Rinnakkaistaajuuskorjain

Yhteistaajuuskorjain on tekijän käsitteen kategoriateoreettinen yleistys suhteessa ekvivalenssisuhteeseen . Tämä käsite on kaksinkertainen taajuuskorjaimen käsitteen kanssa , mistä johtuu nimi.

Määritelmä

Koekvalisaattori on kahdesta oliosta X ja Y sekä kahdesta rinnakkaisesta morfismista f , g : X → Y koostuvan kaavion yhteismääritelmä .

Tarkemmin sanottuna kerataajuuskorjain on objekti Q yhdessä morfismin q : Y → Q kanssa siten, että q ∘ f = q ∘ g . Lisäksi parilla ( Q , q ) on universaali ominaisuus : jokaiselle toiselle parille ( Q ′, q ′) , jolla on sama ominaisuus, on olemassa ainutlaatuinen morfismi u : Q → Q ′ , joka sulkee seuraavan kaavion kommutatiiviseksi . :

Kuten mikä tahansa universaali konstruktio, koekvalisaattori, jos se on olemassa, määritellään isomorfismiin asti. Voidaan osoittaa, että koekvalisaattori q on epimorfismi missä tahansa kategoriassa.

Esimerkkejä

Joukkoluokassa kahden funktion f , g : X → Y koekvalisaattori on tekijä Y heikoimman ekvivalenssisuhteen mukaan siten, että mille tahansa , tosi . $\sim$ $x\in X$ $f(x)\sim g(x)$

Ryhmien luokassa tilanne on hyvin samanlainen: jos f , g : X → Y ovat ryhmähomomorfismeja, niiden koekvalisaattori on tekijä Y joukon normaalilla sulkeutumisella : ${\displaystyle S=\{f(x)g(x)^{-1}\ |\ x\in X\))$ .

Abelilaisille ryhmille koequalizer on erityisen yksinkertainen. Tämä on yksinkertaisesti tekijäryhmä Y / im( f − g ) ( morfismin f − g koksin ydin ).

Topologisten avaruuksien luokassa ympyrää voidaan pitää standardin 0-ulotteisen simpleksin kahden upotuksen koekvalisaattorina standardi 1-ulotteiseen simpleksiin. $S^{1}$

Rinnakorjaimet voivat olla melko suuria: funktioita on tasan kaksi kategoriasta 1 , jossa on yksi objekti ja yksi morfismi, kategoriaan 2 , jossa on kaksi objektia ja täsmälleen yksi ei-identiteettimorfismi. Näiden funktioiden koekvalisaattori on luonnollisten lukujen yhteenlaskettu monoidi , jota pidetään luokkana, jossa on yksi alkio. Tämä osoittaa, että vaikka jokainen rinnakkaistaajuuskorjain on epimorfinen, se ei välttämättä ole surjektiivinen .

Kirjallisuus

McLane S. Luku 3. Universaalit rakenteet ja rajat // Categories for the working mathematician = Categories for the working mathematician / Per. englannista. toim. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .