Tangenttilause

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26.5.2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Tangenttilause [1] on lause , joka yhdistää kolmion kahden kulman tangentit ja näiden kulmien vastakkaisten sivujen pituudet.

Tangenttilause, vaikka se ei ole yhtä laajalti tunnettu kuin sini- tai kosinilause , on riittävän hyödyllinen käytettäväksi, kun tunnetaan kaksi puolta ja yksi kulma tai päinvastoin kaksi kulmaa ja yksi sivu.

Historia

Pallokulmien tangenttilauseen kuvasi 1200-luvulla persialainen matemaatikko Nasir ad-Din At-Tusi (1201–1274), joka myös esitti sinilauseen tasokolmioille viisiosaisessa teoksessaan Traktaatti täydellisestä nelikulmasta . [2] [3]

Lausetta kutsutaan myös Regiomontanus-kaavaksi saksalaisen tähtitieteilijän ja matemaatikon Johann (tai Johann) Müllerin ( lat. Regiomontanus ) mukaan, joka perusti tämän kaavan. I. Mülleriä kutsuttiin "Königsbergeriksi": saksaksi König - kuningas, Berg - vuori ja latinaksi "kuningas" ja "vuori" genitiivissä - regis ja montis . Tästä syystä "Regiomontanus" - I. Müllerin latinalainen sukunimi. [neljä]

Sanamuoto

Kuvassa 1, a , b ja c ovat kolmion kolmen sivun pituudet, ja α, β ja γ ovat kulmat, jotka ovat vastaavasti vastakkaisia näitä kolmea sivua (vastakkaiset kulmat). Tangenttilause sanoo sen

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2))}{\mathrm {tg} {\frac { \alpha +\beta }{2}}}}.

Todiste

Voit todistaa tangenttilauseen käyttämällä sinilausetta :

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}).

Päästää

d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}),

missä

a=d\sin \alpha

b=d\sin\beta .

Tästä seuraa siis

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}).

Käyttämällä hyvin tunnettua trigonometrista identiteettiä

\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2))\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2)), \;

saamme:

{\frac {ab}{a+b}}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}={\frac {2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}}{2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\ cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))={\frac {\mathrm {tg} {\frac {\alpha -\beta }{2))}{\mathrm {tg} {\ frac {\alpha +\beta }{2}}}}.\qquad \blacksquare

Kahden kulman sinien summan ja eron kaavan sijasta todistuksessa voidaan käyttää seuraavaa hyvin tunnettua identiteettiä

\mathrm {tg} {\frac {\alpha \pm \beta }{2))={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta } }

Toinen todistus Mollweiden kaavoilla

Mollweiden kaavoilla on seuraava muoto:

{\frac {a+b}{c}}={\frac {\operatorname {cos} {\frac {AB}{2}}}{\operaattorin nimi {sin} {\frac {C}{2 }}}};

{\frac {ab}{c}}={\frac {\operaattorinimi {sin} {\frac {AB}{2}}}{\operaattorinimi {cos} {\frac {C}{2}} }}.

missä ovat kulmien arvot vastaavissa kolmion kärkipisteissä ja ovat sivujen pituudet, vastaavasti, kärkien välillä ja , ja , ja . $A,\;B,\;C$ $a,\;b,\;c$ $B$ $C$ $C$ $A$ $A$ $B$

Jakamalla erikseen kahden viimeisen yhtälön oikea ja vasen osa ja rinnastamalla saadut kaksi tulosta toisiinsa, saadaan

{\frac {a+b}{ab))={\frac {\mathrm {ctg} {\frac {C}{2))}{\mathrm {tg} {\frac {AB}{2 }}}}.

Tämän huomioon ottaen meillä on vihdoin: $\mathrm {ctg} {\frac {C}{2}}=\mathrm {ctg} {\frac {\pi -AB}{2}}=\mathrm {tg} {\frac {A+B }{2}}$

{\frac {a+b}{ab))={\frac {\mathrm {tg} {\frac {A+B}{2))}{\mathrm {tg} {\frac {AB} {2}}}},

Q.E.D.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Eli Maor . Trigonometriset herkut // Princeton University Press , 2002.
↑ Marie-Thérèse Debarnot. Trigonometria // Arabian tieteen historian tietosanakirja, osa 2 (englanniksi) / Rushdī Rāshid, Régis Morelon. - Routledge , 1996. - S. 182. - ISBN 0415124115 . Arkistoitu 30. joulukuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ Q. Mushtaq, JL Berggren. Trigonometria // Keski-Aasian sivilisaatioiden historia, osa 4, rart 2 (englanniksi) / Bosworth CE, Asimov MS. — Motilal Banarsidass Publ. , 2002. - s. 190. - ISBN 8120815963 . Arkistoitu 30. joulukuuta 2021 Wayback Machinessa
↑ O. V. Manturov. Matemaattisten termien selittävä sanakirja

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Britannica (verkossa)

Trigonometria
Kenraali	Trigonometrian yleiskatsaus Tarina Käyttö Toiminnot Käänteinen Harvoin käytetty Yleistetty trigonometria
Hakemisto	Identiteetit Tarkat vakiot taulukoita yksikköympyrä
Lait ja lauseet	Sinilause Pythagoraan lause Kosinilause Tangenttilause Kotangenttilause Kolmioiden ratkaiseminen
Matemaattinen analyysi	Trigonometrinen korvaaminen Integraalit ( käänteisfunktiot ) Johdannaiset

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen