Ornamenttiryhmä

Ornamenttiryhmä (tai tasosymmetriaryhmä tai litteä kristallografinen ryhmä ) on symmetrioihin perustuva kaksiulotteisten toistuvien kuvioiden matemaattinen luokitus . Tällaisia ​​kuvioita löytyy usein arkkitehtuurista ja koristetaiteesta . Mahdollisia eri ryhmiä on 17 .

Ornamenttiryhmät ovat kaksiulotteisia symmetriaryhmiä , joiden monimutkaisuus on keskitasoa reunaryhmien ja kolmiulotteisten kristallografisten ryhmien välillä (kutsutaan myös avaruusryhmiksi ).

Johdanto

Kuvioryhmät luokittelevat kuviot niiden symmetrian mukaan. Hienovaraiset erot samanlaisissa kuvioissa voivat johtaa siihen, että kuvioita jaetaan eri ryhmiin, kun taas kuviot, jotka ovat olennaisesti erilaisia ​​tyyliltään, väriltään, mittakaavaltaan tai suunnaltaan, voivat kuulua samaan ryhmään.

Harkitse seuraavia esimerkkejä:

Esimerkeissä A ja B on sama kuvioryhmä, jota kutsutaan p 4 m : ksi IUC-merkinnöissä ja *442 :ksi orbi - arvoissa . Esimerkissä C on toinen kuvioryhmä nimeltä p4g tai 4 * 2 . Se, että A: lla ja B :llä on sama ryhmä, tarkoittaa, että näillä koristeilla on samat symmetriat kuvioiden yksityiskohdista riippumatta, kun taas C :llä on erilainen symmetriajoukko ulkoisesta samankaltaisuudesta huolimatta.

Täydellinen luettelo kaikista seitsemästätoista mahdollisesta koristeryhmästä löytyy alta.

Kuvion symmetriat

Kuvion symmetria on karkeasti sanottuna tapa muuttaa kuviota siten, että se näyttää muunnoksen jälkeen täsmälleen samalta kuin ennen muuntamista. Esimerkiksi rinnakkainen käännössymmetria on olemassa, jos kuvio on kohdistettu jonkin verran siirtymällä ( rinnakkaiskäännös ) itsensä kanssa. Kuvittele siirrät pystysuoria (saman leveitä) raitoja vaakasuunnassa yhden raidan verran, kuvio pysyy samana. Tarkkaan ottaen todellinen symmetria on olemassa vain kuvioille, jotka toistuvat tarkasti ja loputtomasti. Esimerkiksi vain viiden raidan joukolla ei ole yhdensuuntaista siirtosymmetriaa – kun sitä siirretään, raita toiselta puolelta "katoaa" ja uusi raita "lisätään" toiselle puolelle.

Joskus kaksi tapaa luokitella kuvio on mahdollista, yksi puhtaasti muodon perusteella ja toinen väritystä käyttämällä. Jos värit jätetään huomiotta, kuviossa voi olla enemmän symmetriaa. Mustavalkomosaiikkien joukossa on myös 17 koristeryhmää. Esimerkiksi värillinen laatta vastaa mustavalkoista laatta, jossa on värikoodattu, säteittäisesti symmetrinen "viivakoodi" jokaisen laatan massakeskipisteessä.

Tässä tarkasteltuja muunnostyyppejä kutsutaan liikkeiksi . Esimerkiksi:

Esimerkki C on kuitenkin erilainen . Siinä on heijastuksia vain vaaka- ja pystysuunnista, mutta ei diagonaalisista akseleista. Jos käännämme kuviota diagonaalisen akselin ympäri, emme saa samaa kuviota. Saamme alkuperäisen kuvion siirtymään jonkin matkan verran. Tämä on yksi syistä, miksi kuvioiden A ja B malliryhmä eroaa kuvion C kuvioryhmästä.

Toinen muunnos on vilkkuva symmetria , heijastuksen ja translaation yhdistelmä heijastusakselia pitkin.

Historia

Todistuksen siitä , että on olemassa vain 17 mahdollista mallia, suoritti ensin Evgraf Stepanovitš Fedorov vuonna 1891 [1] ja sitten itsenäisesti Gyorgy Poya vuonna 1924 [2] . Todiste siitä, että koristeryhmien luettelo on täydellinen, saatiin vasta sen jälkeen, kun tämä oli tehty paljon monimutkaisemmassa kristallografisten ryhmien tapauksessa.

Määritelmä

Ornamenttiryhmä tai litteä kristallografinen ryhmä on isometrinen täysin epäjatkuva ryhmän yhteistiivis toiminta euklidisella tasolla (yhteistiivisyys vastaa sitä tosiasiaa, että toiminta sisältää kaksi lineaarisesti riippumatonta rinnakkaista käännöstä ).

Kahdella tällaisella isometriaryhmällä on sama tyyppi (sama koristeryhmä), jos ne muunnetaan toisikseen tason affiinin muunnoksen avulla.

Joten esimerkiksi koko kuvion siirtyminen (ja siten heijastusakselien ja kiertokeskipisteiden siirtyminen) ei vaikuta koristeryhmään. Sama pätee rinnakkaisten translaatiovektorien välisen kulman muuttamiseen edellyttäen, että tämä ei johda minkään symmetrian lisäämiseen tai katoamiseen (tämä on mahdollista vain siinä tapauksessa, että peilisymmetriaa ja liukusymmetriaa ei ole ja kiertosymmetria on korkeintaan 2).

Muistiinpanot

Määritelmäkeskustelu

Euklidisen tason isometrit

Euklidisen tason isometrit jakautuvat neljään luokkaan (katso lisätietoja artikkelista Euklidisen tason isometria ).

Edellytys rinnakkaiskäännösten riippumattomuudelle

Rinnakkaisten translaatioiden lineaarisen riippumattomuuden ehto tarkoittaa, että on olemassa lineaarisesti riippumattomia vektoreita v ja w ( R2:ssa ) siten , että ryhmä sisältää sekä Tv :n että Tw : n .

Tämän ehdon tarkoituksena on erottaa ornamenttiryhmät friisiryhmistä , joilla on rinnakkaiskäännös, mutta ei kahta lineaarisesti riippumatonta, ja kaksiulotteisista diskreetistä pisteryhmistä , joilla ei ole lainkaan rinnakkaisia ​​käännöksiä. Toisin sanoen koristeryhmät edustavat kuviota, joka toistuu kahteen eri suuntaan, toisin kuin rajaryhmät, jotka toistuvat vain yhtä akselia pitkin.

(Voimme yleistää tämän tilanteen. Voisimme esimerkiksi tutkia diskreettejä isometriaryhmiä R n m lineaarisesti riippumattomilla rinnakkaiskäännöksillä, joissa m on mikä tahansa kokonaisluku välillä 0 ≤  m  ≤  n .)

Täydellisen epäjatkuvuuden ehto

Edellytys olla täysin epäjatkuva (jota kutsutaan joskus diskreetiksi) tarkoittaa, että on olemassa jokin positiivinen reaaliluku ε siten, että missä tahansa ryhmän rinnakkaiskäännöksessä T v vektorin v pituus on vähintään ε (lukuun ottamatta tietysti tapausta nollavektori v ).

Tämän ehdon tarkoituksena on varmistaa, että ryhmällä on kompakti perusalue , tai toisin sanoen "solu", jonka pinta-ala ei ole nolla ja joka toistaa itseään tasossa (kuviona). Ilman tätä ehtoa voimme saada esimerkiksi ryhmän, joka sisältää rinnakkaiskäännöksen T x mille tahansa rationaaliluvulle x , joka ei vastaa mitään hyväksyttävää koristekuviota.

Tärkeä ja ei-triviaali seuraus diskreetisyysehdosta yhdessä rinnakkaisten käännösten riippumattomuuden ehdon kanssa on, että ryhmä voi sisältää vain rotaatioita, joiden luokka on 2, 3, 4 tai 6. Toisin sanoen minkä tahansa kierron ryhmässä on oltava kierto 180°, 120°, 90° tai 60°. Tämä tosiasia tunnetaan kristallografisten rajoitusten teoreemana , ja tämä lause voidaan yleistää korkeamman ulottuvuuden tapauksiin.

