Ryhmä (matematiikka)

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 13.5.2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Ryhmä on matematiikassa ei-tyhjä joukko , jolle määritellään assosiatiivinen binäärioperaatio , ja tälle operaatiolle on neutraali elementti (analoginen kertolaskuyksikön kanssa), ja jokaisella joukon elementillä on käänteisarvo . Yleisalgebran haaraa , joka käsittelee ryhmiä, kutsutaan ryhmäteoriaksi [1] .

Yksi esimerkki ryhmästä on kokonaislukujoukko , joka on varustettu summausoperaatiolla : minkä tahansa kahden kokonaisluvun summa antaa myös kokonaisluvun, nolla toimii neutraalina elementtinä ja vastakkainen luku on käänteisalkio. Muita esimerkkejä ovat reaalilukujen joukko summausoperaatiolla, tason kiertojen joukko origon ympärillä . Ryhmän abstraktin määritelmän ansiosta aksioomijärjestelmän avulla , joka ei ole sidottu generointijoukkojen erityispiirteisiin, ryhmäteoria on luonut universaalin laitteiston, jolla voidaan tutkia laajaa luokkaa mitä monimuotoisimman alkuperän matemaattisia objekteja . niiden rakenteen yleiset ominaisuudet . Ryhmien yleisyys matematiikassa ja sen ulkopuolella tekee niistä olennaisen rakenteen modernissa matematiikassa ja sen sovelluksissa.

Ryhmä liittyy pohjimmiltaan symmetrian käsitteeseen ja on tärkeä työkalu sen kaikkien ilmenemismuotojen tutkimuksessa. Esimerkiksi symmetriaryhmä heijastaa geometrisen kohteen ominaisuuksia: se koostuu joukosta muunnoksia , jotka jättävät kohteen ennalleen, ja kahden sellaisen muunnoksen yhdistämisoperaatiosta, jotka seuraavat peräkkäin. Symmetriaryhmät, kuten pistesymmetriaryhmät, ovat hyödyllisiä kemian molekyylisymmetrian ilmiön ymmärtämisessä; Poincare-ryhmä luonnehtii fyysisen aika-avaruuden symmetriaa ja alkeishiukkasfysiikan standardimallissa käytetään erityisiä unitaarisia ryhmiä [2] .

Ryhmän käsitteen esitteli Evariste Galois tutkiessaan polynomeja 1830- luvulla [3] .

Nykyaikainen ryhmäteoria on aktiivinen matematiikan haara [4] . Yksi vaikuttavimmista tuloksista saavutettiin vuonna 1981 valmistuneessa yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelussa : lauseen todisteena on kymmeniä tuhansia sivuja sadoista tieteellisistä artikkeleista yli sadalta kirjailijalta, jotka on julkaistu vuodesta 1955 lähtien, mutta artikkelit näkyvät edelleen todistuksessa havaittavien aukkojen vuoksi [5] . 1980-luvun puolivälistä lähtien ryhmien geometrinen teoria , joka tutkii äärellisesti generoituja ryhmiä geometrisina esineinä, on saanut merkittävää kehitystä.

Määritelmä

Ei-tyhjää joukkoa , jolle on määritetty binääritoiminto : kutsutaan ryhmäksi, jos seuraavat aksioomit ovat tosia : $G$ ${*}$ $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,*)$

assosiatiivisuus : ; $\forall (a,b,c\in G)\colon (a*b)*c=a*(b*c)$
neutraalin elementin läsnäolo : ; $\exists e\in G\quad \forall a\in G\colon (e*a=a*e=a)$
käänteisen elementin läsnäolo : . $\forall a\in G\quad \exists a^{-1}\in G\colon (a*a^{-1}=a^{-1}*a=e)$

Kaksi viimeistä aksioomaa voidaan korvata yhdellä käänteisoperaation $*$ olemassaolon aksioomilla :

$\forall (a,b\in G)\quad \exists (x,y\in G)\colon (a*x=b)\land (y*a=b)$ .

Lisäksi yllä olevat aksioomit eivät ole tiukasti minimaalisia. Neutraalin ja käänteisen elementin olemassaoloon riittää, että on vasen neutraalielementti ja vasen käänteiselementti . Samalla voidaan osoittaa, että ne ovat automaattisesti tavallisia neutraaleja ja käänteisiä elementtejä [6] .

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Yleisesti ottaen ryhmän ei tarvitse täyttää kommutatiivisuusominaisuutta .
- Elementiparia , joille tasa-arvo pätee , kutsutaan työmatkaksi tai työmatkaksi . $a,\;b$ $a*b=b*a$
- Ryhmän kaikkien elementtien kanssa permutoituvaa elementtijoukkoa kutsutaan ryhmän keskipisteeksi .
- Ryhmää, jossa mitkä tahansa kaksi elementtiä liikennöivät, kutsutaan kommutatiiviseksi tai abelilaiseksi .
Aliryhmä on ryhmän osajoukko,joka on ryhmä kohdassa määriteltyyn toimintoon nähden. $H$ $G$ $G$
Ryhmän järjestys on teho (eli sen elementtien lukumäärä). $(G*)$ $G$
- Jos joukko on äärellinen, niin ryhmän sanotaan olevan
äärellinen . $G$

Ryhmähomomorfismit ovat ryhmien kartoituksia , jotka säilyttävät ryhmärakenteen. Toisin sanoen ryhmien kartoitusta kutsutaan homomorfismiksi , jos se täyttää ehdon .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

f(a*b)=f(a)\kertaa f(b)

Kahden ryhmän sanotaan olevan isomorfinen , jos on olemassa ryhmähomomorfismi ja ryhmähomomorfismi siten, että ja , missä ja . Tässä tapauksessa näitä homomorfismeja kutsutaan isomorfismeiksi .

f\colon (G,*)\to (H,\times )

g\colon (H,\times )\to (G,*)

f(g(a)) = a

g(f(b))=b

b\in G

a\in H

Elementille vasen kosetti alaryhmäkohtaisesti on joukko ja oikea alaryhmäkohtainen kosetti joukko .

g\in G

H

{\displaystyle gH=\{gh\mid h\in H\))

H

{\displaystyle Hg=\{hg\mid h\in H\))

Normaali alaryhmä on erikoistyyppinen alaryhmä, jonka vasen ja oikea kosetit ovat samat. Kaikille,.

g\in G

gH = Hg

Osamääräryhmä on joukko ryhmän kosetteja suhteessa sen normaaliin alaryhmään, joka itse on ryhmä.

Vakiomerkintä

Kertova merkintä

Yleensä ryhmäoperaatiota kutsutaan (abstraktiksi) kertolaskuksi ; sitten käytetään kertovaa merkintää :

operaation tulosta kutsutaan tuotteeksi ja kirjoitetaan tai ; $a\cdot b$ $ab$
neutraali elementti on merkitty " " tai ja sitä kutsutaan yksiköksi ; ${\näyttötyyli 1}$ $e$
elementin käänteisarvo kirjoitetaan muodossa . $a$ $a^{-1}$

Jos ryhmäoperaatiota kutsutaan kertolaskuksi , niin tällaista ryhmää itseään kutsutaan kertovaksi ja täydellä merkinnällä (kun he haluavat nimenomaisesti osoittaa ryhmäoperaation) ne merkitään seuraavasti :. $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$

Useat tuotteet , , kirjoitetaan luonnollisina voimina , , [7] . Elementille kokonaislukuaste määritellään oikein [ 8] , se kirjoitetaan seuraavasti: , . $aa$ $aaa$ $...$ $a^2$ $a^{3}$ $...$ $a$ $a^{0}=e$ ${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n))$

Additiiviset merkinnät

Kommutatiivisessa ryhmässä määrittävä operaatio nähdään usein (abstraktina) yhteenlaskuna ja kirjoitetaan additiivisesti :

kirjoita " " ja kutsu tuloksena olevaa elementtiä elementtien summaksi ja ; ${\näyttötyyli a+b}$ $a$ $b$
neutraali elementti on merkitty " " ja sitä kutsutaan nollaksi ; $0$
käänteiselementti to merkitään " " ja sitä kutsutaan sen vastakohtaksi elementille ; $a$ $-a$ $a$
merkintä lyhennetään seuraavasti: ; $a+(-b)=ab$
muotoa , olevat ilmaukset on merkitty symboleilla , , . $a+a$ $a+a+a$ $-aa$ $2a$ $3a$ $-2a$

Jos ryhmäoperaatiota kutsutaan lisäykseksi , niin tällaista ryhmää itseään kutsutaan additiiviseksi ja se merkitään täydellä merkinnällä seuraavasti :. [9] Tämä termi viittaa vain tapaan, jolla operaatio kirjoitetaan ryhmässä; se on hyödyllinen, kun joukolle on määritetty useita operaatioita. Voidaan esimerkiksi puhua reaalilukujen additiivinen ryhmä tai positiivisten reaalilukujen kertova ryhmä . Lisäksi on tapauksia, joissa additiivinen ryhmä on isomorfinen multiplikatiiviselle ryhmälle (katso Juuret yhtenäisyydestä ). $\mathrm {G}$ $(\mathrm {G} ,+)$

Esimerkkejä

Summa -operaatiolla varustettu kokonaislukujoukko on ryhmä .
Kaikkien rationaalilukujen joukko nollaa lukuun ottamatta kertolaskuoperaatiolla on ryhmä.

Ryhmiä käytetään matematiikan eri osa-alueilla. Esimerkiksi topologiassa ottamalla käyttöön perusryhmän käsite [10] . Ryhmien teoreettisen soveltamisen lisäksi on monia tapoja soveltaa ryhmiä käytännössä. Niitä käytetään esimerkiksi kryptografiassa , joka perustuu laskennalliseen ryhmäteoriaan ja algoritmien tuntemiseen .

Ryhmäteorian soveltaminen ei rajoitu matematiikkaan, sitä käytetään laajalti sellaisissa tieteissä kuin fysiikka , kemia ja tietojenkäsittelytiede .

Kokonaisluvut modulo $n$ - modulo-lisäyksen tulos on summan jäännös, kun se jaetaan luvulla . Kokonaislukujen joukko alkaen - muodostaa ryhmän tällä toiminnolla. Neutraali alkio on , k:n käänteisalkio on luku . Hyvä esimerkki tällaisesta ryhmästä $n$ $n$ $0$ $n-1$ $0$ $a\neq 0$ $na\equiv -a{\pmod {n}}$

siellä voi olla kello kellotaululla [11] .

Kokonaisluvut summausoperaatiolla . on kommutatiivinen ryhmä neutraalilla elementillä. Kokonaisluvut kertolaskuoperaatiolla eivät muodosta ryhmää. Sulkemista, assosiatiivisuutta ja neutraalin elementin olemassaoloa tapahtuu, mutta aksiooma käänteisen elementin olemassaolosta ei päde. Esimerkiksi, silloinse on. Käänteisalkio ei ole kokonaisluku [12] . $(\mathbb{Z},+)$ $0$ $a = 2$ $a\cdot b=1$ $b = 1/2$
Positiiviset rationaaliset luvut kertolaskuoperaatiolla. Rationaalilukujen tulo on jälleen rationaaliluku, rationaaliluvun käänteisalkio esitetään käänteisluvulla, assosiatiivisuus on olemassa ja neutraali alkio on yksi [12] .
Vapaa ryhmä , jossa on kaksi generaattoria (), koostuu tyhjästä sanasta (ryhmäyksikkö) ja kaikista neljän merkin äärellisistä sanoista,janiistä, jotkaeivätnäy vieressäeivätkäsen vieressä. Tällaisten sanojen kertominen on yksinkertaisesti kahden sanan yhdistelmä yhdeksi, jota seuraa parien,,ja [13] vähentäminen . $F_{2}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $a$ $a^{{-1}}$ $b$ $b^{{-1}}$ $aa^{-1}$ $a^{-1}a$ $bb^{-1}$ $b^{{-1}}b$
Symmetrinen ryhmä . Kaikkien äärellisen joukon bijektioiden joukko itseensä kokoonpanooperaatiolla on äärellinen ryhmä ,jota kutsutaan symmetriseksi ryhmäksi tai permutaatioryhmäksi . Elementtijoukon äärellisen symmetrisen ryhmänkardinaalisuuson. Sillätämä ryhmä ei ole abelilainen [14] . Mikä tahansa äärellinen ryhmä on jonkin symmetrisen ryhmän alaryhmä ( Cayleyn lause ) [12] [15] . $S_{n}$ $n$ $n!$ $n\geq 3$

Sykliset ryhmät koostuvatyhden elementin. Elementtiäkutsutaan syklisen ryhmän generaattoriksi . Sykliset ryhmät ovat aina kommutatiivisia. Esimerkki tällaisesta ryhmästä on jo mainitut kokonaislukujen summaus. Syklinen on ryhmä, joka koostuu ykkösjuurista , eli ryhmä kompleksilukuja , jotka täyttävät kompleksilukujen kertomisenehdon ja toiminnon [16] . Kertova äärellinen ryhmäon myös syklinen. Esimerkiksion ryhmän luova elementti,kun: ${\displaystyle \langle a\rangle =\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \))$ $a$ $a$ $n$ $z$ $z^{n}=1$ $(\mathrm {G} ,\cdot )$ $3$ $\mathrm {G}$ $n = 5$

\begin{align} 3^1 &\equiv 3 \pmod 5\\ 3^2 &\equiv 4 \pmod 5\\ 3^3 &\equiv 2 \pmod 5\\ 3^4 &\equiv 1 \pmod 5\, \end{align}

Rubikin kuution ryhmä on symmetrisen ryhmän alaryhmä,jonka elementit vastaavat Rubikin kuution muunnoksia . Kahden muunnoksen koostumus on jälleen muunnos, jokaiselle muunnokselle on käänteisalkio, assosiatiivisuus ja neutraali elementti [17] . $S_{{48}}$
Galois-ryhmät . Ne otettiin käyttöön matematiikassa polynomiyhtälöiden ratkaisemiseksi yhdessä muuttujassa radikaaleissa . Esimerkiksi toisen asteen yhtälön ratkaisu antaa juuret: Kolmannen ja neljännen asteen yhtälöille on samanlaisia kaavoja, mutta niitä ei ole olemassa asteenja sitä korkeammille yhtälöille [18] . $ax^{2}+bx+c=0$ $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}.$ $5$

Yksinkertaisimmat ominaisuudet

Jokaisen elementin käänteiselementti on yksilöllinen. $a$ $a^{{-1}}$
Neutraali elementti on ainutlaatuinen: Jos ovat neutraaleja, niin . ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1}\cdot e_{2}=e_{1}=e_{2}\cdot e_{1}=e_{2}=e_{1))$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
$(a^{-1})^{-1}=a$ .
${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n))$ .
$e^{n}=e$ , mille tahansa [9] . $n\in \mathbb {Z}$
$(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}$ .
Vähennyksen lait ovat oikein : $c\cdot a=c\cdot b\Leftrightarrow a=b$ , $a\cdot c=b\cdot c\Leftrightarrow a=b$ .
Käänteinen elementti neutraalille on itse neutraali elementti [19] .
Ryhmä sisältää ainutlaatuisen ratkaisun mille tahansa yhtälölle tai ; toisin sanoen ryhmässä yksilöllisesti määritellyt oikeat ja vasemmat "jaot" ovat mahdollisia [1] . $x$ $x\cdot c=b$ $c\cdot x=b$
Ryhmän kahden alaryhmän leikkauspiste on ryhmän alaryhmä [20] . $\mathrm {G}$ $\mathrm {G}$
Lagrangen lause : jos on äärellisen järjestyksen ryhmä , niin minkä tahansa sen aliryhmän järjestys on ryhmän järjestyksen jakaja. Tästä seuraa, että minkä tahansa elementin järjestys jakaa myös ryhmän järjestyksen [21] . $\mathrm {G}$ $g$ $g_{1}$ $\mathrm {G_{1}}$
Lagrangen lausetta ja Sylow'n lauseita käytetään määrittämään ryhmän alaryhmien lukumäärä .

Ryhmän luomistapoja

Ryhmä voidaan asettaa:

Generointijoukon [22] ja sen elementtien välisten suhteiden joukon avulla ;
Tekijäryhmä , jossa on jokin ryhmä ja sen normaali alaryhmä [23] ; $G/H$ $G$ $H$
Kahden ryhmän puolisuora tuote ja erityisesti
- Kahden ryhmän suora tulo , eli joukon pareja, joilla on komponenttikohtainen kertolasku: [24] ; ${\näyttötyyli (G,\cdot )}$ ${\näyttötyyli (H,\cdot )}$ $G\times H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}\cdot g_{2},h_{1}\cdot h_{2} )$
Kahden ryhmän vapaa tulo: ryhmien vapaa tulo on ryhmä, jonka generaattorijärjestelmä [25] on generaattoreiden ja järjestelmien liitto , ja suhdejärjestelmä [26] on suhdejärjestelmien ja [ 27] . $G$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$

Historia

Nykyaikainen ryhmän käsite muodostui useista matematiikan osa-alueista. Alkuperäinen ryhmäteorian liikkeellepaneva voima oli etsiä ratkaisuja algebrallisiin yhtälöihin, joiden aste on suurempi kuin neljä. 1800-luvun ranskalainen matemaatikko Évariste Galois jalostettuaan Ruffinin ja Lagrangen tutkimuksia antoi kriteerin tietyn algebrallisen yhtälön ratkaistavuudelle sen ratkaisujen symmetriaryhmän suhteen . Tällaisen Galois-ryhmän elementit vastaavat tiettyjä juurien permutaatioita . Hänen aikalaiset hylkäsivät Galoisin ideat, ja Liouville julkaisi ne postuumisti vuonna 1846. Perustuen samaan työhön kuin Galois, Cauchy tutki permutaatioryhmiä yksityiskohtaisesti [3] . Äärillisen ryhmän käsitteen esitteli ensimmäisen kerran Arthur Cayley vuonna 1854 teoksessaan " Ryhmien teoriasta riippuen symbolisesta yhtälöstä θ n 1 " ) [28] . $=$

Geometria on toinen alue, jolla ryhmiä on sovellettu systemaattisesti, erityisesti symmetriaryhmiä osana saksalaisen matemaatikon Felix Kleinin " Erlangen - ohjelmaa" . Uusien geometrian haarojen, kuten hyperbolisen ja projektiivisen geometrian , ilmaantumisen jälkeen Klein käytti ryhmäteoriaa sovittaakseen ne paremmin yhteen. Näiden ajatusten kehittäminen edelleen johtaa Lie-ryhmän käsitteen käyttöönottamiseksi matematiikassa vuonna 1884 [3] .

Kolmas matematiikan alue, joka vaikutti ryhmäteorian kehitykseen, on lukuteoria . Joitakin Abelin ryhmiä käytettiin implisiittisesti Gaussin aritmeettisissa tutkimuksissa (1801) . Vuonna 1847 Ernst Kummer teki ensimmäiset yritykset todistaa Fermatin viimeinen lause käyttämällä alkulukuja kuvaavia ryhmiä. Vuonna 1870 Kronecker yleisti Kummerin työn ja antoi määritelmän, joka on lähellä nykyistä rajallisen Abelin ryhmän määritelmää [3] .

Ryhmäteorian erottaminen alkoi Camille Jordanin Traktaatti muutoksista ja algebrallisista yhtälöistä (1870) [29] . 1900-luvulla ryhmäteoria alkoi kehittyä aktiivisesti. Syntyi Frobeniuksen ja Burnsiden uraauurtava työ äärellisten ryhmien esittämisestä, Richard Braurin modulaarinen esitysteoria ja Schurin merkinnät . Weyl ja Cartan edistyivät merkittävästi Lie - ryhmien ja paikallisesti kompaktien ryhmien teorian tutkimuksessa . Algebrallinen lisäys näihin teorioihin oli algebrallisten ryhmien teoria , jonka ensin muotoili Claude Chevalley ja joka mainittiin myöhemmin Borelin ja Titsin teoksissa [3] .

Lukuvuonna 1960–1961 Chicagon yliopisto järjesti ryhmäteorian vuoden, joka kokosi yhteen teoreetikot, kuten Daniel Gorenstein, John Thompson ja Walter Feith, mikä loi pohjan useiden matemaatikoiden yhteistyölle, jotka myöhemmin päättelivät. luokittelulause kaikille yksinkertaisille äärellisille ryhmille vuosina 1980. -s. Tämä projekti ylitti kooltaan kaikki aiemmat yritykset luokitella ryhmiä sekä todisteiden pituuden että tähän työhön osallistuneiden tiedemiesten lukumäärän suhteen. Nykyinen tutkimus tähtää ryhmien luokittelun yksinkertaistamiseen. Tällä hetkellä ryhmäteoria kehittyy edelleen aktiivisesti ja vaikuttaa muihin matematiikan aloihin [5] [30] [31] .

Muunnelmia ja yleistyksiä

Groupoid on joukko, jolle on määritelty binäärioperaatio [32] .
Kvasiryhmä on ryhmäoidi , joka koostuu jostakin joukosta ja binäärioperaatiosta siten, että millä tahansa on ainutlaatuisia elementtejä ja sellainen, että ja [33] . $Q$ $\cdot$ $a,b\in Q$ $x$ ${\näyttötyyli y}$ $a\cdot x=b$ $y\cdot a=b$
Puoliryhmä on algebrallinen järjestelmä , johon on määritelty assosiatiivinen binäärioperaatio . Luonnollisten lukujen joukko yhteenlaskuoperaatiolla muodostaa puoliryhmän [34] .
Joukkoa, jolle on määritelty binääritoiminto , joka täyttää vain kaksi ensimmäistä aksioomaa, kutsutaan monoidiksi . Ei-negatiivisten kokonaislukujen joukko summausoperaatiolla muodostaa monoidin [34] . $G$

Ryhmät lisärakenteella

Monilla ryhmillä on samanaikaisesti jokin muu (lisä) matemaattinen rakenne. Kategoriateorian kielellä nämä ovat ryhmäobjekteja kategoriassa ; toisin sanoen nämä ovat objekteja (eli esimerkiksi joukkoja, joilla on tietty matemaattinen rakenne), joille on annettu tiettyjen muunnosten luokka (kutsutaan morfismeiksi ) ryhmän aksioomien mukaisesti. Erityisesti jokainen ryhmä (aiemmin määritellyssä merkityksessä) on samanaikaisesti joukko , joten ryhmä on ryhmäolio joukkojen kategoriassa Set (tämän kategorian morfismit ovat joukkojen kuvauksia ) [35] .

Sormukset

Rengas on joukko , jolle on määritelty kommutatiivisen yhteenlaskennan ja (ei välttämättä kommutatiivisen) kertolaskuoperaatiot, lisäksi K muodostaa summauksen suhteen ryhmän ja kertolasku liittyy yhteenlaskuun distributiivisen lain avulla. $K$

Rengasta kutsutaan kommutatiiviseksi ja assosiatiiviseksi , jos sille annettu kertolasku on kommutatiivinen ja vastaavasti assosiatiivinen. Renkaan elementtiä kutsutaan yksiköksi, jos seuraava ehto täyttyy: , jossa on mikä tahansa renkaan elementti. ${\näyttötyyli 1}$ $a\cdot 1=1\cdot a=a$ $a$

Numeeriset joukot Z , Q , R ovat kommutatiivisia assosiatiivisia renkaita, joilla on identtisyys. Vektorien kertolaskuoperaatiolla varustettujen vektorien joukko on antikommutatiivinen rengas (eli ) johtuen vektorin kertomisen ominaisuuksista [36] : . $a\cdot b=-b\cdot a$ $a\times b+b\times a=0$

Kentät

Kenttä on kommutatiivinen assosiatiivinen rengas yksikön kanssa, ja se muodostaa summauksen suhteen ryhmän ja sen nollasta poikkeavat elementit ovat kertolaskuryhmä. Kenttä ei voi koostua yhdestä nollasta. Rationaali- ja reaalilukujen joukot ovat kenttiä. Missä tahansa kentässä vain jos ja/tai [37] . $F$ $F$ $a\cdot b=0$ $a=0$ $b=0$

Topologiset ryhmät

Jotkut topologiset avaruudet voidaan varustaa ryhmärakenteella samanaikaisesti. Tässä tapauksessa tällainen tila voi osoittautua topologiseksi ryhmäksi .

Topologinen ryhmä on nimittäin ryhmä, joka on samanaikaisesti topologinen avaruus ja ryhmän elementtien kertominen ja käänteisen elementin ottaminen osoittautuvat jatkuviksi kuvauksiksi käytetyssä topologiassa [38] . Topologiset ryhmät ovat ryhmäobjekteja topologisissa avaruudessa Top [ 35] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$

Tärkeimmät esimerkit topologisista ryhmistä ovat reaalien additiivinen ryhmä , nollasta poikkeavien reaalien kertova ryhmä , täydellinen lineaarinen ryhmä , erityinen lineaarinen ryhmä , ortogonaalinen ryhmä , erityinen ortogonaalinen ryhmä , unitaarinen ryhmä , erityinen unitaarinen ryhmä [39 ] . $(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {R^{*}} ,\cdot )$ $GL(n)$ $SL(n)$ $Päällä)$ $SO(n)$ $U(n)$ $Aurinko)$

Valheryhmät

Lie-ryhmä ( Sofus Lie kunniaksi ) on ryhmä, joka on samanaikaisesti differentioituva monisto kentän K (jälkimmäisenä voi toimia reaali- tai kompleksilukujen kenttä) ja ryhmän elementtien kertolasku ja operaatio. käänteisen elementin ottaminen osoittautuu sileiksi kuvauksiksi (monimutkaisessa tapauksessa vaaditaan lisättyjen kuvausten holomorfia ). Lisäksi mikä tahansa kompleksiulotteinen Lie-ryhmä on samanaikaisesti todellinen Lie-ulottuvuuden ryhmä [40] . $\mathrm {G} \times \mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $\mathrm {G} \rightarrow \mathrm {G}$ $n$ $2n$

Kaikki edellisessä alakohdassa esimerkkeinä topologisista ryhmistä esitetyt konkreettiset ryhmät ovat samalla Lie-ryhmiä.

Valheryhmät syntyvät luonnollisesti, kun otetaan huomioon jatkuvat symmetriat ; siten Lie-ryhmä muodostuu [41] muodon isometrioista , jossa on euklidinen pisteavaruus . Tuloksena oleva ryhmä, merkitty [42] , on alaryhmä toisesta Lie-ryhmästä, avaruuden affinisesta ryhmästä , merkitty [43] . $\mathrm {E} \rightarrow \mathrm {E}$ $\mathrm {E}$ $Is(\mathrm {E} )$ $\mathrm {E}$ $Aff(\mathrm {E} )$

Valheryhmät ovat monista parhaita rakenteensa rikkauden kannalta, ja siksi ne ovat erittäin tärkeitä differentiaaligeometriassa ja topologiassa . Niillä on myös merkittävä rooli geometriassa, laskennassa, mekaniikassa ja fysiikassa [40] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Ryhmäteorian perusteet. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1982. - S. 16. - 288 s. - 11 800 kappaletta.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Ryhmäteorian perusteet. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1982. - S. 9-14. — 288 s. - 11 800 kappaletta.
↑ 1 2 3 4 5 Israel Kleiner. Ryhmäteorian kehitys: lyhyt kysely // Mathematics Magazine : aikakauslehti . - 1986. - lokakuu ( nide 59 , nro 4 ). - s. 195-215 . - doi : 10.2307/2690312 .
↑ Vain vuonna 2005 MathSciNetin mukaan julkaistiin yli 2 tuhatta tutkimusta ryhmäteorian ja yleistysten alalla .
↑ 1 2 Gorenstein D. Äärilliset yksinkertaiset ryhmät. Johdatus niiden luokitteluun = Finite simple Groups. Johdatus niiden luokitteluun / toim. A.I. Kostrikin. - Maailma. - Moskova: Mir, 1985. - S. 9-17. — 352 s. - 5250 kappaletta.
↑ Sagalovich, 2010 , s. viisikymmentä.
↑ Alkuaineen luonnollinen aste määritetään oikein assosiatiivisuuden vuoksi
↑ Oikeus seuraa käänteisen elementin ainutlaatuisuudesta.
↑ 1 2 Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Ryhmäteorian perusteet. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1982. - S. 18. - 288 s. - 11 800 kappaletta.
↑ Hatcher Allen. Algebrallinen topologia. - Cambridge: Cambridge University Press, 2002. - s. 30. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ M. Welschenbach. Luku 5 // Kryptografia C:ssä ja C++:ssa toiminnassa . - M . : "Triumph", 2004. - S. 81 -84. — 464 s. — ISBN 5-89392-083-X .
↑ 1 2 3 Olshansky A. Yu. Suhteiden määrittelyn geometria ryhmässä. - Nauka, 1989. - S. 18-19. — 448 s. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Ryhmäteorian perusteet. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1982. - S. 122-124. — 288 s. - 11 800 kappaletta.
↑ Kurosh A. G. Ryhmien teoria / toim. Brudno K.F. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1967. - S. 34. - 648 s. - 20 000 kappaletta.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra ja lukuteoria. - Higher School, 1979. - S. 351. - 559 s. - 40 000 kappaletta.
↑ Vinberg E. B. Ryhmäteorian perusteet. - 2. painos - Factorial Press, 2001. - S. 162-163. — 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Schonert, Martin. Rubikin kuution analysointi GAP :lla . Haettu 19. heinäkuuta 2013. Arkistoitu alkuperäisestä 5. syyskuuta 2013.
↑ Postnikov M. M. Galois'n teoria. - Moskova: Fizmatgiz, 1963. - S. 126-127. – 220 s. — 11 500 kappaletta.
↑ Kargapolov M.I., Merzlyakov Yu.I. Ryhmäteorian perusteet. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1982. - S. 17. - 288 s. - 11 800 kappaletta.
↑ Sagalovich, 2010 , s. 56.
↑ Kulikov L. Ya. Algebra ja lukuteoria. - Higher School, 1979. - S. 353. - 559 s. - 40 000 kappaletta.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1982. - S. 24. - 288 s. - 11 800 kappaletta.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet. - 3. painos - Moskova: Nauka, 1982. - S. 45-46. — 288 s. - 11 800 kappaletta.
↑ Vinberg E. B. Ryhmäteorian perusteet. - 2. - Factorial Press, 2001. - S. 409, 415. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 23.
↑ Leng S. Algbra. M .: Mir, 1964. S. 52.
↑ Olshansky A. Yu. Suhteiden määrittelyn geometria ryhmässä. - Nauka, 1989. - S. 330-331. — 448 s. - ISBN 5-02-013916-5 .
↑ Cayley (1854) "Ryhmien teoriasta, koska se riippuu symbolisesta yhtälöstä θ n = 1", Philosophical Magazine , 4. sarja, (42): 40-47.
↑ Wussing, Hans. Abstraktin ryhmäkäsitteen synty: panos abstraktin ryhmäteorian alkuperän historiaan. — Yleisen psykologian katsaus. - New York : Dover Publications , 2007. - S. 154. - ISBN 978-0-486-45868-7 .
↑ Leonard Scott, Ronald Solomon, John Thompson, John Walter, Efim Zelmanov. Walter Feit (1930–2004) Walter Feit (1930–2004) // Notices of the American Mathematical Society : Journal. - 2005. - elokuu ( osa 52 , nro 7 ) - s. 728-735 .
↑ Wilson, Robert A. Äärilliset yksinkertaiset ryhmät . — Matematiikan tutkinnon tekstit. - New York: Springer-Verlag , 2009. - P. 2 -5. - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
↑ Belousov V. D. Kvasiryhmien ja silmukoiden teorian perusteet. - Nauka, 1967. - S. 5. - 223 s. - 2800 kappaletta.
↑ Belousov V. D. Kvasiryhmien ja silmukoiden teorian perusteet. - Nauka, 1967. - S. 6. - 223 s. - 2800 kappaletta.
↑ 1 2 Kulikov L. Ya. Algebra ja lukuteoria. - Higher School, 1979. - S. 346-347. — 559 s. - 40 000 kappaletta.
↑ 1 2 Bucur I., Deleanu A. Johdanto // Johdatus kategorioiden ja funktoreiden teoriaan = Introduction to the theory of kategoriat ja funktorit / käänn. englannista. D. A. Raikova , V. F. Retakh . - M .: Mir, 1972. - S. 9-10. — 259 s.
↑ Vinberg E. B. Ryhmäteorian perusteet. - 2. painos - Factorial Press, 2001. - S. 14-15. — 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Vinberg E. B. Ryhmäteorian perusteet. - 2. painos - Factorial Press, 2001. - S. 16. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Bourbaki N. Yleinen topologia. Topologiset ryhmät. Numerot ja niihin liittyvät ryhmät ja välilyönnit. M .: Nauka, 1969. S. 12.
↑ Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Topologian alkukurssi. Geometriset päät. M .: Nauka, 1977. S. 268-271.
↑ 1 2 Vinberg E. B. Ryhmäteorian perusteet. - 2. painos - Factorial Press, 2001. - S. 501. - 544 s. — ISBN 5-88688-060-7 .
↑ Kostrikin A.I., Manin Yu.I. Lineaarinen algebra ja geometria. M .: Nauka, 1986. S. 201.
↑ Dieudonné J. Lineaarinen algebra ja alkugeometria. M .: Nauka, 1972. S. 129.
↑ Dolgachev I. V., Shirokov A. P. Affine space // Matem. tietosanakirja. T. 1. M .: Sov. tietosanakirja, 1982. Stb. 362-363.

Kirjallisuus

Tieteellinen kirjallisuus

Sagalovich Yu. L. Johdatus algebrallisiin koodeihin - 2. painos. - M. : IPPI RAN , 2010. - 320 s. — ISBN 978-5-901158-14-2
Belonogov V. A. Tehtäväkirja ryhmäteoriasta. Moskova: Nauka, 2000.
Kargapolov MI, Merzlyakov Yu. I. Ryhmäteorian perusteet. Moskova: Nauka, 1982.
Kostrikin A.I. Johdatus algebraan. Moskova: Nauka, 1977.
Kurosh A.G. Ryhmien teoria. (3. painos). Moskova: Nauka, 1967.
Hall M. Ryhmien teoria. M.: Ulkomaisen kirjallisuuden kustantamo, 1962.
Gorenstein D. Rajalliset ryhmät. NY: Harper ja Row, 1968.
Huppert B. Endliche Gruppen. IB: Springer, 1967.

Suosittu kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus ryhmäteoriaan . - T. 7. - ( "Kirjasto Kvant" ).
Sadovsky L., Arshinov M. Ryhmät // Kvant . - 1976. - Nro 10 .
Ryhmä // Nuoren matemaatikon tietosanakirja / Comp. A.P. Savin. - M . : Pedagogiikka , 1985. - S. 88 -94. — 352 s.

Ryhmäteoria
Peruskonseptit	Alaryhmä Normaali alaryhmä Tekijäryhmä Työ suoraan puolisuorat vapaa
Algebralliset ominaisuudet	kommutatiivista ryhmää Syklinen ryhmä tilattu ryhmä Muutosryhmä Ratkaistava ryhmä Schreierin Lemma Lagrangen lause Sylowin lauseet Yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelu
rajalliset ryhmät	Äärillinen syklinen ryhmä C n Symmetrinen ryhmä S n Dihedral ryhmä D n Vaihteleva ryhmä A n Kleinin neljän hengen ryhmä Mathieun ryhmät M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway-ryhmät Yhteistyö 1 Co2_ _ Co3_ _ Jankon ryhmät J1_ _ J2_ _ J3_ _ J4_ _ Kalastajaryhmät F22 _ F 23 F24 _ Hirviö (M)
Topologiset ryhmät	Valheryhmät Ortogonaalinen ryhmä O(n) Erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(n) Yhtenäinen ryhmä U(n) Erityinen yhtenäinen ryhmä SU(n) Symplektinen ryhmä Sp(n) Poikkeuksellisen yksinkertainen Lorentzin ryhmä Poincarén ryhmä
Algoritmit ryhmissä	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourier-muunnos

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Hienoa norjalaista Britannica (verkossa) Brockhaus Universalis Universalis
Bibliografisissa luetteloissa	GND : 4022379-6