Pythagoraan mosaiikki

Pythagoralainen laatoitus ( kahden neliön laatoitus ) on euklidisen tason laatoitus kahden erikokoisen neliön kanssa, jossa jokainen neliö koskettaa neljää erikokoista ruutua neljällä sivullaan. Tämän mosaiikin perusteella on mahdollista todistaa (intuitiivisesti) Pythagoraan lause [2] , jota varten mosaiikkia kutsuttiin Pythagoraan [1] . Mosaiikkia käytetään usein laattalattiakuviona . Tässä yhteydessä laatoitus tunnetaan myös luokkakuviona [3] .

Topologia ja symmetria

Pythagoralainen laatoitus on ainoa laatoitus, jossa on kaksi erikokoista ruutua, jossa kahdella ruudulla ei ole yhteistä puolta, ja samalla mitkä tahansa kaksi samankokoista ruutua voidaan yhdistää toisiinsa laatoituksen symmetrian avulla [ 4] .

Topologisesti pythagoralaisella laatoituksella on sama rakenne kuin neliöiden ja säännöllisten kahdeksankulmioiden katkaistun neliön laatoituksen [5] . Pythagoralaisen laatoituksen pienemmät neliöt ovat neljän suuren laatan vieressä, samoin kuin katkaistun neliölaatoituksen neliöt, kun taas Pythagoraan laatoituksen suuremmat neliöt ovat kahdeksan naapurin vieressä, vuorotellen suuria ja pieniä, aivan kuten katkaistun laatan kahdeksankulmiot. neliön laatoitus. Molemmilla laatoilla on kuitenkin erilainen symmetria - katkaistu neliölaatoitus on kaksitahoinen symmetria jokaisen laatan keskellä, kun taas Pythagoraan laatoituksessa on pienempi syklinen symmetriajoukko vastaavien pisteiden ympärillä, mikä muodostaa p4-symmetrian [6] . Mosaiikki on kiraalinen , mikä tarkoittaa, että sitä ei voida saada peilikuvasta vain rinnakkaisilla käännöksillä ja pyörityksillä.

Tasainen  laatoitus on laatoitus, jossa jokainen laatta on säännöllinen monikulmio ja jossa on symmetria, joka kartoittaa minkä tahansa kärjen mihin tahansa toiseen kärkeen. Tavallisesti yhtenäinen laatoitus vaaditaan lisäksi, jotta laatat koskettavat reunasta reunaan, mutta jos tämä rajoitus poistetaan, on olemassa kahdeksan yhtenäistä laatoitusta - neljä muodostetaan äärettömistä neliöiden tai säännöllisten kolmioiden kaistaleista, kolme muodostetaan säännöllisillä. kolmiot ja säännölliset kuusikulmiot, ja kahdeksas on Pythagoraan mosaiikki [7] .

Pythagoraan lause ja leikkaukset

Mosaiikkia kutsutaan Pythagoraiseksi, koska sitä käyttivät Pythagoraan lauseen todistamiseen yhdeksännen vuosisadan arabimatemaatikot An-Nairizi ja Thabit ibn Qurra ja 1800-luvulla brittiläinen amatöörimatemaatikko Henry Perigal [1] [8] [9] . Jos kahden mosaiikin muodostavan neliön sivut on merkitty kirjaimilla ja , niin lähin etäisyys samanlaisten neliöiden vastaavien pisteiden välillä on , jossa on suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus, jonka jalat ovat yhtä suuret ja . Esimerkiksi vasemmalla olevassa kuvassa Pythagoraan laatoituksen kahden ruudun pituus on 5 ja 12 yksikköä ja päällekkäisen neliölaatoituksen sivun pituus (punaiset viivat) on 13, mikä vastaa Pythagoraan kolmoiskappaletta (5 ,12,13).

Asettamalla Pythagoraan laatoituksen päälle nelikulmainen hila, jossa on sivu , saadaan leikkaus viiteen osaan kahdesta epätasaisesta neliöstä, joiden sivut ja , joista voidaan tehdä neliö, jonka sivu on , tämä osoittaa, että kaksi pienempää neliötä kokonaispinta-ala on sama kuin suurella neliöllä. Samalla tavalla kahden Pythagoraan laatoituksen superpositiolla voidaan saada kahdesta epätasaisesta neliöstä leikkaus kuuteen osaan, joista voidaan lisätä kaksi muuta epätasaista neliötä [8] [10] .

Jaksottaiset osat

Vaikka Pythagoraan laatoitus itsessään on jaksollinen (sillä on rinnakkaisten käännösten neliöhila ), sen osia voidaan käyttää yksiulotteisten ei- jaksollisten sekvenssien muodostamiseen [11] .

Aperiodisten sekvenssien "lohkokonstruktiossa" Pythagoraan mosaiikki rakennetaan kahdella neliöllä, joiden sivujen pituuksien suhde on irrationaalinen (yhtä kuin ). Tässä tapauksessa valitaan suora, joka on yhdensuuntainen neliöiden sivujen kanssa, ja binääriarvojen sarja luodaan riippuen neliöstä, jonka viiva leikkaa - 0 vastaa suuremman neliön leikkauskohtaa ja 1 vastaa. pienemmän neliön leikkauspisteeseen. Tässä sarjassa nollien ja ykkösten esiintymisten suhde on suhteessa . Tätä suhdetta ei voida saada jaksollisella nollien ja ykkösten sarjalla, koska se on irrationaalinen [11] .

Jos valitset laaduksi kultaisen leikkauksen , tällä tavalla muodostetulla nollien ja ykkösten jonolla on sama rekursiivinen rakenne kuin Fibonacci-sanalla  - se voidaan jakaa muotoon "01" ja "0" oleviksi merkkijonoiksi ( eli ilman kahta peräkkäistä ) ja jos nämä kaksi alimerkkijonoa korvataan peräkkäin lyhyemmillä merkkijonoilla "0" ja "1", saadaan toinen merkkijono, jolla on sama rakenne [11] .

Aiheeseen liittyvät tulokset

Kellerin oletuksen mukaan minkä tahansa tason laatoituksen identtisillä neliöillä täytyy sisältää kaksi neliötä, jotka koskettavat reunasta reunaan [12] . Pythagoralaisessa laatoituksessa ei kaksi ruutua koskettaisi reunasta reunaan [4] , mutta tämä tosiasia ei riko Kellerin olettamusta, koska kaikki neliöt eivät ole samanlaisia.

Pythagoralainen laatoitus voidaan yleistää kolmiulotteiseksi euklidiseksi avaruuteen kahden erikokoisen, samalla tavalla koskettavan kuution laatoituksena. Attila Bölcskey kutsuu tällaisia ​​kolmiulotteisia tessellaatioita Rogersin laatoiksi . Hän ehdotti, että missä tahansa dimensiossa, joka on suurempi kuin kolme, on ainutlaatuinen tapa koota kahden erikokoisen hyperkuutiotila , jonka ominaisuudet ovat samanlaiset kuin yllä kuvatut (kahdella hyperkuutiolla ei ole yhteistä puolta ja mitkä tahansa kaksi samankokoista hyperkuutiota voidaan kartoittaa toisiinsa laatoitussymmetrialla) [13] [14] .

Burns ja Rigby ovat löytäneet prototiileja , mukaan lukien Koch-lumihiutale , joita voidaan käyttää lentokoneen tessellointiin kahdella tai useammalla erikokoisella kopiolla [15] [16] . Danzerin, Grünbaumin ja Shepardin aikaisemmassa artikkelissa on toinen esimerkki, kupera viisikulmio, joka vain muotoilee tason kahden ulottuvuuden yhdistelmänä [17] . Vaikka Pythagoralainen laatoitus käyttää kahta erikokoista ruutua, ruuduilla ei ole samoja ominaisuuksia kuin ilmoitetuilla prototiileillä, jotka voidaan laatoittaa vain kahdella (tai useammalla) erikokoisella laatalla, koska taso voidaan laatoittaa sama koko.

Muistiinpanot

1. ↑ 1 2 3 Nelsen, 2003 , s. 5–8.
2. ↑ Wells, 1991 , s. 260–261.
3. ↑ Hopscotch: Se on enemmän kuin lasten leikki. — Tile Inc., elokuu 2008. .
4. ↑ 1 2 Martini, Makai, Soltan, 1998 , s. 481–495.
5. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. 171.
6. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. 42.
7. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. 73–74.
8. ↑ 1 2 Aguilo, Fiol, Fiol, 2000 , s. 341-352.
9. ↑ Grünbaum ja Shephard 1987 , s. 94.
10. ↑ Frederickson, 1997 , s. 30–31.
11. ↑ 1 2 3 Steurer, Deloudi, 2009 , s. 91–92.
12. ↑ Tämän olettamuksen oikeellisuus kaksiulotteisten laatoitusten kohdalla oli Kellerin tiedossa, mutta myöhemmin todistettiin, että olettamus ei pidä paikkaansa dimensioissa kahdeksan tai sitä korkeammalla. Katso hypoteesiin liittyvien tulosten katsaukset ( Zong 2005 ).
13. ↑ Bölcskei, 2001 , s. 317-326.
14. ↑ Dawson ( 1984 ) toimitti piirroksen kolmiulotteisesta mosaiikista, jonka hän pitää Rogersin ansioksi, mutta lainasi Richard Guyn vuoden 1960 artikkelia .
15. ↑ Burns, 1994 , s. 193-196.
16. ↑ Rigby, 1995 , s. 560–561.
17. ↑ Danzer, Grünbaum, Shephard 1982 , s. 568–570+583–585, kuva 3.

Kirjallisuus

• Walter Steurer, Sofia Deloudi. Kvasikiteiden kristallografia: käsitteet, menetelmät ja rakenteet. - Springer, 2009. - T. 126. - S. 91–92. - (Springer-sarja materiaalitieteessä). - ISBN 978-3-642-01898-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-01899-2 .
• David Wells. Pingviinien sanakirja uteliaasta ja mielenkiintoisesta geometriasta . - New York: Penguin Books, 1991. - s  . 260-261 . — ISBN 0-14-011813-6 .
• Horst Martini, Endre Makai, Valeriu Soltan. Tason yksipuoliset laatoitukset kolmen koon neliöillä // Beiträge zur Algebra und Geometrie. - 1998. - T. 39 , no. 2 . — S. 481–495 . .
• Branko Grünbaum, GC Shephard. Laatoitukset ja kuviot. - W.H. Freeman, 1987. - s. 171.
• Francesc Aguilo, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Periodiset laatoitukset dissektiomenetelmänä  // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , no. 4 . - S. 341-352 . - doi : 10.2307/2589179 .
• Greg N. Frederickson. Dissektiot: Plane & Fancy . - Cambridge University Press, 1997. - S.  30-31 .
• Chuanming Zong. Mitä tiedetään yksikkökuutioista // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , no. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Attila Bolcskei. Tilan täyttäminen kahden koon kuutioilla // Publicationes Mathematicae Debrecen. - 2001. - T. 59 , numero. 3-4 . — S. 317–326 .
• RJM Dawson. Avaruuden täyttämisestä eri kokonaislukukuutioilla // Kombinatorial Theory. Sarja A. - 1984. - T. 36 , no. 2 . — S. 221–229 . - doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 .
• Chuanming Zong. Mitä tiedetään yksikkökuutioista // Bulletin of the American Mathematical Society. - 2005. - T. 42 , no. 2 . — S. 181–211 . - doi : 10.1090/S0273-0979-05-01050-5 .
• Roger B. Nelsen. Maalauksia, tasolaatoitusta ja vedoksia // Math Horizons. - 2003. - Ongelma. marraskuuta . - s. 5-8 .
  • Uusintapainos kirjassa Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. Universumin reuna: Math Horizons kymmenen vuoden juhla. - Mathematical Association of America, 2007. - S. 295-298. - ISBN 978-0-88385-555-3 .
  • Katso myös Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Hurmaavia todisteita: matka eleganttiin matematiikkaan. - Mathematical Association of America, 2010. - V. 42. - S. 168-169. - (Dolcianin matemaattiset tutkimukset). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• Aidan Burns. 78.13 Fraktaalilaatat  // Mathematical Gazette. - 1994. - T. 78 , no. 482 . - S. 193-196 . — .
• John Rigby. 79.51 Tason laatoitus samanlaisilla kahden koon polygoneilla  // Mathematical Gazette. - 1995. - T. 79 , no. 486 . — S. 560–561 . — .
• Danzer L., Grünbaum B., Shephard GC Ratkaisemattomat ongelmat: Voiko kaikilla laattojen laatoilla olla viisinkertainen symmetria? // The American Mathematical Monthly. - 1982. - T. 89 , no. 8 . - doi : 10.2307/2320829 .
• Aguilo F., Fiol MA, Fiol ML Periodiset laatoitukset dissektiomenetelmänä // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , no. 4 . - doi : 10.2307/2589179 .