatilla. Olkoon G funktori, joka yhdistää topologisen avaruuden tukijoukkoonsa (eli unohtaa topologian). G :ssä on vasen duaali F , joka antaa joukoille diskreetin topologian , ja oikea duaali H , joka antaa joukoille triviaalitopologian .
Päällysrakenne ja silmukkatilat . Kun otetaan huomioon topologiset avaruudet X ja Y , voidaan muodostaa avaruus [ SX , Y ] mappausten homotopialuokille SX :n ja Y :n suspensiosta . Se on luonnollisesti isomorfinen X :stä silmukkaavaruuteen Ω Y kohdistuvien homotoopialuokkien avaruuteen [ X , Ω Y ] , joten suspensio- ja silmukkaavaruusfunktiot ovat konjugoituja topologisten avaruuksien homotopialuokkaan.
Upotus G : KHaus → Kompaktien Hausdorff-tilojen luokka topologisten tilojen luokkaan sisältää vasemmanpuoleisen adjungoivan funktion F : Top → KHaus , Stone -Cech-tiivistys . Tämän parin yksikkö määrittää jatkuvan kuvauksen mielivaltaisesta topologisesta avaruudesta X sen tiivistymiseen. Tämä kartoitus on upotus silloin ja vain, jos X on täysin säännöllinen tila .

Ominaisuudet

Olemassaolo

Jokaisella funktorilla G : C → D ei ole vasenta tai oikeaa liitosta. Jos C on täysi luokka , niin Peter Freudin adjunktiivinen funktionaalilause G :llä on vasen adjointti, jos ja vain jos jollekin Y :lle kategoriasta D on olemassa morfismiperhe:

f i : Y → G ( X i ) ,

missä indeksit juoksevat joukon läpi niin , että mikä tahansa morfismi:

h : Y → G ( X )

voidaan kirjoittaa näin:

h = G ( t ) o f i

joillekin i in I ja joillekin morfismi:

t : X i → X C : ssä .

Samanlainen lause luonnehtii funktoreita, joilla on oikea adjointti.

Ainutlaatuisuus

Jos funktorilla F : C ← D on kaksi oikeaa konjugaattia G ja G ′ , niin G ja G ′ ovat luonnostaan isomorfisia .

Toisaalta, jos F jätetään konjugaatiksi G :n kanssa ja G on luonnostaan isomorfinen G ′:n kanssa, niin F myös jätetään konjugaatiksi G ′:n kanssa .

Koostumus

Konjugaatiokoostumukset voidaan ottaa luonnollisella tavalla. Jos 〈F , G , ε, η〉 on konjugaatio C :n ja D :n välillä ja 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 on konjugaatio D :n ja E :n välillä , niin funktori

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

vasen konjugaatti funtoriin

G\circ G':{\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}

Voidaan muodostaa luokka, jonka objektit ovat kaikki pieniä luokkia ja joiden morfismit ovat konjugaatioita.

Työmatkat rajoituksin

Adjointfunktorien tärkein ominaisuus on niiden jatkuvuus: jokainen funktori, jolla on vasen adjointti (eli on oikea adjointti), liikkuu kategorisissa rajoissa . Vastaavasti funktori, jolla on oikea adjointti, on äärettömän jatkuva , eli se liikkuu koliliittien kanssa . Koska monet rakenteet ovat rajoja tai koliiteja, tästä seuraa välittömästi useita seurauksia. Esimerkiksi:

Oikean liitosfunktion käyttäminen tuotteeseen antaa kuvien tuotteen.
Vasemman liitännäisfunktionaalin käyttäminen yhteistulokseen antaa kuvien yhteistulon.
Jokainen oikea konjugaatti ja additiivinen funktori Abelin luokkien välillä on vasen tarkka .
Jokainen vasen konjugaatti ja additiivinen funktori Abelin luokkien välillä on oikea tarkka .

Kirjallisuus

McLane S. Luku 4. Liitännäisfunktiot // Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

F. Borceux. Kategorisen algebran käsikirja 1. Kategorian perusteoria. — Matematiikan tietosanakirja ja sen sovellukset. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 s. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. Abstract and Concrete Categories. Kissojen ilo (englanniksi) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)