Cheviana

Ceviana on kolmion jana , joka yhdistää kolmion kärjen vastakkaisella puolella olevaan pisteeseen [1] . Usein tarkastellaan kolmea tällaista segmenttiä, jotka leikkaavat yhdessä pisteessä ja joita kutsutaan yhteisesti cevianiksi. Nimi "ceviana" tulee italialaisen insinöörin Giovanni Cevan nimestä , joka todisti kuuluisan cevian-lauseen, joka kantaa hänen nimeään [2] . Mediaanit , puolittajat ja korkeudet akuutissa kolmiossa ovat cevian erikoistapauksia.

Pituus

Stewartin lause

Cevianan pituus saadaan Stewartin lauseella - ceviana d :n pituus (katso kuva) saadaan kaavalla

{\näyttötyyli \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}

Mediaani

Jos ceviana on mediaani (eli puolittaa sivun), pituus voidaan määrittää kaavalla

m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})

tai

2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}

koska

a=2m.

Näin ollen

d={\frac {\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2))}{2)).

Bisector

Jos ceviana on puolittaja , sen pituus täyttää kaavan

\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),

ja [3]

d^{2}+mn=bc

missä

d={\frac {2{\sqrt {bcs(sa)}}}{b+c}}

jossa puolikehä s = ( a+b+c )/2 .

Sivu a jaetaan suhteessa b : c .

Korkeus

Jos ceviana on korkeus ja siten kohtisuorassa sivuun nähden, sen pituus täyttää kaavat

{\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2))

d={\frac {2{\sqrt {s(sa)(sb)(sc)))){a)),

jossa puolikehä s = ( a+b+c ) / 2.

Relationship Properties

Kolmen yhden yhteisen sisäpisteen läpi kulkevien cevianin muodostamien pituuksien suhteilla on erilaisia ominaisuuksia [4] . Oikeanpuoleisen kuvan kolmio täyttää yhtäläisyydet

{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1;

( Cevan lause )

{\frac {AO}{OD}}={\frac {AE}{EC}}+{\frac {AF}{FB}};

( Van Obelin kolmiolause )

{\frac {OD}{AD}}+{\frac {OE}{BE}}+{\frac {OF}{CF}}=1;

( Gergonnen lause )

{\frac {AO}{AD}}+{\frac {BO}{BE}}+{\frac {CO}{CF}}=2.

( Gergonnen lause )

Kaksi viimeistä ominaisuutta ovat ekvivalentteja, koska näiden kahden yhtälön summa antaa identiteetin 1 + 1 + 1 = 3.

Kehäjakajat

Kolmion kehän jakajat ovat ceviana, jotka jakavat kehän . Kolme tällaista jakajaa leikkaavat kolmion Nagel-pisteessä .

Aluejakajat

Kolmion pinta-alan kolme jakajaa (puolessa) ovat sen mediaanit.

Trisectors

Jos kolmion jokaiseen kärkeen piirretään kaksi ceviania, jotka jakavat kulmat kolmeen yhtä suureen osaan, kuusi ceviania leikkaa pareittain muodostaen säännöllisen kolmion , jota kutsutaan Morleyn kolmioksi .

Ceviansin muodostaman sisemmän kolmion alue

Routhin lause määrittelee tietyn kolmion pinta-alan suhteen kolmion pinta-alaan, joka muodostuu kolmen cevianin parittaisesta leikkauspisteestä, yksi kustakin kärjestä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Coxeter ja Greitzer 1967 , s. neljä.
↑ Lightner, 1975 , s. 612–615.
↑ Johnson, 2007 , s. 70.
↑ Posamentier, Salkind, 1996 , s. 177-188.

Kirjallisuus

H.S.M. Coxeter , S.L. Greitzer . Geometry Revisited . — Washington, DC: Mathematical Association of America , 1967. — ISBN 0-883-85619-0 .
James E. Lightner. Uusi näkymä kolmion "keskuksiin" // Matematiikan opettaja . - 1975. - T. 68 , no. 7 . — S. 612–615 . — .
Ross Honsberger. Episodit yhdeksännentoista ja kahdennenkymmenennen vuosisadan euklidisessa geometriassa // Mathematical Association of America. - 1995. - S. 13 , 137 .
Vladimir Karapetoff. Joitakin tasokolmion korrelatiivisten kärkiviivojen ominaisuuksia // American Mathematical Monthly. - 1929. - Numero. 36 . — S. 476–479 .
Indika Shameera Amarasinghe. Uusi lause mistä tahansa suorakulmaisesta Cevian kolmiosta // Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions. - 2011. - T. 24 (02) . — S. 29–37 .
Roger A. Johnson. Kehittynyt euklidinen geometria . - Dover Publ., 2007. - S. 70 . (alkuperäinen - 1929),
Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind'. Haastavat geometrian ongelmat. – 2. – Dover Publishing Co., 1996.