Abelin ryhmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. elokuuta 2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Abelin (tai kommutatiivinen ) ryhmä - ryhmä , jossa ryhmätoiminto on kommutatiivinen ; toisin sanoen ryhmä on Abelin, jos kahdelle elementille . ${\näyttötyyli (G,\;*)}$ $a*b=b*a$ $a,\;b\in G$

Yleensä ryhmäoperaation merkitsemiseen Abelin ryhmässä käytetään additiivista merkintää, eli ryhmäoperaatiota merkitään merkillä ja sitä kutsutaan summaksi [1] $+$

Nimi on annettu norjalaisen matemaatikon Niels Abelin kunniaksi .

Esimerkkejä

Rinnakkaisten käännösten ryhmä lineaarisessa avaruudessa.
Mikä tahansa syklinen ryhmä on abelilainen. Todellakin, kaikille ja se on totta $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- Erityisesti kokonaislukujen joukko on kommutoiva ryhmä summauksen perusteella; sama pätee jäännösluokkiin $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } \,.$
Mikä tahansa rengas on kommutatiivinen (Abelin) ryhmä lisäyksensä perusteella; esimerkki on reaalilukujen kenttä, jossa on lukujen yhteenlaskutoiminto. $\mathbb {R}$
Kommutatiivisen renkaan käännettävät elementit (erityisesti minkä tahansa kentän nollasta poikkeavat alkiot ) muodostavat kertomalla Abelin ryhmän. Esimerkiksi Abelin ryhmä on joukko nollasta poikkeavia reaalilukuja kertolaskuoperaatiolla.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Analogisesti vektoriavaruuksien ulottuvuuden kanssa jokaisella Abelin ryhmällä on arvo . Se määritellään vektoriavaruuden minimiulottuvuudeksi rationaalisten lukujen kentän yläpuolella , johon ryhmän vääntötekijä on upotettu . $\mathbb {Q}$

Ominaisuudet

Äärimmäisen generoidut Abelin ryhmät ovat isomorfisia syklisten ryhmien suorille summille .
- Äärilliset Abelin ryhmät ovat isomorfisia äärellisten syklisten ryhmien suorille summille.
Jokaisella Abelin ryhmällä on luonnollinen moduulirakenne kokonaislukujen renkaan päällä . Todellakin, anna olla luonnollinen luku ja olla kommutatiivisen ryhmän elementti, jonka operaatio on merkitty +, niin voimme määritellä sekä ( kertaa) että . $n$ $x$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Lausunnot ja lauseet, jotka pätevät Abelin ryhmille (eli pääideaalialueen moduuleille ) , voidaan usein yleistää moduuleiksi mielivaltaisen pääideaalialueen yli. Tyypillinen esimerkki on
äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien luokittelu , joka voidaan yleistää mielivaltaisten äärellisesti generoitujen moduulien luokitteluksi pääideaalialueen yli . $\mathbb {Z}$

Kaikkien ryhmähomomorfismien homomorfismien joukko alkaen - on itse Abelin ryhmä. Todellakin, olkoon kaksi ryhmähomomorfismia Abelin ryhmien välillä, niin niiden summa , annettu muodossa , on myös homomorfismi (tämä ei pidä paikkaansa, jos se ei ole kommutoiva ryhmä).

\operaattorin nimi {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\-H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Abeliuden käsite liittyy läheisesti ryhmän keskuksen käsitteeseen - joukkoon, joka koostuu niistä elementeistä, jotka liikkuvat ryhmän jokaisen elementin kanssa ja jotka toimivat eräänlaisena "abelianisuuden mittarina". Ryhmä on abelilainen silloin ja vain, jos sen keskus osuu yhteen koko ryhmän kanssa.

Z(G)

G

G

Rajalliset Abelin ryhmät

Peruslause äärellisen Abelin ryhmän rakenteesta sanoo, että mikä tahansa äärellinen Abelin ryhmä voidaan hajottaa sen syklisten aliryhmien suoraksi summaksi, jonka kertaluvut ovat alkulukujen potenssit . Tämä on seurausta yleisestä lauseesta äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien rakenteesta sellaiselle tapaukselle, jossa ryhmässä ei ole äärettömän järjestyksen elementtejä. on isomorfinen suoralle summalle silloin ja vain jos ja ovat koprime . $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Siksi Abelin ryhmä voidaan kirjoittaa suoran summan muodossa $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

kahdella eri tavalla:

Missä ovat alkuluvut $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Missä jakaa , mikä jakaa ja niin edelleen aina . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Se voidaan esimerkiksi hajottaa kahden järjestyksen 3 ja 5 syklisen alaryhmän suoraksi summaksi: . Sama voidaan sanoa mistä tahansa viidentoista luokan Abelin ryhmästä; tuloksena päätämme, että kaikki Abelin luokkaa 15 olevat ryhmät ovat isomorfisia. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Differentiaaliryhmä on Abelin ryhmä , jossa sellainen endomorfismi annetaan , että . Tätä endomorfismia kutsutaan differentiaaliksi . Differentiaaliryhmien elementtejä kutsutaan ketjuiksi , ydinsyklien elementeiksi , kuvarajojen elementeiksi . ${\mathbf {C}}$ $d\colon {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$
Rengas on Abelin ryhmä, jolle annetaan ylimääräinen binäärioperaatio "kerto", joka täyttää distributiivisuuden aksioomat .
Metabeliryhmä on ryhmä, jonka kommutaattorialaryhmä on Abelin.
Nilpotentti ryhmä on ryhmä, jonka keskussarja on äärellinen.
Ratkaistava ryhmä on ryhmä, jonka kommutaattorisarja stabiloituu triviaaliryhmään.
Dedekind-ryhmä on ryhmä, jonka jokainen alaryhmä on normaali .

Katso myös

Algebrallinen järjestelmä

Muistiinpanot

↑ Abelin ryhmä - artikkeli Encyclopedia of Mathematicsista . Yu. L. Ershov

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Fuchs L. Äärettömät Abelin ryhmät. - Maailma, 1974.

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos