Ajoittainen mosaiikki

Jaksottainen laatoitus on ei -  jaksollinen laatoitus , jonka lisäominaisuus on, että laatoitus ei sisällä äärettömän suuria jaksollisia kappaleita. Laattotyyppien joukko (tai prototiileja ) on joukko ei-jaksollisia prototiileja [ , jos näiden laattojen kopiot voivat muodostaa vain jaksollisia laattoja . Penrose -laatat [1] [2] ovat tunnetuimpia esimerkkejä jaksollisista laatoinnista.

Ajanjaksoiset laatoitukset toimivat matemaattisina malleina kvasikiteille , fyysisille kappaleille, jotka vuonna 1982 löysi Dan Shechtman [3] , joka sai Nobel-palkinnon vuonna 2011 [4] . Näiden materiaalien erityinen paikallinen rakenne on kuitenkin edelleen huonosti ymmärretty.

Joitakin menetelmiä jaksollisten mosaiikkien rakentamiseksi tunnetaan.

Määritelmä ja kuva

Harkitse yksikköneliöiden säännöllistä laatoitusta (se näyttää äärettömältä kaaviopaperilta ). Jaetaan nyt yksi neliö kahdeksi suorakulmioksi. Näin saatu laatoitus ei ole säännöllistä – ei ole siirtoa, joka jättäisi tämän laatoituksen ennalleen. On selvää, että tämä esimerkki on paljon vähemmän kiinnostava kuin Penrose-laatoitus. Sellaisten esimerkkien poissulkemiseksi jaksollinen laatoitus määritellään sellaiseksi, joka ei sisällä mielivaltaisen suuria jaksottaisia ​​osia.

Laatoitusta kutsutaan jaksottaiseksi, jos sen kuori sisältää vain jaksottaisia ​​laatoitusta. Laatoituksen kirjekuori sisältää kaikki laatoituksen T käännökset T+x sekä kaikki laatoitukset, jotka voidaan arvioida käännöksellä T . Muodollisesti tämä on joukon sulkeminen paikallisessa topologiassa [5] . Paikallisessa topologiassa (vastaa metriikkaa) kaksi ruutua ovat -lähellä, jos ne ovat samat sädeympyrässä origon ympärillä (ehkä sen jälkeen, kun yhtä ruutua on siirretty etäisyydellä, joka on pienempi kuin ).

Antaaksesi vielä yksinkertaisemman esimerkin, harkitse yksiulotteista laatoitusta T viivalla, joka näyttää tältä ... aaaaaabaaaaa ... jossa a edustaa yhden pituista väliä ja b edustaa kahden pituista väliä. Sitten laatoitus T koostuu äärettömästä määrästä kopioita a :sta ja yhdestä kopiosta b :stä (sanotaan, että keskipisteenä on 0). Nyt kaikki T :n käännökset ovat laattoja, joissa yksi b jossain ja a muualla. Laatoitusjono , jossa b on keskitetty pisteisiin, konvergoi (paikallisessa topologiassa) jaksoittaiseksi laatoitukseksi, joka koostuu vain laatoista a . T ei siis ole jaksollinen laatoitus , koska sen sulkeminen sisältää jaksollisen laatoituksen … aaaaaa ….

Monille "hyville" tessellaatioille (esimerkiksi laattojen korvaaminen rajallisella määrällä paikallisia kuvioita) lause pätee: jos laatoitus ei sisällä pistettä ja toistuu (eli jokainen laatta esiintyy samalla todennäköisyydellä kuin se on laatoitettu), silloin se on jaksollinen [6] [5] .

Historia

Kysymys ei-jaksollisista laatoituksista nousi ensimmäisen kerran esille vuonna 1961, kun loogikko Hao Wang yritti selvittää, voisiko domino-ongelma olla ratkaistavissa, eli oliko olemassa algoritmia sen määrittämiseksi, että tietty äärellinen protolaattojen joukko laatoitti kone. Wang löysi algoritmeja sellaisten laattojen luetteloimiseksi, joita ei voida asettaa tasolle, ja laattajoukkoja, jotka laatoivat tason säännöllisesti. Siten hän osoitti, että tällainen algoritmi on olemassa, jos mille tahansa äärelliselle prototiilijoukolle, joka mahdollistaa tason laatoituksen, on olemassa myös jaksollinen laatoitus. Vuonna 1964 Robert Berger löysi jaksollisen joukon, mikä osoitti, että laatoitusongelma on itse asiassa ratkaisematon [7] . Tämä oli ensimmäinen tällainen sarja, jota käytettiin hänen selvittämättömyyden todistamisessa, ja se sisälsi 20 426 Wang-laattaa. Berger vähensi myöhemmin laattojen määrää 104:ään, ja Hans Löichli löysi 40 Van-laatan ajoittainen sarjan [8] . Raphael Robinson löysi jopa pienemmän kuuden jaksollisen laatan sarjan (perustuu Wang-laattoihin) vuonna 1971 [9] . Roger Penrose löysi kolme muuta sarjaa vuosina 1973 ja 1974, jolloin tarvittavien laattojen määrä väheni kahteen, ja Robert Ammann löysi useita muita sarjoja vuonna 1977 8] . Vuonna 2010 Sokolar ja Taylor löysivät joukon kahdesta samantyyppisestä laatasta (säännölliset kuusikulmiot), joista toinen oli symmetrinen toiseen nähden [10] .

Jaksottaisia ​​Penrose-laatoituksia voidaan luoda ei vain jaksollisilla prototiilisarjoilla, vaan myös korvaamalla ja leikkaa ja projektoita -menetelmällä . Kvasikiteiden löytämisen jälkeen fyysikot ja matemaatikot alkoivat tutkia intensiivisesti aperiodisia mosaiikkeja. N. G. de Bruijnin "leikkaa ja projektoita" -menetelmästä Penrose-laatoille tuli lopulta osa Meyerin joukkoteoriaa [11] [12] . Tällä hetkellä on olemassa suuri määrä kirjallisuutta jaksollisista laatoinnista [5] .

Rakennukset

On olemassa useita menetelmiä jaksollisten mosaiikkien rakentamiseen. Useat rakenteet perustuvat äärettömiin aperiodisten laattojen perheisiin [13] [14] . Nämä löydetyt rakenteet toimivat useimmiten monella tapaa, pääasiassa käyttämällä jonkinlaista aperiodista hierarkkista rakennetta. Tästä huolimatta domino-ongelman ratkaisemattomuus takaa sen, että erilaisia ​​rakenteita on oltava äärettömän paljon ja itse asiassa on jaksollisia laattajoukkoja, joiden jaksoittaisuutta ei voida todistaa.

Jaksottaiset hierarkkiset tessellaatiot

Toistaiseksi ei ole olemassa muodollista määritelmää, joka kuvaisi, milloin mosaiikilla on hierarkkinen rakenne. On kuitenkin selvää, että laattojen substituutioilla on tällainen rakenne, aivan kuten Bergerin, Knuthin , Leuchlin ja Robinsonin laatoilla . Kuten termi "jaksollinen laatoitus", termi "jaksollinen hierarkkinen laatoitus" on kätevä lyhenne esimerkiksi "laattojen joukkoon, joka sallii vain jaksolliset hierarkkiset laatoitukset".

Jokainen näistä laattajoukoista pakottaa minkä tahansa näiden laattojen mosaiikin muodostamaan hierarkkisen rakenteen. (Monissa seuraavista esimerkeistä tätä rakennetta voidaan kuvata laattojen korvausjärjestelmäksi, kuten alla on kuvattu). Mikään näiden laattajoukkojen laatoitus ei voi olla säännöllistä, koska mikään rinnakkainen siirto ei voi jättää koko hierarkkista rakennetta koskemattomaksi. Ajattele Robinson-laattoja vuodelta 1971:

Kaikki näiden laattojen laatoitus voi antaa vain neliöruudukkohierarkian - jokainen oranssi neliö suuremman neliön kulmassa ja niin edelleen loputtomiin. Kaikkien rinnakkaisten käännösten on oltava pienempiä kuin jonkin neliön koko, eivätkä ne siksi voi jättää tällaista laatoitusinvarianttia.

Robinson osoitti, että näiden laattojen on muodostettava kuvio induktiivisesti. Tämän seurauksena laattojen tulisi muodostaa lohkoja, jotka yhdessä edustavat suurennettuja versioita alkuperäisistä laatoista ja niin edelleen. Tätä ajatusta löytää joukko laattoja, jotka voivat muodostaa vain hierarkkisia rakenteita, on tähän mennessä käytetty tunnetuimpien jaksollisten laattajoukkojen rakentamiseen.

Vaihtoehdot

Laattojen korvausjärjestelmät tarjoavat runsaan jaksollisen laatoituksen lähteen. Laattojen joukon, joka pakottaa korvausrakenteen, sanotaan olevan pakotettu korvausrakenne. Esimerkiksi alla esitetyt tuolilaatat sallivat vaihdot, ja kuvassa näkyy laattojen korvausfragmentti. Nämä laattojen vaihdot eivät välttämättä ole säännöllisiä, mutta tuolilaatta ei ole jaksollinen - näiden laattojen kanssa on helppo löytää säännöllinen laatoitus.

Kuitenkin alla esitetyt laatat pakottavat tuolilaatan korvaavan rakenteen ja ovat siksi jaksollisia [15] .

Penrose-laatat ja pian sen jälkeen eräät Amman-laattojen sarjat [16] olivat ensimmäisiä esimerkkejä, jotka perustuivat pakotettuihin laattojen korvausrakenteisiin. Joshua Sokolar [17] [18] , Penrose, Roger [19] , Ludwig Danzer [20] ja Chaim Goodman-Strauss [15] ovat löytäneet useita lisäsarjoja. Shahar Moses esitti ensimmäisen yleisen konstruktion, joka osoitti, että mikä tahansa yksiulotteisten korvausjärjestelmien tuote voidaan pakottaa substituutiosäännöillä [14] . Charles Radin löysi pakottavat säännöt laattojen korvausjärjestelmälle Conwayn Pinwheel-laatoituksessa [21] . Vuonna 1998 Goodman-Strauss osoitti, että paikalliset liitossäännöt löytyvät mille tahansa laatan korvausrakenteelle, joka täyttää joitain lieviä ehtoja [13] .

Leikkaa ja projisoi -menetelmä

Pisteettömät mosaiikit voidaan saada projisoimalla suuriulotteisia rakenteita pienempään tilaan, ja joissain olosuhteissa voi olla laattoja, jotka estävät näillä rakenteilla jaksoa ja siksi mosaiikit ovat jaksollisia. Penrose-laatat ovat ensimmäinen ja tunnetuin esimerkki tällaisista laatoista, kuten de Bruijnin uraauurtavassa työssä [22] . On epätäydellinen (algebrallinen) kuvaus leikata ja projisoi -laatoituksia, jotka voidaan pakottaa liitossäännöillä, vaikka monia tarpeellisia ja riittäviä ehtoja tunnetaan [23] .

Muut tekniikat

Vain muutamia muita rakenteita on löydetty. Erityisesti Jarkko Kari antoi jaksollisen joukon Wang-laattoja, jotka perustuvat tuloksiin 2 tai 2/3:lla ruuturivien koodaamista todellisista luvuista (koodaus liittyy Sturm-sekvensseihin , jotka on saatu peräkkäisten elementtien eroina Beatty-sekvenssi ), jonka aperiodisuus liittyy pääasiassa siihen tosiasiaan, että 2 n /3 m ei ole koskaan yhtä suuri kuin 1 millekään positiivisista kokonaisluvuista n ja m [24] . Goodman-Strauss mukautti myöhemmin tätä menetelmää saadakseen tiukasti aperiodisen laattojen sarjan hyperbolisella tasolla [25] . Shahar Moses on löytänyt monia vaihtoehtoisia rakenteita jaksollisista laattasarjoista, joitain eksoottisemmissa ympäristöissä, kuten puoliyksinkertaisissa Lie- ryhmissä [26] . Block ja Weinberger käyttivät homologisia menetelmiä rakentaakseen jaksollisia laattasarjoja kaikille ei-korjattavissa oleville lajikkeille [27] . Joshua Socolar antoi myös toisen tavan pakottaa ei-jaksollisuus vaihtelevien olosuhteiden suhteen [28] . Tämä johtaa yleensä paljon pienempiin laattasarjoihin kuin korvauksista saatu sarja.

Aperiodisten tessellaatioiden fysiikka

Jaksottaisia ​​laatoitusta pidettiin puhtaasti matemaattisina esineinä vuoteen 1984 asti, jolloin fyysikko Dan Shechtman ilmoitti löytäneensä eräänlaisen alumiini-mangaani-seoksen, joka antoi terävän diffraktiokuvion yksiselitteisellä viisinkertaisella symmetrialla [3] . Siten tämän aineen on oltava kiteistä ainetta, jolla on ikosoedrinen symmetria. Vuonna 1975 Robert Ammann oli jo laajentanut Penrose-rakenteen kolmiulotteiseksi ikosoedriksi. Tällaisissa tapauksissa termi "laatoitus" saa merkityksen "tilan täyttö". Fotoniset laitteet rakennetaan nykyään eri kerrosten aperiodisina sekvensseinä, jotka ovat jaksollisia yhdessä suunnassa ja jaksollisia kahdessa muussa. Cd-Te-kvasikiteiden rakenne osoittautui koostuvan atomikerroksista, joissa atomit ovat asettuneet tasaiseen aperiodiseen muotoon. Joskus energiaminimi tai entropiamaksimi ilmenee juuri tällaisissa aperiodisissa rakenteissa. Steinhardt osoitti, että Hummeltin linkitetyt kymmenkulmiot mahdollistavat äärimmäisen periaatteen soveltamisen ja muodostavat siten yhteyden matemaattisten ei-periodisten tessellaatioiden ja kvasikiteiden rakenteen välillä [29] . Ilmiö havaittiin, kun Faraday-aallot muodostivat suuria fragmentteja jaksollisista mosaiikista [30] . Tämän löydön fysiikka herätti kiinnostuksen suhteettomia rakenteita ja taajuuksia kohtaan, ja syntyi oletus jaksollisten mosaiikkien ja häiriöilmiön välisestä yhteydestä [31] .

Terminologian hämmennys

Termiä aperiodinen käytetään matemaattisessa laatoituskirjallisuudessa monin tavoin (ja myös muilla matematiikan osa-alueilla, kuten dynaamisissa järjestelmissä ja graafiteoriassa, aivan eri merkityksessä). Laatoitusten yhteydessä termiä jaksollinen käytetään joskus synonyyminä epäjaksollisuudelle. Ei- jaksollinen laatoitus on laatoitus, jolla ei ole ei-triviaalista rinnakkaiskäännöstä. Joskus termiä käytetään, eksplisiittisesti tai implisiittisesti, kuvaamaan tessellaatioita, jotka muodostuvat ajoittainen prototiilien joukosta. Usein termiä on käytetty epämääräisesti kuvaamaan fysikaalisten aperiodisten aineiden rakenteita, nimittäin kvasikiteitä tai jotain ei-jaksollista jollakin globaalilla järjestyksellä.

Myös sanojen "mosaiikki" tai "laatoitus" käyttö on ongelmallista, vaikka termit olisikin nimenomaisesti määritelty. Esimerkiksi ei ole olemassa yhtä Penrose-laatoitusta  – Penrose-timantit tarkoittavat ääretöntä määrää laatoitusta (joita ei voida erottaa paikallisesti). Yleensä pyritään välttämään näiden termien käyttöä teknisessä kirjallisuudessa, mutta termejä käytetään laajalti epävirallisena.

Katso myös

• Girih (matematiikka)
• Luettelo ei-jaksollisista laattasarjoista
• Kvasikide
• Zulliage

Muistiinpanot

1. ↑ Gardner, 1977 , s. 111–119.
2. ↑ Gardner, 1988 .
3. ↑ 1 2 Schechtman, Blech, Gratias, Cahn, 1984 , s. 1951–1953
4. ↑ Nobelin kemianpalkinto 2011 .
5. ↑ 1 2 3 Baake, Grimm, 2013 .
6. ↑ Saattaa vaikuttaa siltä, ​​että tässä on tautologia, mutta pisteen puuttuminen tarkoittaa, että tässä mosaiikin versiossa ei ole pistettä, ja mosaiikin aperiodisuus tarkoittaa, että on mahdotonta luoda jaksollista mosaiikkia samoilla laatoilla .
7. ↑ Berger, 1966 , s. 1–72.
8. ↑ 1 2 Grünbaum ja Shephard 1986 , s. kohta 11.1.
9. ↑ Robinson, 1971 , s. 177-209.
10. ↑ Socolar, Taylor, 2010 .
11. ↑ Lagarias, 1996 , s. 356-376.
12. ↑ Moody, 1997 , s. 403–441.
13. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1998 , s. 181-223.
14. ↑ 12 Mooses , 1989 , s. 39–186.
15. ↑ 1 2 Goodman-Strauss, 1999 , s. 375-384.
16. ↑ Grünbaum, Shephard, 1986 .
17. ↑ Senechal, 1995 .
18. ↑ Socolar, 1989 , s. 10519–51.
19. ↑ Penrose, 1997 , s. 467–497.
20. ↑ Nischke ja Danzer 1996 , s. 221-236.
21. ↑ Radin, 1994 , s. 661–702.
22. ↑ de Bruijn, 1981 , s. 39–52, 53–66.
23. ↑ Le, 1997 , s. 331-366.
24. ↑ Kari, 1996 , s. 259–264.
25. ↑ Goodman-Strauss, 2005 , s. 119-132.
26. ↑ Mozes, 1997 , s. 603–611.
27. ↑ Block, Weinberger, 1992 , s. 907–918.
28. ↑ Socolar, 1990 , s. 599–619.
29. ↑ Steinhardt .
30. ↑ Edwards, Fauve, 1993 .
31. ↑ Levy, Mercier, 2006 , s. 115.

Kirjallisuus

• Kemian Nobelin palkinto 2011 . - Nobelprize.org.
• Martin Gardner . Matemaattiset pelit  // Scientific American. - 1977. - tammikuu ( osa 236 ). — S. 111–119 .
• Martin Gardner . Penrose-laatat trapdoor-salauksiin. - W. H. Freeman & Co, 1988. - ISBN 0-7167-1987-8 .
• Schechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn JW Metallinen vaihe pitkän kantaman suuntautumisjärjestyksessä ja ilman translaatiosymmetriaa // Physical Review Letters. - 1984. - T. 53 , no. 20 . — S. 1951–1953 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.53.1951 . - .
• Baake M., Grimm U. Ajoittainen järjestys. Osa 1: Matemaattinen kutsu. – Cambridge University Press, 2013.
• Robert Berger. Domino-ongelman ratkaisemattomuus // American Mathematical Societyn muistelmat. - 1966. - T. 66 . - S. 1-72 .
• Raphael M. Robinson. Tason laatoitusten päättämättömyys ja epäjaksoisuus // Inventiones Mathematicae . - 1971. - T. 12 , no. 3 . — S. 177–209 . - doi : 10.1007/BF01418780 . - .
• Lagarias JC Meyerin käsite kvasikide- ja kvasisäännöllisistä joukoista  // Commun. Matematiikka. Phys.. - 1996. - Vol. 179 , no. 2 . — S. 356–376 .
• Moody RV Meyer -sarjat ja niiden kaksoiskappaleet // The Mathematics of Long Range Aperidic Order, NATO ASI Series C. - 1997. - T. 489 . — S. 403–441 .
• Chaim Goodman Strauss. Sovitussäännöt ja korvauslaatoitus  // Matematiikan Annals . - Annals of Mathematics, 1998. - V. 147 , no. 1 . — S. 181–223 . - doi : 10.2307/120988 . — .
• Chaim Goodman Strauss. Pieni jaksollinen sarja tasomaisia ​​laattoja // European Journal of Combinatorics . - 1999. - T. 20 , no. 5 . — S. 375–384 . - doi : 10.1006/eujc.1998.0281 .
• Branko Grünbaum , Geoffrey C. Shephard. Laatoitukset ja kuviot. - W. H. Freeman & Company, 1986. - ISBN 0-7167-1194-X .
• Marjorie Senechal. Kvasikiteet ja geometria. - Cambridge University Press , 1995. - ISBN 0-521-57541-9 .
• Socolar JES Yksinkertaiset kahdeksankulmaiset ja kaksikulmaiset kvasikiteet // Phys. Rev. B. - 1989. - T. 39 . — S. 10519–51 . - doi : 10.1103/PhysRevB.39.10519 . - .
• Penrose R. Huomautuksia laatoinnista: 1 +  ε  +  ε 2 -jaksollisen joukon yksityiskohdat // The Mathematics long range aperidic order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 467–497 .
• Nischke K.-P., Danzer L. Inflaatiosääntöjen rakenne n - kertaiseen symmetriaan // Disc. ja Comp. Geom.. - 1996. - V. 15 , no. 2 . — S. 221–236 . - doi : 10.1007/BF02717732 .
• Mozes S. Laatat, korvausjärjestelmät ja niiden tuottamat dynaamiset järjestelmät // Journal d'Analyse Mathématique. - 1989. - T. 53 , no. 1 . - S. 139-186 . - doi : 10.1007/BF02793412 .
• Charles Radin. Lentokoneen väylälaatat  // Matematiikan Annals . - Annals of Mathematics, 1994. - V. 139 , no. 3 . — S. 661–702 . - doi : 10.2307/2118575 . — .
• de Bruijn NG Algebrallinen teoria Penrosen tason ei-jaksollisista laatoituksista, I, II // Nederl. Akad. Wetensch. Indeksi. Math.. - 1981. - T. 43 . — S. 39–52, 53–66 .
• Le TTQ Paikalliset säännöt kvasiperiodisille laatoille // The Mathematics long range aperidic order, NATO Adv. sci. Inst. Ser. C. Math. Phys. Sci.. - 1997. - T. 489 . — S. 331–366 . - doi : 10.1007/978-94-015-8784-6_13 .
• Jarkko Kari. Pieni jaksollinen joukko Wang-laattoja // Diskreetti matematiikka . - 1996. - T. 160 , no. 1-3 . — S. 259–264 . - doi : 10.1016/0012-365X(95)00120-L .
• Chaim Goodman Strauss. Voimakkaasti aperiodinen laattojen joukko hyperbolisessa tasossa  // Inventiones Mathematicae . - 2005. - T. 159 , numero. 1 . — S. 119–132 . - doi : 10.1007/s00222-004-0384-1 . - .
• Shahar Mooses. Ajoittainen laatoitus  // Inventiones Mathematicae . - 1997. - T. 128 , no. 3 . — S. 603–611 . - doi : 10.1007/s002220050153 . - .
• Block J., Weinberger S. Ajoittainen laatoitus, positiivinen skalaarikaarevuus ja tilojen mukautuvuus // Journal of the AMS. - 1992. - V. 5 , no. 4 . — S. 907–918 . - doi : 10.1090/s0894-0347-1992-1145337-x .
• Joshua Socolar. Heikot täsmäyssäännöt kvasikiteille  // Comm. Matematiikka. Phys.. - 1990. - Vol. 129 , no. 3 . — S. 599–619 . - doi : 10.1007/BF02097107 . - .
• Paul J. Steinhardt. Uusi paradigma kvasikiteiden rakenteelle . Arkistoitu alkuperäisestä 23. helmikuuta 2007.
• Edwards WS, Fauve S. Parametrisesti viritetyt kvasikiteiset pinta-aallot // Physical Review E. - 1993. - V. 47 , no. 2 . - C. R788 - R791 .
• Levy JC. S., Mercier D. Stabiilit kvasikiteet // Acta Phys. superficierum. - 2006. - T. 8 . - S. 115 .
• Joshua ES Socolar1, Joan M. Taylor2. Aperiodinen kuusikulmainen laatta  // Journal of Combinatorial Theory Series A. - 2010. - arXiv : 1003.4279v1 .

Linkit

• Geometry Junkyard
• Jaksottaiset laatoitukset