Pythagoraan lause

Pythagoraan lause

Nimetty	Pythagoras
Kaava, joka kuvaa lakia tai lausetta	$c^{2}=a^{2}+b^{2}$
Nimitys kaavassa	$c$ , ja $a$ $b$
Elementti tai lause kuvaa	suorakulmainen kolmio
Kuvattu linkissä	geogebra.org/m/ZF… ( englanti)
Mediatiedostot Wikimedia Commonsissa

Pythagoraan lause on yksi euklidisen geometrian peruslauseista, joka määrittää suoran kolmion sivujen välisen suhteen : jalkojen pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin hypotenuusan pituuden neliö .

Suhde oli tavalla tai toisella tiedossa useissa muinaisissa sivilisaatioissa kauan ennen aikakauttamme; ensimmäinen geometrinen todistus johtuu Pythagoras . Lauseke esiintyy lauseena 47 Euklidin elementeissä [ .

Voidaan myös ilmaista geometrisena tosiasiana, että hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa. Myös käänteinen lause on totta : kolmio, jossa kahden sivun pituuksien neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmannen sivun pituuden neliö, on suorakulmainen kolmio.

Tästä lauseesta on olemassa useita yleistyksiä - mielivaltaisille kolmioille , suurempien tilojen hahmoille. Ei -euklidisissa geometrioissa lause ei päde .

Historia

Matematiikan historioitsija Moritz Cantorin mukaan muinaisessa Egyptissä kuningas Amenemhet I :n aikana (noin 23. vuosisadalla eKr. ) tiedettiin suorakulmaisesta kolmiosta, jonka sivut olivat 3, 4, 5 - sitä käyttivät harpedonaptit - " köydenkiristimet" [1] . Muinaisessa babylonialaisessa tekstissä, joka juontaa juurensa Hammurabin ajalle ( XX vuosisata eKr. ), on esitetty hypotenuusan likimääräinen laskelma [2] . Van der Waerdenin mukaan on hyvin todennäköistä, että suhde yleisesti tunnettiin Babylonissa jo noin 1700-luvulla eKr. e.

Muinaisessa kiinalaisessa kirjassa " Zhou bi suan jing ", joka on päivätty 5.-3. vuosisadalle eKr. eli kolmio, jonka sivut ovat 3, 4 ja 5, on annettu, lisäksi kuva voidaan tulkita graafiseksi perusteluksi lauseen suhteelle [3] . Kiinalaisessa tehtäväkokoelmassa " Mathematics in Nine Books " (X-II vuosisatoja eKr.) erillinen kirja on omistettu lauseen soveltamiselle.

On yleisesti hyväksyttyä, että todisteen korrelaatiosta antoi antiikin kreikkalainen filosofi Pythagoras (570-490 eKr.). Proklokselta ( 412-485 jKr.) on todisteita siitä, että Pythagoras käytti algebrallisia menetelmiä Pythagoraan kolmioiden löytämiseen [ [4] , mutta viiteen vuosisataan Pythagoraan kuoleman jälkeen ei ole suoraa mainintaa hänen kirjoittajuudestaan. Kuitenkin, kun Plutarch ja Cicero kirjoittavat Pythagoraan lauseesta, sisällöstä seuraa, että Pythagoraan kirjoittaja on hyvin tunnettu ja kiistaton [5] [6] . Diogenes Laertesin raportoima legenda , jonka mukaan Pythagoras juhli lauseensa löytöä jättimäisellä juhlalla teurastaen sata härkää ilosta [7] .

Noin 400 eaa. esim. Prokloksen mukaan Platon antoi menetelmän Pythagoraan kolmioiden löytämiseksi yhdistämällä algebran ja geometrian. Noin 300 eaa. e. Eukleideen "elementeissä" ilmestyi Pythagoraan lauseen vanhin aksiomaattinen todiste [8] .

Formulaatiot

Pääformulaatio sisältää algebrallisia operaatioita - suorakulmaisessa kolmiossa, jonka jalkojen pituus on yhtä suuri kuin ja ja hypotenuusan pituus on , relaatio $a$ $b$ $c$

a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Vastaava geometrinen muotoilu on myös mahdollista turvautumalla kuvioalueen käsitteeseen : suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusalle rakennetun neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin jalkoihin rakennettujen neliöiden pinta-alojen summa. Tässä muodossa lause on muotoiltu Euklidesin elementeissä.

Pythagoraan käänteislause on väite minkä tahansa kolmion suorakulmaisuudesta, jonka sivujen pituudet liittyvät suhteeseen . Tämän seurauksena kaikki kolminkertaiset positiiviset numerot , Ja Sellainen, että On olemassa suorakulmainen kolmio jalat ja ja hypotenuusa . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a$ $b$ $c$

Todisteet

Tieteelliseen kirjallisuuteen on tallennettu ainakin 400 Pythagoraan lauseen [9] todistetta , mikä selittyy sekä geometrian perusarvolla että tuloksen alkeellisella luonteella. Todistuksen pääsuunnat ovat: kolmioelementtien suhteiden algebrallinen käyttö ( esim. suosittu samankaltaisuusmenetelmä ), pinta-alamenetelmä , on myös erilaisia eksoottisia todisteita (esim. differentiaaliyhtälöitä käyttäen).

Samankaltaisten kolmioiden kautta

Yksi suosituimmista algebrallisen muotoilun todisteista oppikirjallisuudessa on kolmion samankaltaisuustekniikkaa käyttävä todistus , kun taas se on lähes suoraan johdettu aksioomista eikä sisällä käsitettä kuvion pinta-alasta . [10] Siinä kolmiolle , jonka kärjessä on suora kulma ja jonka sivut ovat vastakkaiset kärkeen nähden , piirretään korkeus ja ( kahden kulman yhtäläisyyskriteerin mukaan) syntyy samankaltaisuussuhteita : ja , josta suhteet suoraan seuraavat $\kolmio ABC$ $C$ $a,b,c$ $A, B, C$ $CH$ $\triangle ABC\sim \triangle ACH$ ${\näyttötyyli \kolmio ABC\sim \kolmio CBH}$

{\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}},\quad {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b }}.

Kun kerrotaan suhteiden äärijäsenet , johdetaan yhtäläisyydet

a^{2}=c\cdot |HB|,\quad b^{2}=c\cdot |AH|,

komponentti kerrallaan lisääminen antaa halutun tuloksen:

a^{2}+b^{2}=c\cdot {\big (}|HB|+|AH|{\big )}=c^{2}\quad \Leftrightarrow \quad a^{ 2}+b^{2}=c^{2}.

Todistukset aluemenetelmällä

Suuri joukko todisteita sisältää alueen käsitteen. Huolimatta monien näennäisestä yksinkertaisuudesta, tällaiset todistukset käyttävät kuvioiden alueiden ominaisuuksia, joiden todistukset ovat monimutkaisempia kuin itse Pythagoraan lauseen todistukset.

Ekvivalenssitodistus

Ekvikomplementaatiotodistuksessa käytetään neljää kopiota suorakulmaisesta kolmiosta, jossa on jalat ja hypotenuusa , jotka on järjestetty muodostamaan neliö, jossa on sivut ja sisäinen nelikulmio, jonka sivut ovat pitkiä . Sisäinen nelikulmio tässä konfiguraatiossa on neliö , koska kahden oikean kulman vastakkaisen terävän kulman summa on 90° ja suorakulma on 180°. Ulomman neliön pinta-ala on yhtä suuri kuin , se koostuu sisäneliöstä, jonka pinta -ala on ja neljä suorakulmaista kolmiota, joista jokaisella on pinta-ala , joten lauseen lause seuraa suhteesta algebrallisen muunnoksen aikana . $a,b$ $c$ $a+b$ $c$ ${\näyttötyyli (a+b)^{2}}$ $c^{2}$ ${\frac {ab}{2))$ $(a+b)^{2}=4\cdot {\frac {ab}{2}}+c^{2}$

Eukleideen todiste

Eukleideen klassisen todistuksen tavoitteena on määrittää pinta-alojen yhtäläisyys niiden suorakulmioiden välillä, jotka on muodostettu leikkaamalla hypotenuusan yläpuolella oleva neliö jalkojen yläpuolella olevien neliöiden korkeus oikeasta kulmasta. [yksitoista]

Todistuksessa käytetty rakenne on seuraava: suorakulmaiselle kolmiolle , jossa on suora kulma , neliöt jalkojen päällä ja ja neliö hypotenuusan päällä , rakennetaan korkeus ja säde, joka jatkaa sitä jakaa neliön hypotenuusan yli kahteen suorakulmioon ja . Todistuksen tarkoituksena on määrittää suorakulmion pinta-alojen yhtäläisyys jalan yläpuolella olevan neliön kanssa ; toisen suorakulmion, joka on hypotenuusan yläpuolella oleva neliö, ja toisen jalan yläpuolella olevan suorakulmion pinta-alojen yhtäläisyys määritetään samalla tavalla. $\kolmio ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABIK$ $CH$ $s$ $AHJK$ $BHJI$ $AHJK$ $AC$

Suorakulmion pinta-alojen yhtäläisyys määritetään kolmioiden ja -kongruenssilla , joiden kunkin pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet suorakulmioiden pinta-alasta ja vastaavasti seuraavan ominaisuuden yhteydessä: pinta-ala kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet suorakulmion pinta-alasta, jos kuvioilla on yhteinen sivu, ja kolmion korkeus yhteiseen sivuun on suorakulmion toinen puoli. Kolmioiden kongruenssi seuraa kahden sivun (neliöiden sivut) ja niiden välisen kulman (joka koostuu suorasta kulmasta ja kulmasta ) tasa-arvosta. $AHJK$ $ACED$ $\triangle ACK$ ${\näyttötyyli \kolmio ABD}$ $AHJK$ $ACED$ $A$

Siten todiste osoittaa, että hypotenuusan yläpuolella olevan neliön pinta-ala, joka koostuu suorakulmioista ja , on yhtä suuri kuin jalkojen yläpuolella olevien neliöiden pinta-alojen summa. $AHJK$ $BHJI$

Todiste Leonardo da Vincistä

Alueiden menetelmään liittyy myös Leonardo da Vincille kuuluva todiste . Saksalaisen matemaatikon Franz Lemmermeyerin mukaan tämän todisteen itse asiassa keksi Johann Tobias Mayer [12] . Olkoon suorakulmainen kolmio , jossa on suora kulma ja neliöt , Ja annetaan (katso kuva). Tässä todistuksessa kolmio on rakennettu puolelle jälkimmäistä ulkopuolelle, yhteneväinen , lisäksi heijastuu sekä suhteessa hypotenuusaan että suhteessa sen korkeuteen (eli ja ). Suora jakaa hypotenuusalle rakennetun neliön kahteen yhtä suureen osaan, koska kolmiot ja ovat rakenteeltaan yhtä suuret. Todistus vahvistaa nelikulmion ja -kongruenssin , joiden jokaisen pinta-ala on yhtä suuri kuin puolet jalkojen neliöiden pinta-aloista ja alkuperäisen kolmion pinta-alan summasta. toisaalta puoleen hypotenuusan neliön pinta-alasta plus alkuperäisen kolmion pinta-ala. Kaiken kaikkiaan puolet jalkojen yli olevien neliöiden pinta-alojen summasta on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusan yläpuolella olevan neliön pinta-alasta, mikä vastaa Pythagoraan lauseen geometrista muotoilua. $\kolmio ABC$ $C$ $ACED$ $BCFG$ $ABHJ$ $HJ$ $\kolmio ABC$ $JI=BC$ $HI=AC$ $CI$ $\kolmio ABC$ ${\näyttötyyli \kolmio JHI}$ $CAJI$ $DABG$

Samankaltaisten kolmioiden alueiden läpi

Seuraava todistus perustuu siihen, että samankaltaisten kolmioiden pinta-alat ovat suhteessa vastaavien sivujen neliöihin. [13]

Olkoon suorakulmainen kolmio, jonka kohtisuora putoaa hypotenuusaan oikean kulman kärjestä. Kolmiot ovat samanlaisia, koska niillä on suora kulma ja yhteinen kulma . Keinot $ABC$ $ILMOITUS$ $ABC$ $DBA$ $B$

{\frac {{\text{area}}~DBA}{{\text{area}}~ABC}}={\frac {AB^{2}}{BC^{2}}}.

Samalla tavalla saamme sen

{\frac {{\text{area}}~DAC}({\text{area}}~ABC}}={\frac {AC^{2}}{BC^{2}}}.

Koska kolmiot ja yhdessä muodostavat , ja pinta-alojen summa on yhtä suuri kuin pinta-ala . Täältä $DBA$ $DAC$ $\kolmio ABC$ $\triangle DBA$ $\triangle DAC$ $\kolmio ABC$

{\frac {AB^{2}+AC^{2}}{BC^{2}}}=1

tai $AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}.$

Todistus infinitesimaalimenetelmällä

On olemassa useita todisteita, jotka turvautuvat differentiaaliyhtälöiden tekniikkaan . Erityisesti Hardylle on myönnetty todistus, joka käyttää äärettömän pieniä jalkojen ja ja hypotenuusan lisäyksiä . Esimerkiksi jalan kasvattaminen, kun jalka on vakio , johtaa hypotenuusan kasvattamiseen , joten $a$ $b$ $c$ ${\näyttötyyli kyllä}$ $b$ $dc$

{\frac {da}{dc}}={\frac {c}{a}}.

Muuttujien erotusmenetelmällä niistä johdetaan differentiaaliyhtälö , jonka integrointi antaa suhteen . Alkuehtojen soveltaminen määrittelee vakion muodossa , mikä johtaa lauseen väitteeseen. $c\,dc=a\,da$ $c^{2}=a^{2}+\mathrm {const}$ $a=0,\ c=b$ $b^{2}$

Neliöllinen riippuvuus lopullisessa kaavassa johtuu kolmion sivujen ja inkrementtien välisestä lineaarisesta suhteellisuudesta, kun taas summa johtuu eri haarojen lisäyksestä riippumattomista lisäyksistä.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Samanlaisia geometrisia muotoja kolmella sivulla

Tärkeän Pythagoraan lauseen geometrisen yleistyksen antoi Eukleides Principiassa siirtyen sivuilla olevien neliöiden pinta-aloista mielivaltaisten samankaltaisten geometristen kuvioiden alueisiin [14] : tällaisten jaloille rakennettujen kuvioiden pinta-alojen summa olla yhtä suuri kuin niitä vastaavan hahmon pinta-ala, joka on rakennettu hypotenuusalle.

Tämän yleistyksen pääidea on, että tällaisen geometrisen hahmon pinta-ala on verrannollinen minkä tahansa sen lineaarimitan neliöön ja erityisesti minkä tahansa sivun pituuden neliöön. Siksi samankaltaisille kuvioille, joiden alueet ja , jotka on rakennettu jaloille, joiden pituus on ja ja hypotenuusa , seuraava suhde pätee: $A$ $B$ $C$ $a$ $b$ $c$

{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\,\ Oikea nuoli \,A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C

Koska Pythagoraan lauseen mukaan , niin . $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\näyttötyyli A+B=C}$

Lisäksi, jos Pythagoraan lausetta käyttämättä on mahdollista todistaa, että suorakulmaisen kolmion sivuilla olevan kolmen samanlaisen geometrisen kuvion pinta-aloilla suhde täyttyy , niin käyttämällä Eukleideen yleistyksen todisteen käänteistä voi johtaa Pythagoraan lauseen todisteen. Esimerkiksi, jos hypotenuusalle rakennamme suorakulmaisen kolmion, joka on yhdenmukainen alkuperäisen kolmion kanssa, jonka pinta-ala on , ja jaloille - kaksi samanlaista suorakulmaista kolmiota, joiden alueet ja , niin käy ilmi, että jalkojen kolmiot muodostuvat tuloksena jakamalla alkukolmio sen korkeudella, eli kahden pienemmän kolmion alueen summa on yhtä suuri kuin pinta-ala kolmas, tällä tavalla ja soveltamalla suhdetta vastaaviin lukuihin päätetään Pythagoran lause. ${\näyttötyyli A+B=C}$ $C$ $A$ $B$ ${\näyttötyyli A+B=C}$

Kosinilause

Pythagoraan lause on erikoistapaus yleisemmästä kosinilauseesta, joka suhteuttaa mielivaltaisen kolmion sivujen pituudet [15] :

{\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2))

missä on sivujen välinen kulma ja . Jos kulma on 90°, niin , ja kaava yksinkertaistetaan tavalliseen Pythagoraan lauseeseen. $\theta$ $a$ $b$ $\cos \theta =0$

Mielivaltainen kolmio

Pythagoraan lause on yleistetty mielivaltaiseksi kolmioksi, joka toimii pelkästään sivujen pituuksien suhteen. Uskotaan, että sen perusti ensin sabian tähtitieteilijä Thabit ibn Qurra [16] . Siinä mielivaltaiselle kolmiolle, jonka sivut ovat , siihen on kirjoitettu tasakylkinen kolmio , jonka sivulle on kanta , jonka kärki osuu yhteen alkuperäisen kolmion kärjen kanssa, vastapäätä sivua ja kulmat pohjassa, joka on yhtä suuri kuin kulmaa vastapäätä. puolella . Tuloksena muodostuu kaksi alkuperäisen kaltaista kolmiota: ensimmäinen, jossa on sivut , siitä kauimpana olevan tasakylkisen kolmion sivusivu ja - sivun osat ; toinen on symmetrinen sille puolelta sivun kanssa - vastaava sivun osa . Tämän seurauksena suhde [17] [18] $a,b,c$ $c$ $c$ $\theta$ $c$ $a$ $r$ $c$ $b$ $s$ $c$

a^{2}+b^{2}=c(r+s),

rappeutumassa Pythagoraan lauseeksi klo . Suhde on seurausta muodostuneiden kolmioiden samankaltaisuudesta: $\theta =\pi /2$

{\frac {c}{a}}={\frac {a}{r}},\quad {\frac {c}{b}}={\frac {b}{s}}\quad \Rightarrow \quad cr+cs=a^{2}+b^{2}.

Pappuksen aluelause

Pappuksen pinta-alalause , joka sallii mielivaltaisen kolmion ja mielivaltaiset suunnikkaat sen kahdella sivulla rakentaa suunnikkaan kolmannelle sivulle siten, että sen pinta-ala on yhtä suuri kuin kahden annetun suunnikkaan pinta-alojen summa. yleistyksenä Pythagoraan lauseesta [19] : siinä tapauksessa, että alkuperäinen kolmio on suorakulmainen ja neliöt on annettu suunnikasina jaloissa, hypotenuusalle rakennettu neliö osoittautuu täyttävän Pappus-alueen ehdot. lause.

Moniulotteiset yleistykset

Pythagoraan lauseen yleistys kolmiulotteiselle euklidiselle avaruudelle on de Guan lause : jos kolme suoraa kulmaa konvergoi tetraedrin yhdessä kärjessä , niin tämän kärjen vastakkaisen kasvon pinta-alan neliö on yhtä suuri kuin kolmen muun pinnan alueiden neliöt. Tämä johtopäätös voidaan myös yleistää " n - ulotteisena Pythagoraan lauseena" suurempien ulottuvuuksien euklidisille avaruuksille [20] - ortogonaalisen -ulotteisen simpleksin pinnoille, joissa on ortogonaaliset pinta-alat ja niiden vastakkainen alue , suhde täyttyy. : $n$ $S_{1},\dots ,S_{n}$ $S_{0}$

S_{0}^{2}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}^{2}

Toinen moniulotteinen yleistys johtuu ongelmasta löytää suorakaiteen muotoisen laatikon diagonaalin pituus : sen laskemiseksi sinun on sovellettava Pythagoraan lausetta kahdesti, minkä seurauksena se on pituuksien neliöiden summa. laatikon kolmesta vierekkäisestä sivusta. Yleensä diagonaali- ulotteisen kuution pituus, jossa on vierekkäiset sivut pituuksilla, on: $n$ $a_{1},\pisteet ,a_{n}$

{\displaystyle d^{2}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2))

Kuten kolmiulotteisessa tapauksessa, tulos on seurausta Pythagoraan lauseen peräkkäisestä soveltamisesta suorakulmaisiin kolmioihin kohtisuorassa tasossa.

Pythagoraan lauseen yleistys äärettömän ulottuvuuden avaruudelle on Parsevalin yhtälö [21] .

Ei-euklidinen geometria

Pythagoraan lause on johdettu euklidisen geometrian aksioomeista ja ei kelpaa ei-euklidiselle geometrialle [22] – Pythagoraan lauseen toteutuminen vastaa Eukleideen rinnakkaispostulaattia [23] [24] .

Ei-euklidisessa geometriassa suorakulmaisen kolmion sivujen välinen suhde on välttämättä eri muodossa kuin Pythagoraan lause. Esimerkiksi pallogeometriassa suorakulmaisen kolmion kaikilla kolmella yksikköpallon oktanttia rajoittavilla sivuilla on pituus , mikä on ristiriidassa Pythagoraan lauseen kanssa. $\pi/2$

Samanaikaisesti Pythagoran lause pätee hyperbolisessa ja elliptisessä geometriassa, jos kolmion suorakulmainen vaatimus korvataan ehdolla, että kolmion kahden kulman summan on oltava yhtä suuri kuin kolmas [25] .

Pallogeometria

Jokaiselle suorakulmaiselle kolmiolle pallolla, jonka säde (esimerkiksi jos kolmion kulma on suorakulmainen kolmio), jossa on sivuja, sivujen välinen suhde on muotoa [26] $R$ $\gamma$ $a,b,c$

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}.

Tämä yhtäläisyys voidaan johtaa pallokosinisilauseen erikoistapauksena , joka pätee kaikkiin pallomaisiin kolmioihin:

\cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\cdot \cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a }{R}}\cdot \sin {\frac {b}{R}}\cdot \cos \gamma .

Käyttämällä Taylor-sarjaa kosinifunktiossa ( ) voidaan osoittaa, että jos säde pyrkii äärettömyyteen ja argumentit , ja nollaan, niin suorakulmaisen kolmion sivujen välinen pallosuhde lähestyy Pythagoran lausetta. $\cos x\noin 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $R$ ${\dfrac {a}{R}}$ ${\dfrac {b}{R))$ ${\dfrac {c}{R))$

Lobatševskin geometria

Lobatševskin geometriassa suorakulmaiselle kolmiolle, jonka sivut ovat oikean kulman vastakkaisia, sivujen välinen suhde on seuraava [27] : $a,b,c$ $c$

\operaattorinnimi {ch} c=\operaattorinnimi {ch} a\cdot \operaattorinnimi {ch} b

missä on hyperbolinen kosini [28] . Tämä kaava on hyperbolisen kosinilauseen erikoistapaus, joka pätee kaikkiin kolmioihin [29] : ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {ch} }$

\operaattorinnimi {ch} c=\operaattorinnimi {ch} a\cdot \operaattorinimi {ch} b-\operaattorinimi {sh} a\cdot \operaattorinimi {sh} b\cdot \cos \gamma

missä on kulma, jonka kärki on vastakkainen sivua . $\gamma$ $c$

Käyttämällä Taylor-sarjaa hyperboliselle kosinille ( ) voidaan osoittaa, että jos hyperbolinen kolmio pienenee (eli kun , ja pyrkii nollaan), niin suorakulmaisen kolmion hyperboliset suhteet lähestyvät klassisen Pythagoraan lauseen relaatiota. $\operaattorin nimi {ch} x\noin 1+{\dfrac {x^{2}}{2}}$ $a$ $b$ $c$

Sovellus

Etäisyys kaksiulotteisissa suorakaiteen muotoisissa järjestelmissä

Pythagoraan lauseen tärkein sovellus on kahden pisteen välisen etäisyyden määrittäminen suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa : etäisyys pisteiden välillä, joiden koordinaatit ja on yhtä suuri kuin $s$ $(a, b)$ ${\näyttötyyli (c,d)}$

s={\sqrt {(ac)^{2}+(bd)^{2))}.

Kompleksiluvuille Pythagoran lause antaa luonnollisen kaavan kompleksiluvun moduulin löytämiseksi - sillä se on yhtä suuri kuin sädevektorin pituus kompleksitasolla pisteeseen : $z=x+yi$ $(x, y)$

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

Kompleksilukujen välinen etäisyys esitetään myös Pythagoraan lauseen [30] muodossa : $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$

|z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2} }}.

Kahden pisteen välinen etäisyys Lobatševskin tasossa

$ds^{2}=dx^{2}+\operaattorinimi {ch} ^{2}\left({\frac {y}{R))\right)dy^{2}$ .

Tässä R on Lobatševskin tason kaarevuussäde , ch on hyperbolinen kosini .

Euklidinen metriikka

Euklidinen metriikka - etäisyysfunktio euklidisissa avaruudessa , määritetty Pythagoraan lauseella, sen suoralla soveltamisella kaksiulotteisessa tapauksessa ja peräkkäisessä moniulotteisessa tapauksessa; -ulotteisen avaruuden pisteille ja niiden välinen etäisyys määritetään seuraavasti: $n$ $p=(p_{1},\dots ,p_{n})$ $q=(q_{1},\dots ,q_{n})$ $d(p,q)$

d(p,q)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(p_{i}-q_{i})^{2))))

Numeroteoria

Pythagoraan kolmoisluku on kolmen luonnollisen luvun joukko , jotka voivat olla suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksia, eli luonnollisia lukuja, jotka täyttävät diofantiiniyhtälön . Pythagoraan kolmosilla on tärkeä rooli lukuteoriassa , ja ongelma niiden löytämisessä tehokkaasti on synnyttänyt monenlaisia teoksia antiikin ajoista nykypäivään. Fermatin viimeisen lauseen muotoilu on samanlainen kuin Pythagoraan kolmoiskappaleiden löytäminen asteelle, joka on suurempi kuin 2. $(x,\;y,\;z)$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Ainoa Pythagoraan kolmoiskappale, joka koostuu kolmesta peräkkäisestä luvusta, on 3, 4 ja 5: [31] . $3^{2}+4^{2}=5^{2}$

Populaarikulttuurissa

Yksi lauseen todisteen kuvista liittyy venäläisen kouluperinteen suosittuun ilmaisuun "Pytagoralaiset housut ovat tasa-arvoisia kaikilta puolilta", joka sai erityisen mainetta vuoden 1915 koopperan Ivanov Pavel [32] [ 33] ansiosta .

Muistiinpanot

↑ Kantor viittaa Berliinin museon papyrukseen 6619
↑ Historian aihe: Pythagoraan lause Babylonian matematiikassa . Haettu 1. kesäkuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 6. kesäkuuta 2011. (määrätön)
↑ Tiede, tekninen ja sotilaallinen ajattelu, terveydenhuolto ja koulutus // Kiinan henkinen kulttuuri: 5 osan tietosanakirja / Titarenko M. L. - M . : Venäjän tiedeakatemian itämainen kirjallisuus, 2009. - V. 5. - P. 939-941. — 1055 s. — ISBN 9785020184299 . Arkistoitu 4. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Euclid, 1956 , s. 351.
↑ Heath, 1921 , osa I, s. 144.
↑ Kurt Von Fritz . The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (englanniksi) // The Annals of Mathematics, Second Series : Journal. - Annals of Mathematics, 1945. - Huhtikuu ( nide 46 , nro 2 ). - s. 242-264 . — . : "Kuuluuko tämä kaava henkilökohtaisesti Pythagoraan kynään..., mutta voimme luottavaisesti katsoa, että se kuuluu Pythagoraan matematiikan vanhimpaan ajanjaksoon."
↑ Georg Hegel. Filosofian historian luentoja . - Litraa, 2016-09-08. - S. 282. - 1762 s. — ISBN 9785457981690 .
↑ Asger Aaboe. Jaksot matematiikan varhaisesta historiasta (englanniksi) . - Mathematical Association of America , 1997. - S. 51. - ISBN 0883856131 . Arkistoitu 9. elokuuta 2016 Wayback Machinessa . - "...vasta Eukleidesta löydämme loogisen sarjan yleisiä lauseita asianmukaisine todistein."
↑ Elisha Scott Loomis. Pythagoraan lause
↑ Katso esimerkiksi Geometry Kiseljovin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , § 196.
↑ Katso esimerkiksi Geometry Kiseljovin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , § 259.
↑ Franz Lemmermeyer. Leonardo da Vincin Pythagoraan lauseen todiste (englanniksi) . The College Mathematics Journal 47(5):361 (marraskuu 2016). Haettu 22. lokakuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 7. kesäkuuta 2022.
↑ Katso esimerkiksi Geometry Kiseljovin mukaan Arkistoitu 1. maaliskuuta 2021 Wayback Machinessa , § 263.
↑ Euclid's Elements : book VI, proposition VI 31: "Suorakulmaisissa kolmioissa oikeaa kulmaa alittavalla puolella oleva kuva on yhtä suuri kuin samankaltaiset ja samalla tavalla kuvatut kuviot sivuilla, jotka sisältävät oikean kulman".
↑ Lawrence S. Leff. Lainattu työ . - Barron's Educational Series, 2005. - S. 326. - ISBN 0764128922 .
↑ Howard Whitley Eves. § 4.8: …Pythagoraan lauseen yleistys // Matematiikan suuria hetkiä (ennen vuotta 1650 ) . - Mathematical Association of America, 1983. - S. 41. - ISBN 0883853108 . Arkistoitu 9. elokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Aydin Sayili . Thâbit ibn Qurran yleistys Pythagoraan lauseesta (englanniksi) // Isis : päiväkirja. - 1960. - maaliskuu ( osa 51 , nro 1 ) . - s. 35-37 . - doi : 10.1086/348837 . — .
↑ Judith D. Sally, Paul Sally. Harjoitus 2.10(II) // Lainattu työ . - 2007. - S. 62. - ISBN 0821844032 . Arkistoitu 9. elokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ George Jennings. Kuva 1.32: Yleistetty Pythagoraan lause // Moderni geometria sovelluksilla: 150 kuviolla . – 3. - Springer, 1997. - s. 23. - ISBN 038794222X .
↑ Rajendra Bhatia. matriisianalyysi . - Springer , 1997. - S. 21. - ISBN 0387948465 .
↑ Shilov G. E. Matemaattinen analyysi. Erikoiskurssi. - M .: Fizmatlit, 1961. - C. 194
↑ Stephen W. Hawking. Lainattu työ . - 2005. - S. 4. - ISBN 0762419229 . Arkistoitu 17. elokuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ Eric W. Weisstein. CRC:n tiivis matematiikan tietosanakirja . – 2. - 2003. - S. 2147. - ISBN 1584883472 . Arkistoitu 17. elokuuta 2016 Wayback Machinessa . — "Rinnakkaispostulaatti vastaa yhtäläisyyden postulaattia , Playfairin aksioomaa , Proclus-aksioomaa , kolmiopostulaattia ja Pythagoraan lausetta ."
↑ Alexander R. Pruss. Riittävän syyn periaate : uudelleenarviointi . - Cambridge University Press , 2006. - P. 11. - ISBN 052185959X . Arkistoitu 9. elokuuta 2016 Wayback Machinessa . "Voimme sisällyttää… rinnakkaispostulaatin ja johtaa Pythagoraan lauseen. Tai voisimme sen sijaan tehdä Pythagoraan lauseen muiden aksioomien joukossa ja johtaa rinnakkaispostulaatti."
↑ Victor Pambuccian . Maria Teresa Calapson hyperbolinen Pythagoraan lause (englanniksi) // The Mathematical Intelligencer : Journal. - 2010. - joulukuu ( osa 32 ). — s. 2 . - doi : 10.1007/s00283-010-9169-0 .
↑ Barrett O'Neill. Harjoitus 4 // Alkeinen differentiaaligeometria . – 2. - Academic Press , 2006. - S. 441. - ISBN 0120887355 .
↑ Saul Stahl. Lause 8.3 // Poincarén puolitaso: portti moderniin geometriaan (englanniksi) . - Jones & Bartlett Learning, 1993. - s. 122. - ISBN 086720298X .
↑ Mikisha A. M., Orlov V. B. Selittävä matemaattinen sanakirja. Perustermit. - M. Venäjän kieli, 1989
↑ Jane Gilman. Hyperboliset kolmiot // PSL:n kahden generaattorin erilliset alaryhmät (2, R ) . - American Mathematical Society Bookstore, 1995. - ISBN 0821803611 .
↑ Alfred Gray , Elsa Abbena, Simon Salamon. Moderni käyrien ja pintojen differentiaaligeometria Mathematicalla . – 3. - CRC Press , 2006. - S. 194. - ISBN 1584884487 .
↑ Siegel E. Tämä yksi yhtälö, 10² + 11² + 12² = 13² + 14², vie Pythagoraan kokonaan uudelle tasolle . Forbes (6. maaliskuuta 2020). Haettu 28. huhtikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 4. huhtikuuta 2020.
↑ Legendaarinen ooppera: Teksti ja musiikki . LiveJournal (4. elokuuta 2016). Haettu 9. tammikuuta 2020. Arkistoitu alkuperäisestä 9. kesäkuuta 2020. (määrätön)
↑ Nykyaikaisten lainausten sanakirja. Litraa, 20. maaliskuuta. 2019. s. 9 .

