Ryhmä on matematiikassa ei-tyhjä joukko , jolle määritellään assosiatiivinen binäärioperaatio , ja tälle operaatiolle on neutraali elementti (analoginen kertolaskuyksikön kanssa), ja jokaisella joukon elementillä on käänteisarvo . Yleisalgebran haaraa , joka käsittelee ryhmiä, kutsutaan ryhmäteoriaksi [1] .
Yksi esimerkki ryhmästä on kokonaislukujoukko , joka on varustettu summausoperaatiolla : minkä tahansa kahden kokonaisluvun summa antaa myös kokonaisluvun, nolla toimii neutraalina elementtinä ja vastakkainen luku on käänteisalkio. Muita esimerkkejä ovat reaalilukujen joukko summausoperaatiolla, tason kiertojen joukko origon ympärillä . Ryhmän abstraktin määritelmän ansiosta aksioomijärjestelmän avulla , joka ei ole sidottu generointijoukkojen erityispiirteisiin, ryhmäteoria on luonut universaalin laitteiston, jolla voidaan tutkia laajaa luokkaa mitä monimuotoisimman alkuperän matemaattisia objekteja . niiden rakenteen yleiset ominaisuudet . Ryhmien yleisyys matematiikassa ja sen ulkopuolella tekee niistä olennaisen rakenteen modernissa matematiikassa ja sen sovelluksissa.
Ryhmä liittyy pohjimmiltaan symmetrian käsitteeseen ja on tärkeä työkalu sen kaikkien ilmenemismuotojen tutkimuksessa. Esimerkiksi symmetriaryhmä heijastaa geometrisen kohteen ominaisuuksia: se koostuu joukosta muunnoksia , jotka jättävät kohteen ennalleen, ja kahden sellaisen muunnoksen yhdistämisoperaatiosta, jotka seuraavat peräkkäin. Symmetriaryhmät, kuten pistesymmetriaryhmät, ovat hyödyllisiä kemian molekyylisymmetrian ilmiön ymmärtämisessä; Poincare-ryhmä luonnehtii fyysisen aika-avaruuden symmetriaa ja alkeishiukkasfysiikan standardimallissa käytetään erityisiä unitaarisia ryhmiä [2] .
Ryhmän käsitteen esitteli Evariste Galois tutkiessaan polynomeja 1830- luvulla [3] .
Nykyaikainen ryhmäteoria on aktiivinen matematiikan haara [4] . Yksi vaikuttavimmista tuloksista saavutettiin vuonna 1981 valmistuneessa yksinkertaisten äärellisten ryhmien luokittelussa : lauseen todisteena on kymmeniä tuhansia sivuja sadoista tieteellisistä artikkeleista yli sadalta kirjailijalta, jotka on julkaistu vuodesta 1955 lähtien, mutta artikkelit näkyvät edelleen todistuksessa havaittavien aukkojen vuoksi [5] . 1980-luvun puolivälistä lähtien ryhmien geometrinen teoria , joka tutkii äärellisesti generoituja ryhmiä geometrisina esineinä, on saanut merkittävää kehitystä.
Ei-tyhjää joukkoa , jolle on määritetty binääritoiminto : kutsutaan ryhmäksi, jos seuraavat aksioomit ovat tosia :
Kaksi viimeistä aksioomaa voidaan korvata yhdellä käänteisoperaation olemassaolon aksioomilla :
.
Lisäksi yllä olevat aksioomit eivät ole tiukasti minimaalisia. Neutraalin ja käänteisen elementin olemassaoloon riittää, että on vasen neutraalielementti ja vasen käänteiselementti . Samalla voidaan osoittaa, että ne ovat automaattisesti tavallisia neutraaleja ja käänteisiä elementtejä [6] .
Yleensä ryhmäoperaatiota kutsutaan (abstraktiksi) kertolaskuksi ; sitten käytetään kertovaa merkintää :
Jos ryhmäoperaatiota kutsutaan kertolaskuksi , niin tällaista ryhmää itseään kutsutaan kertovaksi ja täydellä merkinnällä (kun he haluavat nimenomaisesti osoittaa ryhmäoperaation) ne merkitään seuraavasti :.
Useat tuotteet , , kirjoitetaan luonnollisina voimina , , [7] . Elementille kokonaislukuaste määritellään oikein [ 8] , se kirjoitetaan seuraavasti: , .
Kommutatiivisessa ryhmässä määrittävä operaatio nähdään usein (abstraktina) yhteenlaskuna ja kirjoitetaan additiivisesti :
Jos ryhmäoperaatiota kutsutaan lisäykseksi , niin tällaista ryhmää itseään kutsutaan additiiviseksi ja se merkitään täydellä merkinnällä seuraavasti :. [9] Tämä termi viittaa vain tapaan, jolla operaatio kirjoitetaan ryhmässä; se on hyödyllinen, kun joukolle on määritetty useita operaatioita. Voidaan esimerkiksi puhua reaalilukujen additiivinen ryhmä tai positiivisten reaalilukujen kertova ryhmä . Lisäksi on tapauksia, joissa additiivinen ryhmä on isomorfinen multiplikatiiviselle ryhmälle (katso Juuret yhtenäisyydestä ).
Ryhmiä käytetään matematiikan eri osa-alueilla. Esimerkiksi topologiassa ottamalla käyttöön perusryhmän käsite [10] . Ryhmien teoreettisen soveltamisen lisäksi on monia tapoja soveltaa ryhmiä käytännössä. Niitä käytetään esimerkiksi kryptografiassa , joka perustuu laskennalliseen ryhmäteoriaan ja algoritmien tuntemiseen .
Ryhmäteorian soveltaminen ei rajoitu matematiikkaan, sitä käytetään laajalti sellaisissa tieteissä kuin fysiikka , kemia ja tietojenkäsittelytiede .
siellä voi olla kello kellotaululla [11] .
Ryhmä voidaan asettaa:
Nykyaikainen ryhmän käsite muodostui useista matematiikan osa-alueista. Alkuperäinen ryhmäteorian liikkeellepaneva voima oli etsiä ratkaisuja algebrallisiin yhtälöihin, joiden aste on suurempi kuin neljä. 1800-luvun ranskalainen matemaatikko Évariste Galois jalostettuaan Ruffinin ja Lagrangen tutkimuksia antoi kriteerin tietyn algebrallisen yhtälön ratkaistavuudelle sen ratkaisujen symmetriaryhmän suhteen . Tällaisen Galois-ryhmän elementit vastaavat tiettyjä juurien permutaatioita . Hänen aikalaiset hylkäsivät Galoisin ideat, ja Liouville julkaisi ne postuumisti vuonna 1846. Perustuen samaan työhön kuin Galois, Cauchy tutki permutaatioryhmiä yksityiskohtaisesti [3] . Äärillisen ryhmän käsitteen esitteli ensimmäisen kerran Arthur Cayley vuonna 1854 teoksessaan " Ryhmien teoriasta riippuen symbolisesta yhtälöstä θ n 1 " ) [28] .
Geometria on toinen alue, jolla ryhmiä on sovellettu systemaattisesti, erityisesti symmetriaryhmiä osana saksalaisen matemaatikon Felix Kleinin " Erlangen - ohjelmaa" . Uusien geometrian haarojen, kuten hyperbolisen ja projektiivisen geometrian , ilmaantumisen jälkeen Klein käytti ryhmäteoriaa sovittaakseen ne paremmin yhteen. Näiden ajatusten kehittäminen edelleen johtaa Lie-ryhmän käsitteen käyttöönottamiseksi matematiikassa vuonna 1884 [3] .
Kolmas matematiikan alue, joka vaikutti ryhmäteorian kehitykseen, on lukuteoria . Joitakin Abelin ryhmiä käytettiin implisiittisesti Gaussin aritmeettisissa tutkimuksissa (1801) . Vuonna 1847 Ernst Kummer teki ensimmäiset yritykset todistaa Fermatin viimeinen lause käyttämällä alkulukuja kuvaavia ryhmiä. Vuonna 1870 Kronecker yleisti Kummerin työn ja antoi määritelmän, joka on lähellä nykyistä rajallisen Abelin ryhmän määritelmää [3] .
Ryhmäteorian erottaminen alkoi Camille Jordanin Traktaatti muutoksista ja algebrallisista yhtälöistä (1870) [29] . 1900-luvulla ryhmäteoria alkoi kehittyä aktiivisesti. Syntyi Frobeniuksen ja Burnsiden uraauurtava työ äärellisten ryhmien esittämisestä, Richard Braurin modulaarinen esitysteoria ja Schurin merkinnät . Weyl ja Cartan edistyivät merkittävästi Lie - ryhmien ja paikallisesti kompaktien ryhmien teorian tutkimuksessa . Algebrallinen lisäys näihin teorioihin oli algebrallisten ryhmien teoria , jonka ensin muotoili Claude Chevalley ja joka mainittiin myöhemmin Borelin ja Titsin teoksissa [3] .
Lukuvuonna 1960–1961 Chicagon yliopisto järjesti ryhmäteorian vuoden, joka kokosi yhteen teoreetikot, kuten Daniel Gorenstein, John Thompson ja Walter Feith, mikä loi pohjan useiden matemaatikoiden yhteistyölle, jotka myöhemmin päättelivät. luokittelulause kaikille yksinkertaisille äärellisille ryhmille vuosina 1980. -s. Tämä projekti ylitti kooltaan kaikki aiemmat yritykset luokitella ryhmiä sekä todisteiden pituuden että tähän työhön osallistuneiden tiedemiesten lukumäärän suhteen. Nykyinen tutkimus tähtää ryhmien luokittelun yksinkertaistamiseen. Tällä hetkellä ryhmäteoria kehittyy edelleen aktiivisesti ja vaikuttaa muihin matematiikan aloihin [5] [30] [31] .
Monilla ryhmillä on samanaikaisesti jokin muu (lisä) matemaattinen rakenne. Kategoriateorian kielellä nämä ovat ryhmäobjekteja kategoriassa ; toisin sanoen nämä ovat objekteja (eli esimerkiksi joukkoja, joilla on tietty matemaattinen rakenne), joille on annettu tiettyjen muunnosten luokka (kutsutaan morfismeiksi ) ryhmän aksioomien mukaisesti. Erityisesti jokainen ryhmä (aiemmin määritellyssä merkityksessä) on samanaikaisesti joukko , joten ryhmä on ryhmäolio joukkojen kategoriassa Set (tämän kategorian morfismit ovat joukkojen kuvauksia ) [35] .
Rengas on joukko , jolle on määritelty kommutatiivisen yhteenlaskennan ja (ei välttämättä kommutatiivisen) kertolaskuoperaatiot, lisäksi K muodostaa summauksen suhteen ryhmän ja kertolasku liittyy yhteenlaskuun distributiivisen lain avulla.
Rengasta kutsutaan kommutatiiviseksi ja assosiatiiviseksi , jos sille annettu kertolasku on kommutatiivinen ja vastaavasti assosiatiivinen. Renkaan elementtiä kutsutaan yksiköksi, jos seuraava ehto täyttyy: , jossa on mikä tahansa renkaan elementti.
Numeeriset joukot Z , Q , R ovat kommutatiivisia assosiatiivisia renkaita, joilla on identtisyys. Vektorien kertolaskuoperaatiolla varustettujen vektorien joukko on antikommutatiivinen rengas (eli ) johtuen vektorin kertomisen ominaisuuksista [36] : .
Kenttä on kommutatiivinen assosiatiivinen rengas yksikön kanssa, ja se muodostaa summauksen suhteen ryhmän ja sen nollasta poikkeavat elementit ovat kertolaskuryhmä. Kenttä ei voi koostua yhdestä nollasta. Rationaali- ja reaalilukujen joukot ovat kenttiä. Missä tahansa kentässä vain jos ja/tai [37] .
Jotkut topologiset avaruudet voidaan varustaa ryhmärakenteella samanaikaisesti. Tässä tapauksessa tällainen tila voi osoittautua topologiseksi ryhmäksi .
Topologinen ryhmä on nimittäin ryhmä, joka on samanaikaisesti topologinen avaruus ja ryhmän elementtien kertominen ja käänteisen elementin ottaminen osoittautuvat jatkuviksi kuvauksiksi käytetyssä topologiassa [38] . Topologiset ryhmät ovat ryhmäobjekteja topologisissa avaruudessa Top [ 35] .
Tärkeimmät esimerkit topologisista ryhmistä ovat reaalien additiivinen ryhmä , nollasta poikkeavien reaalien kertova ryhmä , täydellinen lineaarinen ryhmä , erityinen lineaarinen ryhmä , ortogonaalinen ryhmä , erityinen ortogonaalinen ryhmä , unitaarinen ryhmä , erityinen unitaarinen ryhmä [39 ] .
Lie-ryhmä ( Sofus Lie kunniaksi ) on ryhmä, joka on samanaikaisesti differentioituva monisto kentän K (jälkimmäisenä voi toimia reaali- tai kompleksilukujen kenttä) ja ryhmän elementtien kertolasku ja operaatio. käänteisen elementin ottaminen osoittautuu sileiksi kuvauksiksi (monimutkaisessa tapauksessa vaaditaan lisättyjen kuvausten holomorfia ). Lisäksi mikä tahansa kompleksiulotteinen Lie-ryhmä on samanaikaisesti todellinen Lie-ulottuvuuden ryhmä [40] .
Kaikki edellisessä alakohdassa esimerkkeinä topologisista ryhmistä esitetyt konkreettiset ryhmät ovat samalla Lie-ryhmiä.
Valheryhmät syntyvät luonnollisesti, kun otetaan huomioon jatkuvat symmetriat ; siten Lie-ryhmä muodostuu [41] muodon isometrioista , jossa on euklidinen pisteavaruus . Tuloksena oleva ryhmä, merkitty [42] , on alaryhmä toisesta Lie-ryhmästä, avaruuden affinisesta ryhmästä , merkitty [43] .
Valheryhmät ovat monista parhaita rakenteensa rikkauden kannalta, ja siksi ne ovat erittäin tärkeitä differentiaaligeometriassa ja topologiassa . Niillä on myös merkittävä rooli geometriassa, laskennassa, mekaniikassa ja fysiikassa [40] .
Ryhmäteoria | |
---|---|
Peruskonseptit | |
Algebralliset ominaisuudet | |
rajalliset ryhmät |
|
Topologiset ryhmät | |
Algoritmit ryhmissä |
![]() | |
---|---|
Bibliografisissa luetteloissa |