Alisoitto

Renkaan alirengas on pari , jossa on rengas ja on renkaiden monomorfismi ( upottaminen ). Tällainen määritelmä on yhdenmukainen luokkateorian aliobjektin yleisen käsitteen kanssa . $K$ ${\näyttötyyli (R,i)}$ $R$ $i:R\hookrightarrow K$

Klassisessa määritelmässä renkaan alirengasta pidetään osajoukkona , joka on suljettu operaatioiden alle ja päärenkaasta. Tämä määritelmä vastaa yllä olevaa, mutta nykyaikainen määritelmä korostaa alirenkaiden sisäistä rakennetta ja eri renkaiden välistä yhteyttä. Se on myös helppo yleistää sattumanvaraisiin matemaattisiin objekteihin (algebrallinen, geometrinen jne.). Määritelmien välinen ero on analoginen matematiikan joukkoteoreettisen ja kategoriateoreettisen näkemyksen eron kanssa. ${\näyttötyyli (K,+,*)}$ $R\subset K$ $+$ $*$

Erityisesti erilaiset renkaan määritelmät antavat kaksi merkityksellistä peruskäsitettä alirenkaasta. Luokassa (kaikki) renkaat , alirengasta, kuten klassisen määritelmän mukaan, voidaan pitää mielivaltaisena renkaan osajoukkona , joka on suljettu yhteen- ja kertolaskussa. Mielenkiintoisempi tilanne on yksikkörenkaiden luokassa : tässä kategoriassa olevien morfismien (homomorfismien) tulee kartoittaa renkaan identiteetti renkaan identiteettiin (samalla tavalla kuin puoliryhmien homomorfismi , jossa on yksikkö ), joten renkaan osarenkaan tulee sisältää myös identiteetti: . ${\mathcal {R}}ing$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $f:R\to K$ $R$ $K$ $R$ $K$ $1_{K}\in R$

Luokka on paljon paremmin järjestetty kuin . Esimerkiksi minkä tahansa homomorfismin ydin on myös tämän kategorian kohde. Tästä johtuen alirenkaasta puhuminen tarkoittaa yleensä alarenkaaa , ellei toisin mainita. ${\mathcal {R}}ing$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ ${\mathcal {R}}ing$

Esimerkkejä

Mikä tahansa ideaali (vasen, oikea, kaksipuolinen) on suljettu yhteen- ja kertolaskussa, joten se on alirengas . ${\mathcal {R}}ing$
Ideaali on alirengas vain, jos se sisältää , joten sen on yhdyttävä koko renkaaseen. Siksi oikeat ihanteet eivät ole alaryhmiä. ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $yksi$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$
Alarenkaat ovat kaikki mahdollisia pääideaaleja . B :llä ei ole omia alarenkaita. ${\mathcal {R}}ing$ $\mathbb {Z}$ $(n)=n\mathbb {Z}$ ${\mathcal {R}}ing_{1}$ $\mathbb {Z}$
Kokonaislukujen rengas on reaalilukujen kentän ja polynomien renkaan osajoukko . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {Z} [X]$

Kirjallisuus

Vinberg E. B. Algebra-kurssi. - 3. painos - M . : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 kappaletta. — ISBN 5-88688-060-7 .
M. Atiyah, I. MacDonald. Johdatus kommutatiiviseen algebraan. - M . : Mir, 1972. - 160 s.

Katso myös

Alaryhmä