Lemoinen piste

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 3. joulukuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 7 muokkausta .

Lemoinen piste
Kolmio, jossa on kolme (syaani) mediaania , kolme (vihreä) kulman puolittajaa ja kolme (punaista) symmediaania . Symmediaanit leikkaavat Lemoinen pisteessä L , kulman puolittajat leikkaavat keskipisteessä I ja mediaanit keskipisteessä G.
barysentriset koordinaatit	$a^{2}:b^{2}:c^{2}$
Trilineaariset koordinaatit	$a:b:c$
ECT- koodi	X(6)
Yhdistetyt pisteet
isogonaalisesti konjugoitu	sentroidi
isotomisesti konjugoitu	Brokarin kolmas piste

Lemoine -piste (simediaanien leikkauspiste, Grebe-piste, merkitty tai ) on yksi kolmion merkittävistä pisteistä . $K$ $L$

Määritelmä

Lemoine-pisteellä on kolme vastaavaa määritelmää:

kolmion kunkin kärjen ja kahdesta muusta kärjestä piirretyn rajatun ympyrän tangenttien leikkauspisteiden välisten viivojen leikkauspiste.
symmediaaninen leikkauspiste .
kolmion sivujen keskipisteet niitä vastaavien korkeuksien keskipisteiden kanssa yhdistävien viivojen leikkauspiste.

Väitettä , jonka mukaan kaksi ensimmäistä määritelmää ovat ekvivalentteja, kutsutaan symmediaanilauseeksi .

Todiste

Antaa olla leikkauspiste tangentit on vertics ja rajattu ympyrä, on puolivälissä puolella . Sitten, koska on pisteen napainen rajatun ympyrän suhteen, ja se on rajatun ympyrän keskustan sivuun nähden kohtisuoran kanta . Napaisuuden määritelmästä seuraa, että pisteet ja ovat symmetrisiä ympyrän suhteen . Olkoon piste sen rajatun ympyrän kaaren keskipiste, joka ei sisällä pistettä . Sitten Eli viiva ja mediaani ovat symmetrisiä suhteessa puolittajaan . Kaksi muuta tällä tavalla muodostettua suoraa ovat samalla tavalla symmetrisiä mediaaneihin nähden. Mutta niiden leikkauspiste on Lemoine-piste, mikä tarkoittaa, että Lemoine-piste on isogonaalisesti konjugoitu mediaanien leikkauspisteeseen ja on simediaanien leikkauspiste. $A_{1}$ $B$ $C$ $OLEN}$ $eKr$ $eKr$ $A_{1}$ $OLEN}$ $eKr$ $A_{1}$ $OLEN}$ $A_0$ $eKr$ $A$ $\angle A_{0}AA_{M}=\angle A_{0}AA_{1}$ $AA_{1}$ $AA_{M}$ $AA_{0}$

Lemoinen kuusikulmio merkittynä annettuun vertailukolmioon

Lemoinen kuusikulmio on kuusikulmio, jonka ympärille voidaan rajata ympyrä. Sen kärjet ovat kuusi leikkauspistettä sivujen kolmion kanssa kolme linjaa, jotka ovat yhdensuuntaisia puolin ja jotka kulkevat sen Lemoine-pisteen . Missä tahansa kolmiossa Lemoinen kuusikulmio on kolmion sisällä, jossa on kolme paria kärkipisteitä pareittain kolmion molemmilla puolilla.

Lemoine ympyrät

Lemoine osoitti, että jos suorat viivat kulkevat Lemoine-pisteen läpi samansuuntaisesti kolmion sivujen kanssa, niin viivojen ja kolmion sivujen kuusi leikkauspistettä sijaitsevat samalla ympyrällä tai että ne sijaitsevat ympyrällä. [1] . Tämä ympyrä tunnetaan nyt nimellä ensimmäinen ympyrä tai Lemoine ympyrä tai yksinkertaisesti Lemoine ympyrä . [2] . Toisin sanoen Lemoinen kuusikulmio , kuten edellä on määritelty, on merkitty Lemoinen ympyrään .

Historia

Lemoine-pisteen löysi ensimmäisenä ( 1809 ) sveitsiläinen geometri ja topologi Simon Antoine Jean Luillier . Tätä pistettä tutki ( 1847 ) Ernst Wilhelm Grebe (Grebe) , jonka mukaan Saksassa sitä kutsuttiin Grebe-pisteeksi. Piste on nimetty ranskalaisen geometrin Émile Lemoinen mukaan, joka julkaisi todisteen pisteen olemassaolosta ( 1873 ). Ross Honsberger kutsui Lemoinen pisteen olemassaoloa "yhdeksi modernin geometrian kruunun jalokivistä". [3]

Ominaisuudet

Tason pisteen ja kolmion sivujen välisten etäisyyksien neliösumma on pienin, kun tämä piste on Lemoinen piste .
Lemoinen pisteen etäisyydet kolmion sivuihin ovat verrannollisia sivujen pituuteen.
Lemoinen piste on kolmion mediaanien leikkauspiste, jonka muodostavat Lemoinen pisteen projektiot sivuille. Lisäksi tällainen kohta on ainutlaatuinen.
Lemoinen piste on kolmion Gergonnen piste, jonka muodostavat rajatun ympyrän tangentit kolmion kärjessä. Tätä kolmiota kutsutaan tangentiaaliseksi kolmioksi .
Lemoinen piste on isogonaalisesti konjugoitu mediaanien leikkauspisteeseen
Lemoinen piste on isotomisesti konjugoitu Brocard - pisteeseensä (kolmas piste, jota kutsutaan X(76) kolmiokeskuksien tietosanakirjassa).
Lemoinen piste on rajatun ympyrän antiperspektiivi . Piirretyn ympyrän pisteiden kolmiviivaiset polaarit kulkevat Lemoinen pisteen läpi.

Ympyrä, joka on rakennettu segmentille ( on rajatun ympyrän keskipiste), kuten halkaisijalle, sisältää Brocard-pisteitä . Tätä ympyrää kutsutaan Brocardin ympyräksi . $OK$ $O$
Suoraa viivaa kutsutaan Brocardin akseliksi . Se sisältää Apollonius-pisteet ja on isogonaalisesti konjugoitu Kiepertin hyperbolaan . $OK$
Kaksi Torricelli-pistettä ja Lemoinen piste ovat samalla linjalla.
Apollonius-pisteet sijaitsevat linjalla, joka yhdistää rajatun ympyrän keskustan Lemoinen pisteeseen . Tätä linjaa kutsutaan Brocardin akseliksi .
Projektiivisissa muunnoksissa , jotka säilyttävät kolmion ympyrän, Lemoinen piste siirtyy tämän kolmion kuvan Lemoine-pisteeseen.
Ellipsiä, jonka pisteet ovat Brocardin pisteissä, kutsutaan Brocardin ellipsiksi . Sen perspektiivi on Lemoinen piste [4] .

Kaksi Lemoinen ympyrää

Jos piirrämme Lemoine-pisteen läpi segmenttejä , jotka ovat samansuuntaisia kolmion sivujen kanssa ja joiden päät ovat sivuilla, näiden segmenttien päät ovat samalla ympyrällä ( ensimmäisellä Lemoinen ympyrällä ). Ensimmäisen Lemoinen ympyrän keskipiste on janan keskipiste, joka yhdistää kolmion rajatun ympyrän keskustan Lemoinen pisteeseen . [5]
Jos vedämme Lemoine-pisteen läpi segmenttejä , jotka ovat vastakkaisia kolmion sivujen kanssa ja joiden päät ovat sivuilla, näiden segmenttien päät ovat samalla ympyrällä ( toisella Lemoinen ympyrällä ). Lemoinen piste tulee olemaan sen keskus. [6]

Koordinaatit

Lemoinen pisteen kolmiviivaiset koordinaatit ovat , $(a:b:c)$
barysentrinen - . $(a^{2}:b^{2}:c^{2})$

Linkit

Lemoinen piste

Muistiinpanot

↑ Nathan Altshiller Court. College Geometry (uuspr.) . - 2. - New York: Barnes and Noble, 1969. - ISBN 0-486-45805-9 .
↑ Lachlan, Robert. Perusartikkeli modernista puhtaasta geometriasta . - Cornellin yliopiston kirjasto, 1893. - ISBN 978-1-4297-0050-4 .
↑ Honsberger, Ross (1995), luku 7: Symmedian Point, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , Washington, DC: Mathematical Association of America .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, liite .. - 2011. - s. 50.
↑ Zetel S. I. Kolmion uusi geometria. 2. painos M.: Uchpedgiz, 1962. S. 108-110, s. 94-96, helvetti. 80-81
↑ Zetel S. I. Kolmion uusi geometria. 2. painos M.: Uchpedgiz, 1962. S. 111, s. 98