Merkintä

Kristallografinen merkintä

Kristallografiassa on 230 erilaista kristallografista ryhmää , paljon enemmän kuin 17 koristeryhmää, mutta monet ryhmien symmetriat ovat samoja. Näin ollen on mahdollista käyttää samanlaista merkintää molemmille ryhmille, Carl Hermannin ja Charles-Victor Mauginin merkintää . Esimerkki koristeen koko nimestä Hermann-Mogenin tyyliin (nimityksiä kutsutaan myös nimellä "Kansainvälisen kristallografien liiton nimitykset", IUC ) - p 31 m , neljä kirjainta ja numeroa. Yleensä käytetään lyhennettyä nimeä, kuten cmm tai pg .

Koristeryhmien täydellinen nimitys alkaa p :llä ( alkusolusta - alkeissolu ) tai c :llä ( kasvokeskeisestä solusta - kasvokeskeinen solu). Ne selitetään alla. Kirjainta seuraa numero n , joka tarkoittaa suurinta pyörimissymmetriaa - 1-kertainen (ei mitään), 2-kertainen, 3-kertainen, 4-kertainen tai 6-kertainen. Seuraavat kaksi merkkiä tarkoittavat symmetriaa yhden rinnakkaisen käännösakselin suhteen, jota pidetään "pääasiallisena". Jos peilisymmetria on kohtisuorassa yhdensuuntaisen käännöksen akseliin nähden, valitse tämä akseli pääakseliksi (jos niitä on kaksi, valitse mikä tahansa niistä). Merkit ovat m , g tai 1 peilisymmetriaa, liukusymmetriaa tai ei symmetriaa varten. Peilisymmetria- tai liukusymmetria-akseli on kohtisuorassa pääakseliin nähden ensimmäisen kirjaimen kohdalla ja joko yhdensuuntainen tai kallistettu 180°/ n (jos n  > 2) toisen kirjaimen kohdalla. Monet ryhmät sisältävät muita symmetrioita. Lyhyt merkintä hylkää numerot tai m , jos se on loogisesti määritelty, ellei se aiheuta sekaannusta muiden ryhmien kanssa.

Primitiivinen solu on minimaalinen alue, joka toistuu rinnakkaissiirrolla ruudukkoa pitkin. Kaikki paitsi kaksi ornamentaalista symmetriaryhmää kuvataan primitiivisillä soluakseleilla, koordinaattipohjalla, joka käyttää hilan rinnakkaisia ​​translaatiovektoreita. Muissa kahdessa tapauksessa symmetriaa kuvaavat keskitetyt solut, jotka ovat suurempia kuin primitiiviset solut ja joilla on siksi sisäistä toistoa. Niiden sivujen suunnat poikkeavat rinnakkaisten translaatiovektorien suunnasta. Hermann-Mogen-merkintä kristallografisten ryhmien kiteille käyttää muita solutyyppejä.

Esimerkkejä

Nimet, joiden lyhyt ja täydellinen muoto ovat erilaisia.

Kristallografiset lyhyet ja täydelliset nimet
Lyhyt p2 _ pm s cm pmm pmg pgg cmm p 4 m p 4 g p 6 m
Saattaa loppuun s . 211 p 1 m 1 p 1 g 1 c 1 m 1 p 2 mm p 2 mg p 2 gg c 2 mm p 4 mm p4gm _ _ p 6 mm

Muut nimet ovat p 1 , p 3 , p 3 m 1 , p 31 m , p 4 ja p 6 .

Orbio-merkintä

John Conwayn popularisoima orbi-nimitys koristeryhmille ei perustu kristallografiaan vaan topologiaan. Tarkastellaan tason orbifoldin osamäärää ornamenttiryhmän toiminnalla ja kuvataan sitä useiden symbolien avulla.

Tarkastellaan ryhmää, jolla on kristallografinen merkintä cmm . Conwayn merkinnöissä tämä olisi 2*22 . 2 -merkin * edessä kertoo, että meillä on 2x kiertokeskus, jonka läpi ei kulje peilejä. * Itse * sanoo, että meillä on peili. Ensimmäiset 2 * :n jälkeen osoittavat, että meillä on 2x pyörimiskeskus peilissä. Viimeinen 2 sanoo, että meillä on itsenäinen toinen kaksinkertaisen kierron keskus peilissä, joka ei kopioi ensimmäistä keskustaa symmetrioissa.

Ryhmässä, jonka nimi on pgg , on Conwayn 22× -merkintä . Meillä on kaksi yksinkertaista kaksinkertaisen kiertoliikkeen keskustaa ja liukuva symmetria-akseli. Tämän ryhmän vastakohtana on ryhmä pmg , jossa on Conway-symboli 22* , jossa kristallografinen merkintä mainitsee vilkkuvan symmetrian, mutta sellaisen, jota orbifoldin muut symmetriat viittaavat.

Mukana on myös Coxeterin hakasulkumerkintä . Se perustuu Coxeter-ryhmään ja sitä on muokattu plus-merkillä (yläindeksissä) kiertoja, virheellisiä kiertoja ja rinnakkaiskäännöksiä varten.

Conwayn, Coxeterin ja kristallografisen merkinnän vastaavuus
Conway o ×× *× ** 632 *632
kokseteri [∞ + ,2, ∞ + ] [(∞,2) + ,∞ + ] [∞,2 + ,∞ + ] [∞,2,∞ + ] [6,3] + [6,3]
Kristallografinen p1_ _ s cm pm p6 _ p 6 m
Conway 333 *333 3 *3 442 *442 4 *2
kokseteri [3 [3] ] + [3 [3] ] [3 + ,6] [4,4] + [4,4] [4 + ,4]
Kristallografinen p 3 p 3 m 1 p 31 m p 4]] p 4 m p 4 g
Conway 2222 22 × 22 * *2222 2 * 22
kokseteri [∞,2,∞] + [((∞,2) + ,(∞,2) + )] [(∞,2) + ,∞] [∞,2,∞] [∞,2 + ,∞]
Kristallografinen p2 _ pgg pmg pmm cmm

Miksi ryhmiä on tarkalleen seitsemäntoista

Orbifoldia voidaan pitää monikulmiona , jonka pinnat, reunat ja kärjet voidaan laajentaa muodostamaan mahdollisesti äärettömän monikulmiojoukon, joka laatoittaa koko pallon , tason tai hyperbolisen tason . Jos monikulmio laatoittaa tason, se antaa ryhmän koristeita, ja jos pallo tai hyperbolinen taso, niin pallosymmetriaryhmän tai hyperbolisen symmetriaryhmän . Monikulmioruudun avaruuden tyyppi voidaan selvittää laskemalla Eulerin ominaiskäyrä χ  =  V  −  E  +  F , missä V on kulmien (pisteiden) lukumäärä, E on reunojen lukumäärä ja F on pintojen lukumäärä. Jos Eulerin ominaiskäyrä on positiivinen, orbifoldilla on elliptinen (pallomainen) rakenne. Jos Eulerin ominaiskäyrä on yhtä suuri kuin nolla, sillä on parabolinen rakenne, eli se on joukko koristeita. Jos Eulerin ominaiskäyrä on negatiivinen, orbifoldilla on hyperbolinen rakenne. Kun kaikki mahdolliset orbifolds lueteltiin, havaittiin, että vain 17:llä oli Euler-ominaisuus 0.

Kun orbifold kopioidaan täyttämään tason, sen elementit luovat kärkien, reunojen ja pintojen rakenteen, jonka on täytettävä Eulerin ominaisuus. Kääntämällä prosessin päinvastainen, voimme antaa numeroita orbifoldin elementeille, mutta murto-osan sijaan kokonaislukuja. Koska itse orbifold on kokonaisen pinnan osamääräryhmä suhteessa symmetriaryhmään, kiertoradan Euler-ominaisuus on pinnan Euler-ominaisuuden jakaminen symmetriaryhmän järjestyksessä .

Orbifoldin Euler-ominaisuus on 2 miinus alkioiden arvojen summa seuraavasti:

Koristeryhmän Euler-ominaisuuden summan on oltava nolla, joten elementtiarvojen summan on oltava 2.

Esimerkkejä

Nyt kaikkien koristeryhmien luettelo on supistettu aritmeettiseksi, luetteloksi elementtisarjoista, joiden summa on 2.

Elementtien joukot, joilla on eri summa, eivät ole merkityksettömiä. Ne sisältävät ei-tasomaisia ​​tessellaatioita, joita emme käsittele tässä. (Jos orbifoldin Euler-ominaisuus on negatiivinen, laatoitus on hyperbolinen ; jos se on positiivinen, laatoitus on joko pallomainen tai huono ).

Opas koristeryhmien tunnistamiseen

Ymmärtääksesi, mikä koristeryhmä vastaa tiettyä mosaiikkia, voit käyttää seuraavaa taulukkoa [3] .


Pienin kääntökoko		 Onko heijastuksia?
Joo Ei
360° / 6 p6m ( *632 ) p6 (632)
360° / 4 Onko peilit 45° kulmassa? s . 4 (442)
Kyllä: p 4 m (*442) Ei: p 4 g (4*2)
360° / 3 Onko kääntökeskuksia peilien ulkopuolella? s . 3 (333)
Kyllä: p 31 m (3*3) Ei: p 3 m 1 (*333)
360° / 2 Onko siinä kohtisuorat heijastukset? Onko liukuvaa symmetriaa?
Joo Ei
Onko kääntökeskuksia peilien ulkopuolella? pmg (22*) Kyllä: pgg (22×) Ei: p 2 (2222)
Kyllä: cmm (2*22) Ei: pmm (*2222)
Ei käänteitä Onko peilien ulkopuolella liukuvat akselit? Onko liukuvaa symmetriaa?
Kyllä: cm (*×) Ei: pm (**) Kyllä: pg (××) Ei: p 1 (o)

Katso myös Tämä yleiskatsaus kaavioineen .

Seitsemäntoista litteää kristallografista ryhmää

Jokaisella tämän osion ryhmillä on kaksi solurakennekaaviota, joista jokainen tulkitaan seuraavasti (muoto on tärkeä tässä, ei väri):

toisen asteen kiertokeskus (180°).
Kolmannen asteen kiertokeskus (120°).
neljänteen kiertokeskipiste (90°).
kuudennen asteen kiertokeskipiste (60°).
heijastusakseli.
liukuva symmetria-akseli.

Kaavion oikealla puolella eri symmetriaelementtien ekvivalenssiluokat on väritetty (ja kierretty) eri tavalla.

Ruskeat tai keltaiset alueet osoittavat perusalueen eli kuvion pienimmän toistuvan osan.

Oikealla olevissa kaavioissa näkyy pienintä rinnakkaiskäännöstä vastaava ruudukon solu. Vasemmalla näkyy joskus suuri alue.

Ryhmä p 1 (o)

Solurakenteet p 1 :lle hilatyypin mukaan

vino
Kuusikulmainen

Suorakulmainen
Rombinen
Neliö
Ryhmän p 1 esimerkkejä

Kahdella rinnakkaisella siirrolla (solun sivuilla) voi olla eripituisia ja ne voivat muodostaa minkä tahansa kulman.

Ryhmä p 2 (2222)

Solurakenteet p 2 :lle hilatyypeittäin

vino
Kuusikulmainen

Suorakulmainen
Rombinen
Neliö
Ryhmä p 2 esimerkkejä

Ryhmä pm (**)

Pm :n solurakenne

Vaakasuora heijastus
Pystysuuntainen heijastus
pm ryhmäesimerkkejä

(Kolmella ensimmäisellä on pystysuorat symmetria-akselit ja kahdella viimeisellä on diagonaaliakselit.)

Ryhmä pg (××)

Solurakenteet sivulle s

Vaakasuuntaiset siirrot
Pystysuuntaiset siirtymät
Suorakulmainen
pg ryhmäesimerkkejä

Ottamatta huomioon yksityiskohtia siksakin sisällä, matto on pmg . Jos otamme huomioon siksakin sisällä olevat yksityiskohdat, mutta emme erottele ruskeita ja mustia raitoja, saamme pgg .

Jos laattojen aaltoilevat reunat jätetään huomiotta, jalkakäytävä on pgg .

Ryhmä cm (*×)

Solurakenne cm :lle

Vaakasuora heijastus
Pystysuuntainen heijastus
Rombinen
cm ryhmäesimerkkejä

Ryhmä pmm (*2222)

Pmm :n solurakenne

suorakulmainen
neliö-
pmm ryhmäesimerkkejä

pmg ryhmä (22*)

Pmg :n solurakenteet

Vaakaheijastukset
Pystysuuntaiset heijastukset
pmg ryhmä esimerkkejä

Ryhmä pgg (22×)

Pgg :n solurakenne hilatyypin mukaan

Suorakulmainen
Neliö
pgg- ryhmäesimerkkejä

Ryhmä cmm (2*22)

Cmm :n solurakenteet hilatyypin mukaan

Rombinen
Neliö

Astetta 2 olevat kiertosymmetriat, joissa kiertokeskukset ovat rombin sivujen keskipisteissä, ovat seurausta muista ominaisuuksista.

Malliosumat:

cmm ryhmäesimerkkejä

Ryhmä p 4 (442)

Ryhmä p 4 esimerkkejä

P 4 -kuvio voidaan nähdä toistona neliön laatan riveissä ja sarakkeissa nelinkertaisella kiertosymmetrialla. Sitä voidaan tarkastella myös kahden tällaisen laatan shakkilaudana , jotka ovat kertoimella 4 pienempiä ja kierretty 45°.

Ryhmä p 4 m (*442)

Tämä vastaa identtisten neliöiden rivien ja sarakkeiden suorakaiteen muotoista ruudukkoa, jossa on neljä symmetria-akselia. Tämä vastaa myös kahden tällaisen ruudun shakkilautakuviota .

Ryhmäesimerkkejä p 4 m

Esimerkit on esitetty pienimmällä vaaka- ja pystysuuntaisella käännöksellä (kuten kaaviossa):

Esimerkkejä pienimmällä rinnakkaisen diagonaalin käännöksellä:

Ryhmä p 4 g (4*2)

P 4 g -kuvio voidaan katsoa shakkitauluasetelmana nelinkertaisen kiertosymmetrian omaavista neliömäisten laattojen kopioista ja niiden peilikuvista. Vaihtoehtoisesti kuvio voidaan katsoa (siirrettynä puoli laatta) shakkitauluasetelmana vaaka- tai pystysuunnassa symmetrisistä laatoista ja niiden 90° käännetyistä versioista. Huomaa, että molemmat tavat katsoa sitä eivät sovellu yksinkertaiseen mustavalkoisten laattojen shakkitaulukuvioon, tässä tapauksessa se on ryhmä p 4 m (solujen diagonaalinen rinnakkaissiirto).

Ryhmäesimerkkejä s. 4 g

Ryhmä p 3 (333)

Kuvittele tason laatoitus samankokoisilla tasasivuisilla kolmioilla, joiden sivu vastaa pienintä yhdensuuntaista siirtoa. Sitten puolet kolmioista on samassa suunnassa ja toinen puoli on symmetrinen. Kuvioryhmä vastaa tapausta, jossa kaikki saman suuntaiset kolmiot ovat yhtä suuret, kun taas molemmilla tyypeillä on kiertosymmetria luokkaa kolme, mutta nämä kaksi eivät ole samanarvoisia, eivät ole peilikuvia toisistaan ​​eivätkä molemmat ole symmetrisiä (jos molemmat tyypit ovat yhtä suuret, meillä on p 6 , jos ne ovat peilikuvia toisistaan, meillä on p 31 m , jos molemmat tyypit ovat symmetrisiä, meillä on p 3 m 1 , jos kaksi näistä kolmesta ominaisuudesta pätee, niin kolmas pätee myös , ja saamme p 6 m ). Tietylle kuviolle kolme tällaista laatoitusta on mahdollista, kunkin kiertokeskipisteet pisteissä, eli kaksi siirtoa on mahdollista mille tahansa laatoitukselle. Piirustuksen kannalta: kärkipisteet voivat olla punaisia, sinisiä tai vihreitä kolmioita.

Kuvittele vastaavasti tason laatoitus säännöllisillä kuusikulmioilla, joiden sivu on yhtä suuri kuin pienin rinnakkaissiirto jaettuna √3:lla. Sitten tämä taustakuvien ryhmä vastaa tapausta, jossa kaikki kuusikulmiot ovat yhtä suuret (ja niillä on sama suunta) ja niiden kiertosymmetria on kertaluokkaa kolme, mutta peiliheijastusta ei ole (jos niillä on kuuden asteen pyörimissymmetria, saamme p 6 jos on symmetria päälävistäjän suhteen, meillä on p 31 m , jos on symmetriaa sivuille kohtisuorassa olevien viivojen suhteen, meillä on p 3 m 1 , jos kaksi näistä kolmesta ominaisuudesta pätee, niin kolmas pätee myös ja meillä on p 6 m ). Tietylle kuvalle on kolme laatoitusta, joista jokainen saadaan asettamalla kuusikulmioiden keskipisteet kuvion pyörimiskeskuksiin. Piirustuksen kannalta kuusikulmion keskipisteinä voivat olla punaiset, siniset ja vihreät kolmiot.

Ryhmä p 3 esimerkkejä

Ryhmä p 3 m 1 (*333)

Kuten ryhmä p 3 , kuvittele taso, jossa on samankokoiset tasasivuiset kolmiot, joiden sivu on yhtä suuri kuin pienin rinnakkaissiirto. Sitten puolella kolmioista on yksi suunta ja toisella puoliskolla on vastakkainen suunta. Tämä taustakuvaryhmä vastaa tapausta, jossa kaikki samansuuntaiset kolmiot ovat yhtä suuret. Molempien tyyppien rotaatiosymmetria on luokkaa kolme, molemmat tyypit ovat symmetrisiä, mutta ne eivät ole samanarvoisia eivätkä ole toistensa peilikuvia. Tietylle kuvalle on mahdollista kolme tessellaatiota, joista jokaisella on kärjet pyörimiskeskuksissa. Piirustuksen kannalta kärjet voivat olla punaisia, tummansinisiä tai vihreitä kolmioita.

Ryhmäesimerkkejä p 3 m 1

Ryhmä p 31 m (3*3)

Mitä tulee p 3 :een ja p 3 m 1 , kuvittele tason laatoitus samankokoisilla tasasivuisilla kolmioilla, joiden sivu on yhtä suuri kuin pienin yhdensuuntainen translaatio. Sitten puolella kolmioista on yksi suunta ja toisella puoliskolla on vastakkainen suunta. Tapettiryhmä vastaa tapausta, jossa kaikki samansuuntaiset kolmiot ovat samanarvoisia, kun taas molemmilla tyypeillä on kolmikertainen kiertosymmetria ja kumpikin on peilikuva toisesta, mutta kolmiot eivät ole symmetrisiä eivätkä samanarvoisia itsensä kanssa. Vain yksi laatoitus on mahdollista tietylle kuvalle. Piirustuksessa tummansiniset kolmiot eivät voi olla huippuja.

Ryhmäesimerkkejä s. 31 m

Ryhmä p 6 (632)

Tämän symmetrian omaavaa kuviota voidaan pitää tason laatoituksena samanlaisilla kolmiomaisilla laatoilla, joilla on C 3 -symmetria , tai vastaavasti tason laatoitusta samanlaisilla kuusikulmaisilla laatoilla, joilla on C 6 -symmetria (jolloin laattojen reunat eivät välttämättä ole osa kaava).

