Algebrallinen järjestelmä

Universaalialgebran algebrallinen järjestelmä on ei-tyhjä joukko ( kantoaalto ), johon on annettu joukko operaatioita ja suhteita ( allekirjoitus ). Algebrallista järjestelmää, jossa on tyhjä relaatiojoukko, kutsutaan algebraksi ja järjestelmää, jossa on tyhjä operaatiosarja, kutsutaan malliksi . $G$

$n$ -ary-operaatio on joukon esiintymien suoran tuotteen yhdistäminen itse joukkoon . Määritelmän mukaan nollaoperaatio on yksinkertaisesti joukon erottuva elementti. Useimmiten harkitaan unaari- ja binäärioperaatioita , koska niiden kanssa on helpompi työskennellä, mutta topologian , algebran , kombinatoriikan tarpeiden vuoksi tekniikka työskennellä suuremman ariteon operaatioiden kanssa kerääntyy vähitellen , tässä esimerkkinä. osaa lainata operadien (monilineaaristen operaatioiden kloonit) ja niiden yläpuolella olevien algebroiden (monioperaattorialgebroiden ) teoriaa. $G$ $n$ $G^{n}\ G:lle$

Käsite syntyi havaintojen perusteella useille yleisille algebrallisille rakenteille, kuten ryhmille , renkaille , hilaille , tyypillisten rakenteiden yleisyydestä ; Erityisesti nämä ovat alijärjestelmän konstruktioita (ylentää vastaavasti aliryhmän , alirenkaan , alihilan käsitteitä ), homomorfismi , isomorfismi , tekijäjärjestelmä ( yleistäen vastaavasti faktaryhmän , tekijärenkaan , tekijähilan konstruoinnin ). Tätä yleisyyttä tutkitaan yleisalgebran itsenäisessä osassa - universaali algebra , samalla kun saadaan joukko merkityksellisiä tuloksia, jotka ovat tyypillisiä mille tahansa algebralliselle järjestelmälle, esimerkiksi homomorfismilause , joka algebrallisen järjestelmän tapauksessa ilman annettua relaatiot - algebra - on jalostettu aiemmin ryhmäteoriasta ja rengasteoriasta tunnetuiksi isomorfismilauseiksi .

Matematiikassa " algebrallisen rakenteen " käsitettä käytetään myös vaihtelevalla tarkkuudella . Erityisesti Bourbaki muotoilee sen joukoksi, jolla on toimintaa; tässä tapauksessa joukkoa, jolla on suhteita (jonka olemassaolo on mahdollista algebrallisessa järjestelmässä), pidetään jo toisenlaisena matemaattisena rakenteena - järjestysrakenne . Kaikkia algebrallisia rakenteita ei kuitenkaan kuvata algebrallisilla järjestelmillä ilman lisärakenteita; esimerkkinä niistä voidaan mainita koalgebrat , bialgebrat , Hopf-algebrat ja niiden päällä olevat komodulit ; Lisäksi jopa määritelläkseen sellaisia klassisia rakenteita, kuten moduuli renkaan päällä tai algebra kentän päällä , universaali algebra käyttää sellaisia keinotekoisia rakenteita renkaan (kentän) kullekin elementille määriteltäessä unaarista kertolaskuoperaatiota tällä elementillä.

Algebrallisten järjestelmien pääluokat

Joukkoa voidaan pitää degeneroituneena algebrallisena järjestelmänä, jossa on tyhjä joukko operaatioita ja suhteita [1] .

Groupoidit, puoliryhmät, ryhmät

Groupoidi on joukko, jossa on yksi binäärioperaatio , jota yleensä kutsutaan kertolaskuksi . $\cdot :G\times G\ to G$
Oikea kvasiryhmä on groupoid, jossa oikea jako on mahdollista, eli yhtälöllä on ainutlaatuinen ratkaisu mille tahansa ja . $x\cdot a=b$ $a$ $b$
Kvasiryhmä on sekä oikea että vasen kvasiryhmä.
Silmukka on kvasiryhmä, jonka neutraali elementti on sellainen, että . $e\in G$ $a\cdot e=e\cdot a=a$
Puoliryhmä on ryhmäoidi, jossa kertolasku on assosiatiivinen : . $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
Monoidi on puoliryhmä, jossa on neutraali elementti.
Ryhmä on monoidi, jossa jokaiselle ryhmän elementille a voidaan määritellä käänteisalkio a −1 siten, että . $a\cdot a^{{-1}}=a^{{-1}}\cdot a=e$
Abelin ryhmä on ryhmä, jossa operaatio on kommutatiivinen , eli . Abelin ryhmän operaatiota kutsutaan usein summaksi ('+'). $a\cdot b=b\cdot a$

Sormukset

Rengas on rakenne, jossa on kaksi binäärioperaatiota (Abelin ryhmä yhteenlaskulla tietyllä toisella assosiatiivisella binäärioperaatiolla, kertolasku), jossa distributiivisuuslaki täyttyy : . $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$
Kommutatiivinen rengas on rengas, jossa on kommutatiivinen kertolasku.
Integraalirengas on rengas, jossa kahden nollasta poikkeavan elementin tulo ei ole yhtä suuri kuin nolla.

Kappale on rengas, jossa nollasta poikkeavat elementit muodostavat kertolaskuryhmän.
Kenttä on kommutiivinen rengas, joka on kappale.

Puolirengas on samanlainen kuin rengas, mutta ilman lisäyksen palautuvuutta.
Lähirengas on myös yleistys renkaasta, joka eroaa tavallisesta renkaasta siinä, että yhteenlaskua ei vaadita kommutatiivisena eikä kertolaskua ole distributiivinen summauksen suhteen (vasen tai oikea).

Algebrat

Algebra on lineaarinen avaruus , jossa on bilineaarinen distributiivinen kertolasku, toisin sanoen rengas, jolla on johdonmukainen lineaarinen avaruusrakenne
Assosiatiivinen algebra - algebra assosiatiivisella kertolaskulla
Termien algebra
Kommutatiivinen algebra
Arvioitu algebra
Lie -algebra on algebra, jossa on antikommutatiivinen kertolasku (yleensä ), joka täyttää Jacobin identiteetin $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Leibnizin algebra on algebra kertolaskulla (yleensä merkitty ), joka täyttää Jacobin identiteetin $[a,b]$ $[a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0$
Jordan-algebra on kommutatiivinen algebra, jolla on heikko assosiaatioidentiteetti : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$
Ei-kommutatiivinen Jordanian algebra on ei-kommutatiivinen algebra, jolla on heikko assosiaatioidentiteetti: ja elastisuusidentiteetti : $x^{2}(yx)=(x^{2}y)x$ $x(yx)=(xy)x$
Vaihtoehtoinen algebra - Algebra identiteeteillä $x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x$
Maltsev-algebra on antikommutatiivinen algebra, jonka identiteetti on : ${\näyttötyyli (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x}$
Kommutatiivinen-assosiatiivinen algebra
Algebra operadin yläpuolella on yksi yleisimmistä algebrallisten järjestelmien tyypeistä. Tässä operaatio itse toimii algebran allekirjoituksena.

Ristikot

Hila on rakenne, jossa on kaksi kommutatiivista, assosiatiivista, idempotenttia operaatiota, jotka täyttävät absorptiolain .
Boolen algebra .

Muistiinpanot

↑ Kurosh A. G. Yleinen algebra. - M.: Nauka, 1974. S.15

Kirjallisuus

Artamonov V. A. . Luku VI. Yleisalgebrat // Yleisalgebra / Toim. toim. L. A. Skornyakova . - M .: Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. – 480 s. — (Matemaattinen viitekirjasto). – 25 000 kappaletta. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Yleisalgebra. - M .: Mir , 1969. - 351 s.
Maltsev AI Algebralliset järjestelmät. — M .: Nauka , 1970. — 392 s. - 17 500 kappaletta.