Barycenter

Matematiikassa kaksiulotteisen kuvion barycenter eli geometrinen keskipiste on aritmeettinen keskiarvo annetun kuvion kaikkien pisteiden paikoista. Määritelmä ulottuu mihin tahansa objektiin n - ulotteisessa avaruudessa . Barycenterin sädevektori kolmiulotteisessa tapauksessa lasketaan seuraavasti

{\vec {r}}_{b}=V^{-1}\int _{V}{\vec {r}}dV

jossa integrointi suoritetaan kehon tilavuuden yli. Barycenterin toinen nimi tässä mielessä on sentroidi.

Epämuodollisesti geometrinen barycenter on pahvista leikatun hahmon tasapainopiste olettaen, että pahvilla on vakiotiheys ja ulkoinen gravitaatiokenttä on tasainen.

Fysiikassa termi " barycenter " on synonyymi käsitteelle " massakeskus ", jota käytetään pääasiassa avaruusmekaniikan ongelmissa. Esineen massakeskipiste on sen kaikkien pisteiden aritmeettinen keskiarvo, kun otetaan huomioon paikallinen massatiheys . Fyysisten kohteiden, joiden tiheys on vakio, massakeskipiste on sama kuin samanmuotoisen hahmon barycenter.

Alla barycenteria tarkastellaan matemaattisessa (geometrisessa) merkityksessä; katso fysiikan barycenter artikkelista Massakeskus .

Ominaisuudet

Kuperan kohteen geometrinen barycenter on aina kohteen sisällä. Ei-kuperalla objektilla voi olla barycenter kuvan ulkopuolella. Esimerkiksi renkaan tai kulhon barycenter sijaitsee hahmon ulkopuolella.

Jos barycenter tunnetaan, se on kuvion isometriasymmetriaryhmän kiinteä piste. Objektin barycenter on kaikkien sen symmetriatasojen leikkauskohdassa . Monien hahmojen ( säännöllinen monikulmio , säännöllinen monikulmio , sylinteri , suorakulmio , rombi , ympyrä , pallo , ellipsi , ellipsoidi , superellipsi , superellipsoidi jne.) barycenters voidaan löytää pelkästään tämän periaatteen perusteella.

Erityisesti kolmion barycenter on sen mediaanien leikkauspiste (katso kuva ). Suunnikkaan barycenter on sen diagonaalien leikkauspiste , mutta tämä ei pidä paikkaansa muiden nelikulmioiden kohdalla .

Translaatiosymmetriaa omaavan kohteen barycenteriä ei ole määritelty (tai se sijaitsee kuvan tilan ulkopuolella), koska siirrolla ei ole kiinteää pistettä.

Triangle Centroid

Kolmion barysentriä kutsutaan sentroidiksi , ja se sijaitsee kolmen mediaanin leikkauskohdassa, ja se sijaitsee myös Euler-viivalla (joka kulkee muiden avainpisteiden kautta, mukaan lukien ortosentti ja rajatun ympyrän keskipiste ) [1] [2] .

Jos kolmion kärkipisteisiin sijoitetaan yhtä suuret massat, tuloksena olevan järjestelmän massakeskus (barycenter) osuu keskipisteeseen. Lisäksi tasaisesti jakautuneen kolmion massakeskipiste sijaitsee myös painopisteessä.
- Erityisesti, jos on kolmion sentroidi, niin minkä tahansa pisteen kohdalla se on totta $M$ $ABC$ $O$ ${\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})$ .

Antaa olla missä tahansa pisteessä tasossa, joka sisältää kolmion, jonka kärjet , ja ; ja olkoon tämän kolmion painopiste, niin kolmion enintään kolmesta kärjestä olevien neliöityjen etäisyyksien summa on yhtä suuri kuin sentroidin ja kolmion kärkien välisten neliöetäisyyksien summa plus kolme kertaa etäisyyden neliö ja välillä : $M$ $A$ $B$ $C$ $G$ $M$ $G$ $M$ $G$

MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3MG^{2}

[3] .

Kolmion sivujen neliöiden summa on yhtä suuri kuin kolmion keskipisteen ja kolmion kärkien välisten etäisyyksien neliöiden summa:

AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})

[3] .

Kolmion sivujen massakeskipiste on sama kuin lisäkolmion (kolmio, jonka kärjet sijaitsevat tämän kolmion sivujen keskipisteissä) piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa. Tätä pistettä kutsutaan Spiekerin keskustaksi . Jos kolmion sivut on valmistettu ohuesta langasta, jolla on sama poikkileikkaus, tuloksena olevan järjestelmän massakeskipiste (barycenter) osuu yhteen lisäkolmion keskikohdan kanssa tai Spikerin keskustan kanssa .
Katso alta muita kolmion sentroidin ominaisuuksia .

Kolmion keskipisteen minimiominaisuudet

Kolmion keskipiste eli mediaanien leikkauspiste on kolmion ainoa piste, jonka läpi piirretyt kolme ceviania jakavat kolmion sivut päineen kuuteen segmenttiin. Tässä tapauksessa kolmen näistä kuudesta segmentistä, joilla ei ole yhteisiä päitä, pituuden tulo on maksimi [4] .
Kolmen mediaanin keskipiste tai leikkauspiste on piste, jossa kolmion kärkipisteiden neliöetäisyyksien summa saa pienimmän arvon ( Leibnizin lause ).

Neljän pisteen keskipiste (nelikulmion kärkipisteet)

Mielivaltaisen nelikulmion kärkien sentroidi ( barycenter tai massakeskiö ) sijaitsee 3 segmentin leikkauspisteessä: ensimmäinen segmentti yhdistää diagonaalien keskipisteet, kaksi muuta - vastakkaisten sivujen keskipisteet. Leikkauspiste puolittaa kaikki kolme segmenttiä.

Neljä segmenttiä, joista jokainen yhdistää nelikulmion kärjen kolmion keskipisteeseen, jonka muodostavat jäljelle jääneet kolme kärkeä, leikkaavat yhdessä pisteessä (nelikulmion kärkien painopiste) ja jakavat sen suhteessa 3:1, pisteestä laskettuna.

Nelikulmion kärkien massakeskuksen ei tarvitse olla sama kuin nelikulmion itsensä massakeskipiste litteänä kuviona.

Barycenterin sijainnin määrittäminen

Homogeenisen litteän hahmon barycenterin sijainnin määrittäminen luotiviivamenetelmällä

Homogeenisen tasohahmon barycenter, kuten kuviossa (a) kuvassa , voidaan löytää kokeellisesti luotipuikkoa ja tappia käyttämällä etsimällä samanmuotoisen, tasaisen tiheyden omaavan ohuen levyn massakeskus. Levyä pidetään kiinni tapilla, joka on työnnetty lähelle kehää, jotta levy voi pyöriä vapaasti. Merkitsemme levyyn suoran viivan, jonka muodostaa tappiin (b) kiinnitetty luotiviiva. Tee sama tapin toisen asennon kanssa. Kahden suoran leikkaus antaa barycenterin (c).

Tämä menetelmä voidaan laajentaa (teoriassa) koveriin hahmoihin, kun barysenteri on niiden ulkopuolella, sekä kappaleisiin (vakiotiheydellä), mutta luotiviivan sijainti täytyy merkitä jollain muulla tavalla.

Kuperan kaksiulotteisen kuvion barycenterin sijainnin määrittäminen tasapainotusmenetelmällä

Kuperan 2D-hahmon barycenter voidaan löytää tasapainottamalla pienempää hahmoa, kuten kapeaa sylinteriä. Barycenter on jossain näiden hahmojen kosketusalueen sisällä. Periaatteessa sylinterin halkaisijaa peräkkäin pienentämällä saadaan barycenterin sijainti millä tahansa tarkkuudella. Käytännössä ilmavirrat tekevät tämän mahdottomaksi, mutta tasapainotusalueiden päällekkäisyyttä ja keskiarvoa käyttämällä saadaan haluttu tarkkuus.

Barycenterin sijainnin määrittäminen äärelliselle pistejoukolle

Äärillisen pisteiden joukon barycenter löytyy kaavasta ${k}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k))$ $\mathbb {R} ^{n}$

\mathbf {G} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}

[5] .

Tuloksena oleva piste on sellainen, että sen ja joukon pisteiden välisten neliöetäisyyksien summa on minimaalinen. ${\mathbf {G}}$

Barycenterin sijainnin määrittäminen geometrisen laajennuksen avulla

Tasaisen kuvion barycenter voidaan laskea jakamalla se äärelliseen määrään yksinkertaisempia kuvioita , etsimällä kunkin osan barycenterien ja pinta-alojen sijainti ja laskemalla sitten $X$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n))$ $G_{i}$ $A_{i}$

G_{x}={\frac {\sum G_{i_{x}}A_{i}}{\sum A_{i}}},G_{y}={\frac {\sum G_{i_ {y}}A_{i}}{\sum A_{i}}}.

Kuvassa olevia reikiä , päällekkäisiä osia tai hahmon yli ulkonevia osia voidaan pitää negatiivisina aluelukuina . Alueen merkki on nimittäin valittava siten, että kaikkien pisteen sisältävien osien merkkien summa on 1, jos se kuuluu ryhmään , ja 0 muussa tapauksessa. $X$ $A_{i}$ $A_{i}$ $A_{i}$ $s$ $s$ $X$

Esimerkiksi kuvassa oleva kuvio (a) on helposti jaettavissa neliöön ja kolmioon, jossa on positiivinen etumerkki, pyöreään reikään negatiivinen etumerkillä (b).

Jokaisen osan barycenter on helppo löytää mistä tahansa yksinkertaisten hahmojen barycenter-luettelosta (c). Sitten luvun barycenter lasketaan kolmen pisteen painotettuna keskiarvona. Barycenterin vaakasuora sijainti kuvan vasemmasta reunasta laskettuna on

x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2))10^{2}-3\times \pi 2.5^{2)){10 ^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi 2,5^{2}}}\noin 8,5.

Pystyasento lasketaan samalla tavalla.

Sama kaava pätee kaikkiin kolmiulotteisiin esineisiin, vain kehon osien tilavuudet on jo ilmoitettu , ei alueita. Kaava pätee myös minkä tahansa mittaisen avaruuden kohdalla , kun alue korvataan osien -ulotteisilla mitoilla. $A_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {R} ^{d}$ $d$ $d$

Barycenterin sijainnin määrittäminen integroimalla

X - avaruuden osajoukon barycenter voidaan laskea integraalilla $\mathbb {R} ^{n}$

G={\frac {\int xg(x)\;dx}{\int g(x)\;dx)),

jossa integrointi suoritetaan koko avaruudessa ja g on osajoukon ominaisfunktio, jossa 1 on X:n sisällä ja 0 sen ulkopuolella [6] . Huomaa, että nimittäjä on yhtä suuri kuin joukon X mitta . Kaavaa ei voida soveltaa nollasuureen joukkoon eikä joukkoihin, joiden integraali poikkeaa . $\mathbb {R} ^{n}$

Toinen kaava barycenter-koordinaattien laskemiseen:

G_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\;dz}{\int S_{k}(z)\;dz)),

missä G k on G:n k : s koordinaatti ja S k ( z ) on X :n ja yhtälön x k = z määrittämän hypertason leikkauksen mitta . Jälleen nimittäjä on joukon X mitta .

Tasaiselle hahmolle barycenterin koordinaatit ovat

G_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\;dx}{A));

G_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\;dy}{A)),

missä A on kuvion X pinta-ala , S y ( x ) on [ tuntematon termi ] X leikkauspisteen pituus abskissan x pystysuoran linjan kanssa , S x ( y ) on sama arvo kun akselit vaihdetaan.

Barycenterin sijainnin määrittäminen jatkuvien funktioiden kuvaajien rajoittamalle alueelle

Jatkuvien funktioiden kuvaajien rajoittaman alueen barycenterin koordinaatit ja , siten että välillä , annetaan lausekkeilla $({\bar {x)),\;{\bar {y)))$ $f$ $g$ $f(x)\geq g(x)$ $[a,b]$ $a\leq x\leq b$

{\bar {x}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}x\left[f(x)-g(x)\right]\;dx

[6] .

{\bar {y}}={\frac {1}{A}}\int _{a}^{b}\left[{\frac {f(x)+g(x)}{2 }}\oikea]\vasen[f(x)-g(x)\oikea]\;dx,

[7]

missä on alueen pinta-ala (laskettu kaavalla ) [8] [9] . $A$ $\int _{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\;dx$

L-muotoisen kohteen barycenter-paikannus

Menetelmä L-kirjaimen muotoisen hahmon barycenterin löytämiseksi.

Kuva on jaettu kahteen suorakulmioon (katso kuva (2) kuvassa ). Etsi näiden kahden suorakulmion barycenters A ja B diagonaalien leikkauspisteeksi. Piirrä barykeskuksia yhdistävä segmentti AB. Kuvan barycenterin on oltava tällä segmentillä AB.
Jaa kuva kahteen suorakulmioon eri tavalla (katso kuva (3) kuvassa ). Etsi näiden kahden suorakulmion barycenters C ja D. Segmentti-CD piirretään yhdistämään barycenters. Kuvan barycenterin on oltava segmentillä CD.
Koska barycenter on sijaittava sekä janalla AB että janalla CD, on selvää, että se on näiden kahden janan leikkauspiste - piste O. Pisteen O ei tarvitse olla kuvion sisällä.

Kolmion ja tetraedrin barycenters

Kolmion barycenter on sama kuin mediaanien leikkauspiste . Barycenter jakaa jokaisen mediaanin suhteessa 2:1, eli barycenter on ⅓ etäisyydellä sivusta vastakkaiseen kärkeen (katso kuva ). Sen suorakulmaiset koordinaatit ovat kolmen kärjen koordinaattien keskiarvo . Eli jos kolmion kärjet ovat , ja , niin barycenterin koordinaatit lasketaan kaavalla $a=(x_{a},y_{a})$ $b=(x_{b},y_{b})$ $c=(x_{c},y_{c})$

G={\frac {1}{3}}(a+b+c)=\left({\frac {1}{3}}(x_{a}+x_{b}+x_{c }),{\frac {1}{3}}(y_{a}+y_{b}+y_{c})\right)

Siten barycenter on barycenter koordinaatit . ${\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}$

Trilineaarisissa koordinaateissa barycenter voidaan saada jollakin vastaavista tavoista [10] :

G={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc A:\csc B:\csc C

=\cos A+\cos B\cdot \cos C:\cos B+\cos C\cdot \cos A:\cos C+\cos A\cdot \cos B

=\sec A+\sec B\cdot \sec C:\sec B+\sec C\cdot \sec A:\sec C+\sec A\cdot \sec B.

Barycenter on myös fyysisesti homogeenisesta levymateriaalista tehdyn kolmion massakeskipiste, ja myös jos kaikki massa on keskittynyt kärkipisteisiin ja jaettu tasaisesti niiden kesken. Jos massa jakautuu tasaisesti kehälle, niin massakeskipiste sijaitsee Spiekerin pisteessä ( mediaanikolmion keskipisteessä ), joka (yleisessä tapauksessa) ei ole sama kuin koko kolmion painopiste.

Kolmion pinta-ala on 3/2 minkä tahansa sivun pituudesta kerrottuna etäisyydellä painopisteestä sivuun [11] .

Kolmion painopiste sijaitsee Euler-viivalla sen ortosentin ja sen rajatun ympyrän keskipisteen välillä , täsmälleen kaksi kertaa niin lähellä toista kuin ensimmäistä: $H$ $O$

GH=2GO

Meillä on myös yhdeksän pisteen keskipiste ja keskusta $minä$ $N$

GH=4GN

GO=2GN

IG<HG

IH<HG

IG<IO

Tetraedrillä on samanlaiset ominaisuudet - sen barycenter on segmenttien leikkauspiste, jotka yhdistävät kärjet vastakkaisten kasvojen barycentereihin. Nämä segmentit jaetaan barycenterillä suhteessa 3:1. Tulos voidaan yleistää mihin tahansa -ulotteiseen simpleksiin . Jos simpleksin kärjet merkitään ja pisteitä pidetään vektoreina , sentroidi on yhtä suuri kuin $n$ $v_{0},\ldots ,v_{n}$

G={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}

Geometrinen barysenteri osuu yhteen massakeskuksen kanssa, jos massa on jakautunut tasaisesti koko simpleksiin tai keskittynyt kärkipisteisiin yhtäläisinä massoina. $n$

Kolmion sentroidin isogonaalinen konjugaatio on sen symmediaanien leikkauspiste .

Tetraedrin barycenter

Tetraedri on kolmiulotteisessa avaruudessa oleva kiinteä aine, jonka pintana on neljä kolmiota. Janaa, joka yhdistää tetraedrin kärjen vastakkaisen pinnan barycenterin, kutsutaan mediaaniksi ja janaa, joka yhdistää kahden vastakkaisen sivun keskipisteet, kutsutaan bimediaaniksi . Mediaania on siis neljä ja bimediaania kaksi. Nämä kuusi segmenttiä leikkaavat tetraedrin barycenterissä [ 12] . Tetraedrin barycenter on Monge-pisteen ja rajatun pallon keskipisteen puolivälissä . Nämä pisteet määrittelevät tetraedrin Euler-viivan , joka on analoginen kolmion Euler-viivan kanssa.

Monikulmion barycenter

Itsehajallaan olevan suljetun monikulmion barycenter, jonka määrittävät kärjet , , , , on piste , jossa $n$ $(x_{0},y_{0})$ $(x_{1},y_{1})$ $\ldots$ ${\näyttötyyli (x_{n-1},y_{n-1})}$ $(G_{x},G_{y})$

G_{x}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})

;

G_{y}={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i} y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})

ja missä on (merkityn) polygonin alue: $A$

A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i })

[13] .

Tämä kaava olettaa, että kärjet on numeroitu polygonin kehällä. Lisäksi kärkeä pidetään samana kuin . Huomaa, että jos pisteet on numeroitu myötäpäivään, yllä laskettu alue on negatiivinen, mutta barycenter-koordinaatit korjaavat tämän tapauksen. ${\näyttötyyli (x_{n},y_{n})}$ $(x_{0},y_{0})$ $A$

Kartion ja pyramidin barycenters

Kartion tai pyramidin barycenter sijaitsee segmentissä, joka yhdistää rungon yläosan pohjan barycenteriin. Kokonaisessa kartiossa tai pyramidissa barycenter on 1/4 alustasta huipulle. Kartion tai pyramidin pinnalla (sivupinta ilman sisäosaa ja ilman pohjaa) painopiste on 1/3 etäisyydestä alustasta huipulle.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Altshiller-Court, 1925 , s. 101.
↑ Kay, 1969 , s. 18 189 225–226.
↑ 1 2 Altshiller-Court, 1925 , s. 70–71.
↑ Zetel, 1962 .
↑ Protter, Morrey, 1970 , s. 520.
↑ 1 2 Protter, Morrey, 1970 , s. 526.
↑ Protter, Morrey, 1970 , s. 527.
↑ Protter, Morrey, 1970 .
↑ Larson, Hostetler, Edwards, 1998 , s. 458–460.
↑ Encyclopedia of Triangle Centers arkistoitu 19. huhtikuuta 2012 Wayback Machinessa , kirjoittanut Clark Kimberling. Sentroidi on indeksoitu muodossa X(2).
↑ Johnson, 2007 , s. 173.
↑ Kam-tim, Suk-nam, 1994 , s. 53–54.
↑ Bourke, 1997 .

Kirjallisuus

Zetel, S. I. Uusi kolmiogeometria. Opas opettajille. - 2. painos /. - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 12.
Leung Kam-tim, Suen Suk-nam. Vektorit, matriisit ja geometria. - Hong Kong University Press, 1994.

Nathan Altshiller-Court. College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. – 2. - New York: Barnes & Noble , 1925.
Paul Burke. Monikulmion pinta-alan ja painopisteen laskeminen. – 1997.
Roger A. Johnson. Edistynyt euklidinen geometria. – Dover , 2007.
David C Kay. Yliopiston geometria . - New York: Holt, Rinehart ja Winston , 1969.
Roland E. Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. Yksittäisen muuttujan laskenta . – 6. - Houghton Mifflin Company , 1998.
Murray H. Protter, Charles B. Morrey Jr. College Calculus analyyttisellä geometrialla. – 2. - Lukeminen: Addison-Wesley , 1970.

Linkit

Centroidin ominainen ominaisuus leikkauspisteessä
Barysentriset koordinaatit solmussa
Interaktiiviset animaatiot, jotka esittävät kolmion Centroidia ja Centroid-rakennetta kompassilla ja suoraviivalla
Kolmion mediaanien ja painopisteen kokeellinen löytäminen Dynamic Geometry Sketches -sovelluksella , interaktiivisella dynaamisen geometrian luonnoksella käyttämällä Cinderellan painovoimasimulaattoria.

Tarkoittaa
Matematiikka	Tehon keskiarvo ( painotettu ) harmoninen keskiarvo painotettu geometrinen keskiarvo painotettu Keskiverto painotettu juuri tarkoittaa neliötä Keskimääräinen kuutio liukuva keskiarvo Aritmeettis-geometrinen keskiarvo Toiminto Keskiarvo Kolmogorov tarkoittaa
Geometria	geometrinen keskusta Barycenter
Todennäköisyysteoria ja matemaattinen tilasto	Winsorized keskiarvo näytteen keskiarvo Odotettu arvo Mediaani Muoti keskihajonta Katkaistu keskiarvo Ehdollinen odotus
Tietotekniikka	Medoid k-mediaani menetelmä
Lauseet	Ensimmäinen keskiarvolause Toinen keskiarvolause Aritmeettisen, geometrisen ja harmonisen keskiarvon epäyhtälö
muu	Jakelukeskuksen mittarit