Ryhmä p 6 esimerkkejä

Ryhmä p 6 m (*632)

Tämän symmetrian omaavaa kuviota voidaan ajatella tasolle laatoituksena tasaisilla kolmiomaisilla laatoilla, joiden symmetria on D 3 , tai vastaavasti tason laatoituksena yhtäläisillä kuusikulmaisilla laatoilla D 6 -symmetrialla (laattojen reunat eivät välttämättä ole osa mallista). Yksinkertaisimpia esimerkkejä ovat kuusikulmainen ristikko yhdysviivoilla tai ilman ja kuusikulmiolaatoitus , jossa on yksi väri kuusikulmioiden ääriviivoille ja toinen taustalle.

Ryhmäesimerkkejä p 6 m

Hilatyypit

Hilkoja ( Brave lattices ) on viisi tyyppiä , jotka vastaavat itse hilan viittä koristeryhmää. Ryhmällä kuviokoristeita, joissa on tämä rinnakkaissiirtosymmetrian hila, ei voi olla enemmän, mutta voi olla vähemmän symmetriaa kuin itse hilassa.

Symmetriaryhmät

Varsinainen symmetriaryhmä on erotettava koristeryhmästä. Ornamenttiryhmät ovat joukko symmetriaryhmiä. Tällaisia ​​joukkoja on 17, mutta jokaiselle joukolle on äärettömän monta symmetriaryhmää todellisten isometriaryhmien merkityksessä. Ne riippuvat koristeiden ryhmästä erillään rinnakkaisten siirtovektorien parametrien lukumäärästä, peilisymmetria-akselien suunnasta ja sijainnista sekä kiertokeskipisteistä.

Vapausasteiden lukumäärä on:

Jokaisen koristeryhmän sisällä kaikki symmetriaryhmät ovat kuitenkin algebrallisesti isomorfisia.

Jotkut symmetriaryhmien isomorfismit:

Koristeryhmien riippuvuus muunnosten aikana

Huomaa, että jos muunnos vähentää symmetriaa, samanlainen (käänteinen) muunnos luonnollisesti lisää symmetriaa samalle kuviolle. Tätä kuvion ominaisuutta (esimerkiksi laajeneminen yhteen suuntaan antaa kuvion, jossa on nelinkertainen symmetria) ei pidetä eräänlaisena lisäsymmetriana.

Värien vaihtaminen ei vaikuta koristeryhmään, jos kahdella pisteellä, joilla on sama väri ennen muutosta, on sama väri myös vaihdon jälkeen, ja jos kahdella pisteellä, joilla on eri värit ennen vaihtoa, on eri värit vaihdon jälkeen.

Jos ensimmäinen pätee ja jälkimmäinen ei, kuten musta/valkoinen valu, symmetriat säilyvät, mutta niitä voidaan suurentaa niin, että tapettiryhmä voi muuttua.

Verkkosivustot ja ohjelmistot

Joidenkin ohjelmistotuotteiden avulla voit luoda kaksiulotteisia kuvioita ornamenttisymmetriaryhmien avulla. Voit yleensä muokata alkuperäistä ruutua, ja kaikki kuviossa olevat laatan kopiot päivitetään automaattisesti.

Katso myös

Muistiinpanot

  1. ↑ Fedorov, 1891 , s. 245-291.
  2. ↑ Puola, 1924 , s. 278-282.
  3. ↑ Radaelli, 2011 .
  4. ↑ Tämä auttaa käsittelemään neliöitä taustana, jolloin näemme yksinkertaisia ​​timanttirivejä.

Kirjallisuus

Linkit

 geometriset mosaiikit
Jaksottainen
jaksoton
Muut
Vertex- konfiguraation mukaan
Pallomainen
Oikea
puoliksi
oikein
Hyperbolinen
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3.16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5.8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6.8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7.6 2
  • 7.8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2