Hopf algebra

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 25.9.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Hopf-algebra on assosiatiivinen algebra kentän päällä , jolla on yksikkö, ja se on myös koassosiatiivinen koalgebra yksikön kanssa (siis se on bialgebra ), jolla on erityinen antihomomorfismin muoto. Nimetty Heinz Hopfin mukaan .

Hopf-algebrat esiintyvät algebrallisessa topologiassa , jossa ne syntyivät ensin H-avaruuden käsitteen yhteydessä, ryhmäkaavioiden teoriassa , ryhmäteoriassa ( ryhmärenkaan käsitteen ansiosta ) ja sen jälkeen. Niiden yleinen esiintyminen tekee niistä yhden tunnetuimmista esimerkeistä bialgebroista . Hopf-algebroita tutkitaan myös itsenäisenä kohteena useiden tiettyjen Hopf-algebroiden ja niiden luokitteluongelmien yhteydessä.

Määritelmä

Hopf-algebra on assosiatiivinen ja koassosiatiivinen bialgebra H kentän päällä yhdessä -lineaarisen kuvauksen ( kutsutaan antipodiksi ) kanssa siten, että seuraava kaavio on kommutatiivinen : $K$ $K$ $S\colon H\to H$

Tässä Δ on bialgebran kertolasku, ∇ on sen kertolasku, η on sen yksikkö ja ε on sen yksikkö. Svidlerin merkinnöissä tämä ominaisuus voidaan ilmaista myös seuraavasti:

S(c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}S(c_{(2)})=\epsilon (c)1\qquad \forall c\in H

Yllä oleva määritelmä voidaan yleistää algebroiksi renkaiden yli (riittää korvata määritelmän kenttä kommutatiivisella renkaalla ). $K$ $R$

Hopf-algebran määritelmä on duaali itsessään (tämä näkyy yllä olevan kaavion symmetriassa), erityisesti H:n duaaliavaruus ( joka voidaan aina määritellä, jos H on äärellinen -ulotteinen ) on automaattisesti Hopf-algebra.

Antipodin ominaisuudet

S :n antipodilta vaaditaan joskus R -lineaarinen inversio, joka on automaattinen äärellisulotteisessa tapauksessa, tai jos H on kommutatiivinen tai kokommutatiivinen (tai yleisemmin kvasi -kolmio ).

Yleisesti ottaen S on antihomomorfismi [1] , joten S 2 on homomorfismi , joka on siis automorfismi , jos S olisi käännettävä (kuten mahdollisesti vaaditaan).

Jos , niin Hopf-algebran sanotaan olevan kietoutunut (ja sotkeutumisen perusalgebra on *-algebra ). Jos H on äärellisulotteinen puoliksi yksinkertainen algebra ominaisnollan, kommutatiivisen tai kokommutatiivisen kentän suhteen, tämä on monimutkainen algebra. $S^{2}=Id$

Jos bialgebra B hyväksyy antipodin S , niin S on ainutlaatuinen ("bialgebra hyväksyy enintään 1 Hopf-algebrarakenteen"). [2]

Antipodi on analoginen sen ryhmän inversiokartoituksen kanssa, joka lähettää osoitteeseen . [3] $g$ $g^{{-1}}$

Hopf subalgebrat

Hopf-algebran H osabalgebra A on Hopf-aligebra, jos se on H :n osaalgebra ja S : n antipodi kuvaa A :n A :han. Toisin sanoen Hopfin aliavaruus A on Hopf-algebran aliavaruus, joka on suljettu kertolaskulle, moninkertaisuudelle ja antipodille. Nichols-Zellerin freeness-lauseen ( 1989 ) mukaan millä tahansa luonnollisella R - moduulilla on äärellinen arvo ja se on vapaa , jos H on äärellinen, mikä antaa yleistyksen Lagrangen lauseesta alaryhmille . Tämän teorian seurauksena puoliyksinkertaisen äärellisulotteisen Hopf-algebran Hopf-aligebra on automaattisesti puoliyksinkertaista.

Hopf-alibalgebraa A kutsutaan Hopf-algebran H oikeaksi normaaliksi aligebraksi, jos se täyttää stabiilisuusehdon kaikille h : lle H :stä , jossa adjunktinen toiminta määritellään kaikille a : lle A: sta ja h :stä H . Vastaavasti Hopf-alibalgebra K jätetään normaaliksi H :ssa, jos se on invariantti vasemman konjugaation alla, joka määritellään kuten kaikille K :n k :lle . Molemmat normaalisuusehdot ovat samanarvoisia, jos antipodi S on bijektiivinen. Tässä tapauksessa A = K :n sanotaan olevan normaali Hopf-alibalgebra. $ad_{r}(h)(A)\subseteq A$ ${\näyttötyylimainos_{r))$ ${\displaystyle ad_{r}(h)(a)=S(h_{(1)})ah_{(2)))$ $ad_{\ell }(h)(k)=h_{(1)}kS(h_{(2)})$

Normaali Hopf-alibalgebra A :ssa H täyttää ehdon ( H :n osajoukkojen yhtäläisyys ): , jossa merkitsee yksikön K ydintä . Tämä normaalioloehto merkitsee, että se on algebran H Hopf-ideaali (eli se on kokonaisuuden ytimessä olevan algebran ideaali, koalebran koideaali, ja se on stabiili antipodin vaikutuksesta). Tämän seurauksena määritellään Hopf-tekijäalgebra ja epimorfismi , kuten vastaavat normaalien alaryhmien ja tekijäryhmien konstruktit ryhmäteoriassa . [neljä] $HA^{+}=A^{+}H$ ${\displaystyle A^{+))$ ${\näyttötyyli HA^{+))$ ${\displaystyle H/HA^{+))$ $H\rightarrow H/A^{+}H$

Esimerkkejä

Ryhmäalgebra . Olkoon G ryhmä . _ Algebra R G on assosiatiivinen algebra R : n päälle , jolla on identtisyys. Jos määrittelemme
Δ : R G → R G ⊗ R G , Δ( g ) = g ⊗ g mille tahansa g : lle G :stä ,
ε : R G → R , ε ( g ) = 1 mille tahansa g : lle G :stä ,
S : R G → R G , S ( g ) = g −1 mille tahansa g : lle G :stä ,

silloin R G :stä tulee Hopf-algebra.

Kiinalainen merkkikaavio on yhdistetty graafi, jossa on vain kolmiarvoisia kärkipisteitä ja jossa on erottuva orientoitu sykli (Wilson-silmukka) ja kiinteä syklinen järjestys kullekin pisteestä, joka ei ole Wilson-silmukassa. Kiinalaisten järjestyskaavioiden ryhmä on vapaa- moduuli, joka on generoitu -vertex-kaavioilla (jotka katsotaan luonnolliseen ekvivalenssiin asti), ja jotka on kerrottu kaikkien mahdollisten -relaatioiden generoimalla alimoduulilla [5] . $i$ $G$ $2i$ $STU$

Lie-ryhmien kohomologia

Lie-ryhmän kohomologia-algebra on Hopf-algebra: kertolasku on standarditulo kohomologiarenkaassa , ja monistaminen on muotoa

H^{*}(G)\rightarrow H^{*}(G\times G)\cong H^{*}(G)\otimes H^{*}(G)

ryhmäkertoimen ansiosta . Tämä havainto oli itse asiassa Hopf-algebran käsitteen alkuperä. Käyttämällä tätä rakennetta Hopf osoitti rakennelauseen Lie-ryhmien kohemologia-algebralle. $G\times G\rightarrow G$

Hopfin lause [6] Olkoon A äärellinen asteittainen kommutiivinen kokommutiivinen Hopf-algebra ominaisuuden 0 kentän yli. Tällöin A (algebrana) on vapaa ulompi algebra, jossa on parittoman asteen generaattoreita.

Kvanttiryhmät

Kaikki yllä olevat esimerkit ovat joko kommutatiivisia (eli kertominen on kommutatiivisia ) tai kokommutatiivisia (eli Δ = T ∘ Δ , missä T : H ⊗ H → H ⊗ H on tensoritekijöiden permutaatio, joka määritellään T ( x ⊗ y ) ) = y ⊗ x ) . Muita mielenkiintoisia esimerkkejä Hopf-algebroista ovat jotkin esimerkin 3 deformaatiot tai " kvantisoinnit ", jotka eivät ole kommutatiivisia eivätkä kokommutatiivisia. Näitä Hopf-algebroita kutsutaan usein " kvanttiryhmiksi ". Ideana on tämä: tavallinen algebrallinen ryhmä voidaan kuvata säännöllisten funktioiden Hopf-algebran avulla. Voimme sitten ajatella tämän Hopf-algebran muodonmuutosta kuvaavan jotain "kvantisoitua" algebrallista ryhmää (vaikka se ei ole algebrallinen ryhmä missään mielessä). Monilla algebrallisten ryhmien ominaisuuksilla, kuten myös niitä sisältävillä rakenteilla, on analogiaan deformoituneiden Hopf-algebroiden maailmassa. Tästä johtuu nimi "kvanttiryhmä".

Ryhmäanalogia

Ryhmiä voidaan aksiomatisoida samoilla kaavioilla (ekvivalenssit, operaatiot) kuin Hopf-algebroilla, joissa H on joukko, ei moduuli. Tässä tapauksessa:

kenttä R korvataan 1 elementin joukolla
on luonnollinen yksikkö (kartoitus yhteen elementtiin)
on luonnollinen monistaminen (diagonaalinen kartoitus)
yksikkö - ryhmän neutraali elementti
kertolasku - kertominen ryhmässä
antipodi - käänteisen elementin ottaminen ryhmässä

Tässä mielessä ryhmiä voidaan pitää Hopf-algebroina yksialkioisen kentän yli . [7]

Muistiinpanot

↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Prop. 4.2.6, s. 153 Arkistoitu 6. lokakuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001), Huomautuksia 4.2.3, s. 151 Arkistoitu 16. huhtikuuta 2014 Wayback Machinessa
↑ Kvanttiryhmien luentomuistiinpanot . Haettu 4. heinäkuuta 2011. Arkistoitu alkuperäisestä 4. maaliskuuta 2016. (määrätön)
↑ S. Montgomery, Hopf-algebrat ja niiden toiminta renkaissa, Conf. Hallitus matematiikassa. sci. vol. 82, AMS, 1993. ISBN 0-8218-0738-2
↑ V.A. Vasiliev - Diskriminanttien komplementtien topologia. M.: FAZIS, 1997.
↑ Hopf, 1941.
↑ Ryhmä = Hopf-algebra "Secret Blogging Seminar Arkistoitu 9. heinäkuuta 2011 Wayback Machinessa , Ryhmäobjektit ja Hopf-algebrat Arkistoitu 18. huhtikuuta 2016 Wayback Machinessa , video Simon Willertonista.

Linkit

Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin & Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras , voi. 235 (1. painos), Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .
Pierre Cartier, Hopf-algebroiden aluke (linkki ei ole käytettävissä) , IHES preprint, syyskuu 2006, 81 sivua
Jurgen Fuchs, Affine Lie Algebras and Quantum Groups , (1992), Cambridge University Press. ISBN 0-521-48412-X
H. Hopf, Uber die Topologie der Gruppen-Mannigfaltigkeiten und ihrer Verallgemeinerungen, Ann. matematiikasta. 42 (1941), 22-52. Uusintapainos julkaisussa Selecta Heinz Hopf, s. 119-151, Springer, Berliini (1964). MR : 4784
Street, Ross (2007), Quantum groups , voi. 19, Australian Mathematical Society Lecture Series, Cambridge University Press , MR : 2294803 , ISBN 978-0-521-69524-4 ; 978-0-521-69524-4 .

Kirjallisuus

Manin Yu. I. Johdatus kaavioiden ja kvanttiryhmien teoriaan. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 s. - ISBN 978-5-94057-635-8 .