Symmetriaryhmät

Jonkin kohteen symmetriaryhmä (myös symmetriaryhmä ) (polyhedron tai pistejoukko metriavaruudesta ) on ryhmä kaikkia muunnoksia, joille tämä objekti on invariantti , ja kompositio on ryhmäoperaatio. Pääsääntöisesti huomioidaan n - ulotteisen euklidisen avaruuden pisteiden joukkoja ja tämän avaruuden liikkeitä , mutta symmetriaryhmän käsite säilyttää merkityksensä yleisemmissä tapauksissa.

Esimerkkejä

• Segmentin symmetriaryhmä yksiulotteisessa avaruudessa sisältää kaksi elementtiä: identtisen muunnoksen ja heijastuksen segmentin keskikohdan suhteen. Mutta kaksiulotteisessa euklidisessa avaruudessa on jo 4 liikettä, jotka muuttavat annetun segmentin itsestään. Kolmiulotteisessa avaruudessa segmentillä on ääretön joukko symmetrioita (symmetriaryhmän elementit ovat erityisesti kiertoja mielivaltaisen kulman läpi tämän janan sisältävän suoran ympäri).
• Tasasivuisen kolmion symmetriaryhmä koostuu identtisestä muunnoksesta, 120° ja 240° kierroksista kolmion keskipisteen ympäri ja heijastuksista sen korkeuksien ympärillä. Tässä tapauksessa symmetriaryhmä koostuu 6 muunnoksesta, jotka suorittavat kaikki mahdolliset kolmion kärkien permutaatiot. Siksi tämä ryhmä on isomorfinen symmetrisen ryhmän S3 kanssa . Neliön symmetriaryhmällä on kuitenkin luokkaa 8 ja symmetrinen ryhmä S4 on isomorfinen säännöllisen tetraedrin symmetriaryhmän kanssa.
• Skaalaanikolmion symmetriaryhmä on triviaali, eli se koostuu yhdestä elementistä, identtisestä muunnoksesta.
• Jos oletetaan, että ihmiskeho on peilisymmetrinen, niin sen symmetriaryhmä koostuu kahdesta elementistä: identtisestä muunnoksesta ja heijastuksesta tason ympäri, joka jakaa kehon oikeaan ja vasempaan osiin, jotka ovat symmetrisiä keskenään.
• Tason (tai ornamentin [1] ) mielivaltaisessa jaksollisessa tesellaatiossa on symmetriaryhmä, jonka elementit yhdistävät kaikin mahdollisin tavoin tietyn kiinteän laatoituselementin jokaisen sen kanssa yhteneväisen elementin kanssa . Tämä on erityinen (kaksiulotteinen) kristallografisten ryhmien tapaus, jota käsitellään alla.
• Hilojen symmetriaryhmät. Matematiikan eri alueilla käytetään erilaisia ​​hilan käsitteitä. Erityisesti:
  • Kiinteän olomuodon fysiikassa ja kristallografisten ryhmien teoriassa kidehila on joukko pisteitä affiinissa avaruudessa  , jolla on translaatiosymmetria . Tämän joukon symmetrioiden tulee säilyttää pisteiden välinen etäisyys, eli olla liikkeitä . Näiden liikkeiden ryhmä on kristallografinen ryhmä (tai surjektiivisesti homomorfisesti kristallografinen ryhmä) [2] .
  • Ryhmäteoriassa hila  on isomorfinen ryhmä , jossa on bilineaarinen muoto (kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa se vastaa Bravais-hilaa kristallografisten ryhmien teoriasta, joilla on erottuva alkuperä). Tällaisen hilan symmetrioiden on oltava ryhmän automorfismeja . Tällaisten automorfismien ryhmä, toisin kuin kristallografinen ryhmä, on äärellinen, jos hilan bilineaarinen muoto vastaa euklidista avaruutta [3] .
• Differentiaaliyhtälön symmetriaryhmä on ryhmä muuttujien muunnoksia, jotka säilyttävät yhtälön muodon ja muuttavat siten yhtälön ratkaisut ratkaisuiksi, jotka eivät yleisesti ottaen ole yhtäpitäviä alkuperäisten kanssa.

Luokitus

Alla oletetaan, että jokaiselle pisteelle kuvajoukko , jossa  on symmetriaryhmä, on topologisesti suljettu.

Yksiulotteinen avaruus

Jokainen yksiulotteisen avaruuden liike on joko suoran viivan kaikkien pisteiden siirtoa jollekin kiinteälle etäisyydelle tai heijastus jostain pisteestä. Yksiulotteisen avaruuden pistejoukolla on yksi seuraavista symmetriaryhmistä:

• triviaali ryhmä C1
• ryhmä, joka koostuu identiteettimuunnoksesta ja heijastuksesta pisteen ympäri (isomorfinen syklisen ryhmän C 2 kanssa )
• äärettömät ryhmät, jotka koostuvat jonkin siirron potenssista (isomorfinen äärettömään sykliseen ryhmään)
• äärettömät ryhmät, joiden generaattorit ovat jokin käännös ja heijastus johonkin pisteeseen nähden;
• kaikkien käännösten ryhmä (isomorfinen reaalilukujen additiiviseen ryhmään)
• kaikkien käännösten ja heijastusten ryhmä kunkin suoran pisteen suhteen

Kaksiulotteinen avaruus

Kaksiulotteisessa tapauksessa symmetriaryhmät on jaettu seuraaviin luokkiin:

• sykliset ryhmät C 1 , C 2 , C 3 , … jotka koostuvat 360°/ n :lla jaollisten kulmien pyörimisestä kiinteän pisteen ympäri
• kaksitahoiset ryhmät D 1 , D 2 , D 3 , …
• erityinen ortogonaalinen ryhmä SO(2)
• ortogonaalinen ryhmä O(2)
• 7 ryhmää reunakiveä
• 17 koristeryhmää (tai litteitä kristallografisia ryhmiä )
• äärettömät ryhmät, jotka saadaan yksiulotteisista symmetriaryhmistä lisäämällä käännöksiä kohtisuorassa alkuperäiseen viivaan nähden
• edellinen kappale, johon lisätään symmetria alkuperäisen viivan suhteen.

Kolmiulotteinen avaruus

Lista äärellisistä symmetriaryhmistä koostuu 7 äärettömästä sarjasta ja 7 tapauksesta erikseen tarkasteltuna. Tämä luettelo sisältää 32 pistekristallografista ryhmää ja säännöllisten polyhedrien symmetriaryhmiä .

Jatkuvat symmetriaryhmät sisältävät:

• oikeanpuoleisen pyöreän kartion symmetriaryhmä
• pyöreän sylinterin symmetriaryhmä
• pallon symmetriaryhmä

Katso myös

• Tavallinen polyhedra
• Luettelo kristallografisista ryhmistä
• Pistesymmetriaryhmä

Muistiinpanot

1. ↑ Matematiikassa tilan laatoitusta kutsutaan mosaiikiksi tai parketiksi .
2. ↑ Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Lämpöytimet ja analyysit jakoputkista, kuvaajista ja metriavaruuksista. - AMS, 2003. - s. 288. - ISBN 0-8218-3383-9 .
3. ↑ JH Conway ja NJA Sloane. Pallopakkaukset, ristikot ja ryhmät . – 3. painos - Springer-Verlag New York, Inc., 1999. - s  . 90 . — ISBN 0-387-98585-9 .

Kirjallisuus

• G. Weil. Symmetria. - M .: Nauka, 1968.
• Miller, Willard Jr. Symmetriaryhmät ja niiden sovellukset . - New York: Academic Press, 1972.