Kirjallisuus

Van der Waerden B. L. Heräämisen tiede. Muinaisen Egyptin, Babylonin ja Kreikan matematiikka. - M., 1959.
Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. - M., 1982.
Yelensky Sh. Pythagoraan jalanjäljissä. — M.: Detgiz , 1961. — 486 s. : ill., kartat.
Claudy Alsina. Numeroiden lahko. Pythagoraan lause. - M .: De Agostini, 2014. - 152 s. — (Matematiikan maailma: 45 nidettä, osa 5). - ISBN 978-5-9774-0633-8 .
Litzman V. Pythagoraan lause. - M., 1960.
- Pythagoraan lausetta käsittelevä sivusto, jossa on paljon todisteita, materiaali on otettu V. Litzmanin kirjasta, suuri määrä piirustuksia esitetään erillisinä graafisina tiedostoina.
Skopets Z. A. Geometriset miniatyyrit. - M., 1990
Euclid. The Elements (3 osaa) / Kääntäjä Johan Ludvig Heiberg, johdannon ja kommentin on kirjoittanut Thomas L. Heath. - Uusintapainos vuodelta 1908. - Dover, 1956. - Vol. 1 (kirjat I ja II). — ISBN 0-486-60088-2 .
Heath S. Kreikan matematiikan historia (2 osa). — Dover Publications, Inc:n painos. (1981). - Clarendon Press, Oxford, 1921. - ISBN 0-486-24073-8 .

Linkit

Pythagoraan lauseen historia
Glazer G. , Venäjän koulutusakatemian akateemikko, Moskova. Pythagoraan lauseesta ja sen todistamisesta
Leike sarjasta " Mathematical Etudes ", joka on omistettu Pythagoran lauseelle ( tietokoneelle , iPhonelle , iPadille )
Pythagoraan lause ja Pythagoraan kolmoiskappaleet. Arkistoitu 3. maaliskuuta 2016 Wayback Machinessa Luku D. V. Anosovin kirjasta "Katso matematiikkaa ja jotain siitä"
Pythagoraan lause WolframMathWorldissa
Cut-The-Knot, Pythagoraan lauseen osa, noin 70 todistusta ja kattavaa lisätietoa (eng.)

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX4809534 BNF : 11946942j GND : 4176546-1 J9U : 987007551078005171 LCCN : sh85109374 NDL : 00934581

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset