Orthocenter

Orthocenter
Korkeudet ja ortosentti
barysentriset koordinaatit	$\tan A:\tan B:\tan C$
Trilineaariset koordinaatit	${\frac {1}{\cos A)):{\frac {1}{\cos B)):{\frac {1}{\cos C))$
ECT- koodi	X(4)
Yhdistetyt pisteet
isogonaalisesti konjugoitu	rajatun ympyrän keskipiste
Muut	rajatun ympyrän keskipiste
anticomplementary	de Longchamp point

Orthocenter ( toisesta kreikasta ὀρθός "suora") - kolmion tai niiden jatkeiden korkeuksien leikkauspiste. Perinteisesti merkitty latinalaisella kirjaimella . Kolmion tyypistä riippuen ortosentti voi olla kolmion sisällä (teräväkulmaisessa), sen ulkopuolella (tylpykulmaisessa) tai yhtyä kärjen kanssa (suorakulmaisessa se osuu yhteen kärjen kanssa suorassa kulmassa). Ortosentti viittaa kolmion merkittäviin pisteisiin, ja se on lueteltu Clark Kimberlingin Encyclopedia of Triangle Centersissä pisteenä X(4). $H$

Ominaisuudet

Jos neljässä pisteessä , , , piste on kolmion korkeuksien leikkauspiste , niin mikä tahansa neljästä pisteestä on kolmen muun pisteen muodostaman kolmion ortokeskiö. Tällaista nelinkertaista kutsutaan joskus ortosentriseksi pistejärjestelmäksi (katso kuva). $A$ $B$ $C$ $D$ $D$ $ABC$
- Lisäksi missä tahansa ortosentrisen pistejärjestelmän joukon osissa esimerkiksi kahdeksi pariksi ja /tai mille tahansa muulle samanlaiselle osiolle tuloksena olevat kaksi suorasegmenttiä, joiden päät ovat joukon annetuissa pisteissä (tässä tapauksessa kohtisuorassa ). ) ovat aina kohtisuorassa näiden kahden parin valinnasta riippumatta $\{A,B,C,D\}$ ${\näyttötyyli \{B,C\))$ ${\näyttötyyli \{A,D\))$ $eKr$ $ILMOITUS$
- Ortosentrisen järjestelmän minkä tahansa kolmen pisteen läpi kulkevien ympyröiden säteet ovat yhtä suuret (seuraus Hamiltonin lauseesta Eulerin ympyrälle ). Heitä kutsutaan usein Johnson-piireiksi .
- Viimeinen lause voidaan muotoilla seuraavasti: Kolme suoran janaa, jotka yhdistävät ortosentin teräväkulmaisen kolmion kärkipisteisiin, jakavat sen kolmeksi kolmioksi, joilla on samat rajattujen ympyröiden säteet (seuraus Hamiltonin lauseesta Eulerin ympyrälle ). Tässä tapauksessa näiden kolmen ympyrän sama säde on yhtä suuri kuin alkuperäisen teräväkulmaisen kolmion ympärille piirretyn ympyrän säde.

Ortosentti sijaitsee samalla linjalla kuin sentroidi , rajatun ympyrän keskipiste ja yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste (katso Euler-viiva ).
Terävän kolmion orthocenter on sen ortokolmioon kirjoitetun ympyrän keskipiste .
Kolmion ympärille piirretyn ympyrän keskipiste toimii kolmion ortosenttinä, jonka kärjet ovat tietyn kolmion sivujen keskipisteissä. Viimeistä kolmiota kutsutaan lisäkolmioksi suhteessa ensimmäiseen kolmioon.
Viimeinen ominaisuus voidaan muotoilla seuraavasti: Kolmion ympärille rajatun ympyrän keskipiste toimii lisäkolmion ortokeskipisteenä .
Kolmion sivujen suhteen symmetriset pisteet ovat rajatulla ympyrällä (katso kuva) [1] .
Kolmion ortosentteriin symmetriset pisteet sivujen keskipisteiden suhteen ovat myös rajatulla ympyrällä ja ovat samat kuin vastaavat kärkipisteet diametraalisesti vastakkaisten pisteiden kanssa.
Jos on ympyrän keskipiste , Sitten . $O$ $\kolmio ABC$ $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$
- $OH={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C))={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b ^{2}+c^{2})}}$ [2] [3] :s. 449 , missä on rajatun ympyrän säde ; ovat kolmion sivujen pituudet; ovat kolmion sisäkulmat. $R$ $a,b,c$ $A, B, C$
Isogonaalisella konjugaatiolla ortosentti menee rajatun ympyrän keskelle.
Mikä tahansa jana, joka on piirretty ortosenteristä rajatun ympyrän leikkauspisteeseen, puolitetaan aina Eulerin ympyrällä . Tämä seuraa siitä tosiasiasta, että orthocenter on näiden kahden ympyrän homoteetin keskus kertoimella . $1/2$
Neljä pareittain leikkaavaa suoraa, joista kolme ei kulje saman pisteen (nelisivuisen) kautta, muodostavat leikkaaessaan neljä kolmiota. Niiden ortokeskipisteet sijaitsevat samalla suoralla ( Aubertin linjalla ).
Jos oletetaan, että kolmion orthocenter jakaa ensimmäisen korkeuden pituuden osiin ja , toisen korkeuden pituusosiin ja , kolmannen korkeuden pituusosiin ja , niin [4] [5] . $u$ $v$ $w$ $x$ $y$ $z$ $uv=wx=yz$
Yhtälöketju viimeisessä kappaleessa: tarkoittaa käytännössä sitä, että kolme segmenttiparia, joihin ortosentti jakaa teräväkulmaisen kolmion kolme korkeutta, noudattavat ympyrän sisällä leikkaavien sointujen sääntöä , esimerkiksi :. Tästä seuraa automaattisesti, että teräväkulmaisen kolmion minkä tahansa kahden korkeuden neljän pään kautta on aina mahdollista piirtää ympyrä (sen korkeudet ovat leikkaavia jänteitä). Osoittautuu, että tämä väite pätee sekä tylppälle että suorakulmaiselle kolmiolle. $uv=wx=yz$ $uv=wx$
Etäisyys ympäriympyrän sivusta keskipisteeseen on puolet etäisyydestä vastakkaisesta kärjestä ortokeskiöön [6] [7] .
Huippujen ja ortokeskipisteen välisten etäisyyksien neliöiden summa plus sivujen neliöiden summa on yhtä kuin kaksitoista rajatun ympyrän säteen neliötä [8] .
Terävän kulman kolmion korkeuksien kolme kantaa tai orthocenterin kolme projektiota kolmion sivuille muodostavat ortokolmion .

Ortosentin kolmilinjainen napa on orttinen akseli (katso kuva) $DEF$

Neljän kolmion neljä ortokeskusta, jotka muodostuvat neljästä pareittain leikkaavasta suorasta, joista kolme ei kulje saman pisteen kautta, on yhdellä suoralla ( Auberin nelikulmion viiva ) . Tässä käytetään samoja neljää kolmiota kuin Miquel-pisteessä .

On olemassa Carnot-kaava [9] : $R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2))(d_{A}+d_{B}+d_{C})$ ,

jossa , , ovat etäisyydet keskustasta rajatun ympyrän Vastaavasti sivuille , , kolmion, , , ovat etäisyydet orthocenter vastaavasti vertices , , kolmion.

{\näyttötyyli k_{a))

{\näyttötyyli k_{b))

{\displaystyle k_{c))

a

b

c

d_{A}

d_{B}

d_{C}

A

B

C

Etäisyys rajatun ympyrän keskustasta sivuun on: $a$ $k_{a}={\frac {a}{2\operaattorinnimi {tg} A}}$ ;

etäisyys ortosenteristä yläosaan on: $A$ $d_{A}={\frac {a}{\operaattorinimi {tg} A}}$ .

Ortosentrinen järjestelmä . Tässä O 1 , O 2 , O 3 ja O 4 ovat neljän mahdollisen kolmion ympyröiden keskipisteet, jotka on muodostettu ortosentrisistä pisteistä A 1 , A 2 , A 3 ja A 4 (katso kuva). Kolme niistä on alkuperäisen kolmion kärkipisteitä ja neljäs on sen ortosentti. Kaikkien neljän ympyrän säteet ovat yhtä suuret. Kolmen neljästä ympyrästä (lukuun ottamatta kuvattua alkuperäistä kolmiota) keskipisteet muodostavat kolmion kärjet, jotka ovat yhtä suuret kuin alkuperäinen kolmion sivut pareittain samansuuntaiset alkuperäisen kolmion sivujen kanssa.

*Jos ortopolin P viiva ℓ kulkee kolmion ortokeskiön Q läpi , niin piste, joka sijaitsee janan PQ jatkeessa, joka yhdistää ortopolin toisella puolella olevaan ortokeskiöön etäisyydellä PQ , on Eulerin ympyrällä tästä kolmiosta. [kymmenen]

Historia

Lauseke: "Kaikki kolmion kolme korkeutta leikkaavat yhdessä pisteessä", jota nyt kutsutaan ortosentriksi , puuttuu Eukleideen elementeistä . Ortosenttiä käytettiin ensimmäistä kertaa kreikkalaisessa matematiikassa Arkhimedesen Lemmien kirjassa , vaikka Arkhimedes ei esittänytkään selkeää näyttöä ortosenterin olemassaolosta.

Jotkut historioitsijat pitävät tätä lausuntoa Arkhimedesen ansioksi ja kutsuvat sitä Arkhimedes-lauseeksi [11] . 1800-luvun puoliväliin asti ortosenttiä kutsuttiin usein Arkhimedeen pisteeksi [12] .

Eksplisiittisessä muodossa tämä lausunto ("Kaikki kolmion 3 korkeutta leikkaavat yhdessä pisteessä") löytyy Prokluksesta (410-485) - Eukleideen kommentaattorista [13] .

Muut matematiikan historioitsijat pitävät William Chapplea ensimmäisen todisteen kirjoittajana.( Miscellanea Curiosa Mathematica , 1749) [14] .

Termiä ortokeskus käytti ensimmäisenä W. H. Besantjulkaisussa "Kartioleikkaukset Geometrisesti tutkittu (1869)" ( [15] ) [16] .

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Honsberger, 1995 , s. kahdeksantoista.
↑ Marie-Nicole Gras, "Etäisyydet ulkoisen kolmion ympäryskeskuksen ja klassisten keskipisteiden välillä", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html Arkistoitu 28. huhtikuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Smith, Geoff ja Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, marraskuu 2007, s. 436-452.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 94.
↑ Honsberger, 1995 , s. kaksikymmentä.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 99.
↑ Honsberger, 1995 , s. 17, 23.
↑ Altshiller-Court, 2007 , s. 102.
↑ Zetel S. I. Kolmion uusi geometria. Opas opettajille . - 2. painos - M . : Uchpedgiz, 1962. - S. 120-125 (tehtävä), kohta 57, s. 73. (Venäjän kieli)
↑ College Geometry: Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. Nathan Altshiller-Court. (Kappale: G. Orthopole. Kohta 699. Lause. Kuva 156. S. 290-291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 s.
↑ Efremov D. Kolmion uusi geometria. Odessa, 1902, s. 9, s. 16. Kolmion korkeudet. Arkhimedesen lause.
↑ Maureen T. Carroll, Elyn Rykken. Geometria: viiva ja ympyrä . Käyttöönottopäivä: 10.4.2020. (määrätön)
↑ Nathan Altshiller-Court. Yliopiston geometria. Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. toinen painos. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. s. 298, § 175.
↑ Bogomolny, Alexander, A Possibly First Proof of Concurrence of Altitudes , < https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml > . Haettu 17. marraskuuta 2019. Arkistoitu 7. toukokuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Geometrisesti käsitellyt kartioleikkaukset, 1869. Viite: 1895: Geometrisesti käsitellyt kartioleikkaukset Arkistoitu 18. huhtikuuta 2018 Cornell University Historical Math Monographsin Wayback Machinessa .
↑ Nathan Altshiller-Court. Yliopiston geometria. Johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan. toinen painos. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. 2007. § 176, s. 94; § 176, s. 298

Kirjallisuus

Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 37-39. — ISBN 5-94057-170-0 .
Nathan Altshiller-Court. Collegegeometria: johdatus kolmion ja ympyrän moderniin geometriaan . - Dover Publications, Inc., 2007. - ISBN 0-486-45805-9 .
Ross Honsberger. Jaksot yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa . - Mathematical Association of America , 1995. - Voi. 37. - s. 17-26. - (Uusi matemaattinen kirjasto). - ISBN 0-88385-639-5 (nide 37). - ISBN 0-88385-600-X (täydellinen sarja).

Linkit

Elävä suunnitelma
Weisstein, Eric W. Orthocenter (englanniksi) Wolfram MathWorld -verkkosivustolla .
Bernard Gibert Circumcubic K006 (linkki ei saatavilla)
Clark Kimberling, Encyclopedia of Triangle centers .
Weisstein, Eric W. "Ortosentrinen järjestelmä." MathWorldistä - Wolfram-verkkoresurssi. [yksi]

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen