Heronin kaava

Heronin kaava - kaava kolmion pinta-alan laskemiseksi sen sivujen pituuksista : $S$ $a,b,c$

S={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))

missä on kolmion puolikehä : . $s$ $p={\tfrac {1}{2}}\cdot (a+b+c)$

Kaava sisältyy Aleksandrian Heronin (1. vuosisadalla jKr.) "metriikkaan" ja se on nimetty hänen mukaansa (vaikka sen tunsi myös Arkhimedes ). Heron oli kiinnostunut kolmioista, joissa on kokonaislukusivuja, joiden pinta-alat ovat myös kokonaislukuja, tällaisia kolmioita kutsutaan nimellä Heronian , yksinkertaisin Heronin kolmio on Egyptin kolmio .

Todiste 1 (trigonometrinen):

S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }

missä on sivua vastapäätä olevan kolmion kulma . Kosinusten lain mukaan : $\ \gamma$ $c$

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,

Täältä:

\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},

tarkoittaa,

\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=

={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2} } \over 2ab}=

={{c^{2}-(ab)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+ab)(a+bc)(a+b+c)

Huomaamme, että , , , , saamme: $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a+cb=2p-2b$ $c-a+b=2p-2a$

\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(pa)(pb)(pc))).

Tällä tavalla,

S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(pa)(pb)(pc))),

h.t.d.

Todistus 2 (perustuu Pythagoraan lauseeseen):

Pythagoraan lauseen mukaan meillä on hypotenuusille seuraavat yhtälöt: a 2 \ u003d h 2 + ( c − d ) 2 ja b 2 \ u003d h 2 + d 2 - katso oikealla oleva kuva. Kun toinen yhtälö vähennetään ensimmäisestä, saadaan a 2 − b 2 = c 2 − 2 cd . Tämän yhtälön avulla voimme ilmaista d :n kolmion sivuilla:

d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}

Korkeudelle h meillä oli yhtälö h 2 = b 2 − d 2 , jossa voimme korvata tuloksena olevan lausekkeen d :llä ja soveltaa kaavoja neliöille :

{\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c }}\right)^{2}={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}- c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {((b+c)^{2}-a^{2})(a^{2}-(bc) ^{2})}{4c^{2))}={\frac {(b+ca)(b+c+a)(a+bc)(a-b+c)}{4c^{2} }}\\\end{tasattu}}

Huomaamme, että , , , , saamme: $b+ca=2p-2a$ $a+b+c=2p$ $a+bc=2p-2c$ $a-b+c=2p-2b$

{\begin{aligned}h^{2}&={\frac {2(pa)\cdot 2p\cdot 2(pc)\cdot 2(pb)}{4c^{2))}={ \frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{2}}}\end{aligned}}

Käyttämällä perusyhtälöä kolmion pinta-alalle ja korvaamalla siihen tuloksena oleva lauseke h :lla , meillä on lopulta: $S={\frac {ch}{2}}$

{\begin{aligned}S={\sqrt ({\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4p(pa)(pb)(pc)}{c^{ 2}}}}}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))\end{aligned}}

h.t.d.

Muunnelmia ja yleistyksiä

Ilmaisemalla puolikehä tietyn kolmion kaikkien sivujen puolisummana, voimme saada kolme vastaavaa Heron-kaavaa: $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^ {4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2} )-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c))).$ $S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^ {2}}}.$

Heronin kaava voidaan kirjoittaa determinantilla muodossa [1] : $-16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1 \\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}$

Viimeisen kaavan ensimmäinen determinantti on Cayley-Menger-determinantin erikoistapaus simpleksin hypertilavuuden laskemiseksi .

Useat kolmion alueen kaavat ovat rakenteeltaan samanlaisia kuin Heronin kaava, mutta ne ilmaistaan kolmion muilla parametreilla. Esimerkiksi mediaanien pituuksien kautta ja ja niiden puolisumma [2] : $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $\sigma =(m_{a}+m_{b}+m_{c})/2$ $S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c)))) )$ ;

korkeuksien pituuksien ja ja niiden käänteislukujen puolisumman kautta [3] :

h_{a}

h_{b}

h_{c}

H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2

S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1 })}}

; kolmion kulmien läpi ja niiden sinien puolisumma ja rajatun ympyrän halkaisija [4] :

\alpha

\beeta

\gamma

s=(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )/2

D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}

S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma ))).

Ympyrään piirretyn nelikulmion pinta-ala lasketaan Brahmaguptan kaavalla : $S={\sqrt {(pa)(pb)(pc)(pd)}}$ ,

missä on nelikulmion puolikehä; tässä tapauksessa kolmio osoittautuu piirretyn nelikulmion rajatapaukseksi, kun yhden sivun pituus pyrkii olemaan nolla. Sama Brahmagupta-kaava determinantin [5] kautta :

p={\frac {a+b+c+d}{2}}

S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix))))

Tetraedrien kohdalla Heron-Tartaglia-kaava on oikea , mikä on yleistetty myös muiden monitahojen ( joustavien polyhedrien ) tapaukseen: jos tetraedrin reunan pituus on yhtä suuri , niin seuraava lauseke pätee sen tilavuudelle : $l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}$ $V$ ${\begin{aligned}144V^{2}=\;\;&l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^ {2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})\\+&l_{2}^{2 }l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2} ^{2}-l_{6}^{2})\\+&l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2 }+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})\\-&l_{1}^{2}l_ {2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_ {3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}\end{aligned}}$ .

Heron-Tartaglia-kaava voidaan kirjoittaa eksplisiittisesti tetraedrille: jos , , , , , ovat tetraedrin reunojen pituudet (kolme ensimmäistä niistä muodostavat kolmion; ja esimerkiksi reuna on vastakkainen reunaan nähden , ja niin edelleen), sitten kaavat [6] [7] : $U$ $V$ $W$ $u$ $v$ $w$ $u$ $U$ ${\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+ d )\,(a+b+cd)}}{192\,u\,v\,w}}$

missä:

{\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz} }\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+ w )\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v ) \\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{tasattu}}

Luillierin lauseen mukaan pallomaisen kolmion pinta -ala ilmaistaan sen sivuilla seuraavasti: $\theta _{a}={\frac {a}{R)),\theta _{b}={\frac {b}{R)),\theta _{c}={\frac {c}{ R}}$ $S=4R^{2}\,\operaattorinnimi {arctg} {\sqrt {\operaattorinnimi {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \ vasen({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operaattorin nimi {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{ b}}{2}}\oikea)\operaattorinimi {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\oikea)))$ ,

missä on puoliperimetri.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

Muistiinpanot

↑ Weisstein, Eric W. Heronin kaava. Arkistoitu 5. syyskuuta 2015 kohteeseen Wayback Machine From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑ Benyi, Arpad, "Haikara-tyyppinen kaava kolmiolle, Mathematical Gazette" 87, heinäkuu 2003, 324-326.
↑ Mitchell, Douglas W., "Heron-tyyppinen kaava kolmion käänteisalueelle", Mathematical Gazette 89, marraskuu 2005, 494.
↑ Mitchell, Douglas W., "A Heron-tyyppinen pintakaava sinien muodossa", Mathematical Gazette 93, maaliskuu 2009, 108-109.
↑ Starikov V.N. Huomautuksia geometriasta // Tieteellinen haku: humanitaariset ja sosioekonomiset tieteet: kokoelma tieteellisiä artikkeleita. Numero 1 / Ch. toim. Romanova I.V. Cheboksary: TsDIP "INet", 2014. S. 37-39
↑ W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [1] Arkistoitu 27. kesäkuuta 2013 Wayback Machinessa , pp. 16-17.
↑ Markelov S. Kaava tetraedrin tilavuudelle // Matemaattinen koulutus. Ongelma. 6. 2002. s. 132

Kirjallisuus

§ 258 julkaisussa A. P. Kiselev, Geometry by Kiselev , arΧiv : 1806.06942 [math.HO].
Nikolaev N. Kolmion alueella // V.O.F.E.M. . - 1890. - Nro 108 . - S. 227-228 . (Venäjän kieli)
Raifaizen, Claude H. Yksinkertaisempi todiste Heronin kaavasta // Mathematics Magazine : aikakauslehti . - 1971. - Voi. 44 . - s. 27-28 . — Pythagoraan lauseeseen perustuvan Heronin kaavan todiste

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Suuri tanskalainen Hienoa norjalaista Iso venäläinen