Bisector

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 9. huhtikuuta 2022 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 27 muokkausta .

Kulman puolittaja ( lat. bi- "double" ja sectio "leikkaus") - kulman kärjestä lähtevä säde , joka jakaa tämän kulman kahteen yhtä suureen kulmaan. Voit myös määrittää puolittajan kulman sisällä olevien pisteiden paikaksi, jotka ovat yhtä kaukana kulman sivuista [1] .

Kolmion puolittaja on kulman puolittajan segmentti , joka on vedetty kulman kärjestä sen leikkauspisteeseen vastakkaisen sivun kanssa. Kolmiossa on kolme puolittajaa, jotka vastaavat sen kolmea kärkeä.

Aiheeseen liittyvät määritelmät

Kolmion kulman puolittajan leikkauspistettä sen sivun kanssa, joka ei ole tämän kulman sivu, kutsutaan puolittajan kannaksi .

Missä tahansa kolmiossa , paitsi sisäiset puolittajat tai yksinkertaisesti puolittajat , voit myös piirtää ulkopuolisia puolittajia , eli kolmion sisäkulmien vieressä olevien kulmien puolittajia. Tässä tapauksessa saman kulman sisäiset ja ulkoiset puolittajat ovat kohtisuorassa . $ABC$
Piirretään kaikki kolme sen ulkopuolista puolittajaa tietyssä kolmiossa niiden leikkauspisteisiin toistensa kanssa excircles -keskuksissa (vastaavasti ) muodostaa uuden kolmion (katso kuva) - kolmen ulkopuolisen puolittajan kolmion . Tämä on uusi kolmio, jossa on excircle-keskipisteet, joiden kärjet tangentit vastaavasti alkuperäisen kolmion sivuja. ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$ $a,b,c$
Ympyrän keskipiste, joka kulkee excircle-pisteiden läpi, on Bevan-piste .
Alkuperäinen kolmio on kolmion ortokolmio ${\displaystyle \Delta J_{A}J_{B}J_{C))$
Kolmion excircles-keskipisteiden muodostaman symmediaanien leikkauspiste on Mandartin ellipsin keskipiste . Tätä pistettä kutsutaan englanniksi middlespoint, saksaksi - "Mittelpunkt". Sen löysi vuonna 1836 Christian Heinrich von Nagel. [2] [3] ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C))$

Ominaisuudet

Puolittajien leikkauspisteiden ominaisuudet

Kolmion sisäkulmien puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä - tähän kolmioon piirretyn ympyrän keskipisteessä ( incenter ).
Kolmion yhden sisä- ja kahden ulkokulman puolittajat leikkaavat yhdessä pisteessä. Tämä piste on yhden tämän kolmion kolmesta ulkokehän keskipiste.
Kolmion jokainen puolittaja jaetaan puolittajien leikkauspisteellä suhteessa vastakkaisen sivun viereisten sivujen summaan, laskettuna kärjestä.
Feuerbachin hyperboli on rajattu hyperboli, joka kulkee piirretyn ympyrän ortosenterin ja keskipisteen kautta (se on myös kolmion sisäisten puolittajien keskipiste tai leikkauspiste ). Sen keskus sijaitsee Feuerbach-pisteessä . Feuerbachin hyperbelin piste- ja cevian-ympyrät kulkevat Feuerbach-pisteen läpi .

Kulmiin liittyvät ominaisuudet

Jokainen kolmion sisäinen ( ulkoinen ) kulman puolittaja, joka tulee esiin sen kärjestä, jakaa tämän kolmion sisäisen ( ulkoisen ) kulman (kaksi yhtä suureksi puolikkaaksi).
Kahden vierekkäisen kulman puolittajien välinen kulma ( kolmion kulmien sisäisten ja ulkopuolisten puolittajien välillä yhdessä kärjessä) on 90 astetta.
Kolmion kulman sisäpuolittaja on isogonaalisesti konjugoitu itseensä.

Kaariin liittyvät ominaisuudet

Sisäänkirjoitetun kulman puolittajan ominaisuus: piirretyn kulman puolittaja jakaa kaaren , jolla tämä kulma lepää , kahteen yhtä suureen osaan .
Sama ominaisuus pätee keskikulman puolittajaan .

Tasakylkisen kolmion puolittajien ominaisuudet

Jos kolmion kaksi puolittajaa ovat yhtä suuret, niin kolmio on tasakylkinen ( Steiner-Lemus-lause ), ja kolmas puolittaja on sekä mediaani että sen kulman korkeus , josta se tulee.
Päinvastoin on myös totta: tasakylkisessä kolmiossa kaksi puolittajaa ovat yhtä suuret, ja kolmas puolittaja on sekä mediaani että korkeus.
Tasakylkisessä kolmiossa kolmion kantaa vastapäätä olevan kulman sisäpuolittaja on mediaani ja korkeus.
Yksi ja vain yksi epätasaisen kolmion ulkokulman puolittaja voi olla yhdensuuntainen sisäkulman vastakkaisen puolen kanssa - kanta, jos kolmio on tasakylkinen .
Tasasivuisessa kolmiossa ulkokulmien kaikki kolme puolittajaa ovat yhdensuuntaisia vastakkaisten sivujen kanssa.
Tasasivuisen kolmion kaikki kolme sisäpuolista puolittajaa ovat yhtä suuret.

Puolittajien kantajen ominaisuudet

Bisector -lause (katso kuva) : Kolmion sisäkulman puolittajajakaa vastakkaisen puolen (eli jakaa vastakkaisen puolen kantallaan ) suhteessa kahden vierekkäisen sivun suhdetta. Elitai. ${\frac {BD}{CD}}={\frac {AB}{AC}}$ ${\frac {BD}{AB}}={\frac {CD}{AC}}$
Puolittajalause on Steinerin lauseen erikoistapaus .
Kolmion kahden sisäkulman ja yhden ulkokulman puolittajien kantat ovat samalla linjalla , jos ulkokulman puolittaja ei ole samansuuntainen kolmion vastakkaisen puolen kanssa (Yksi ja vain yksi puolittaja kolmion ulkokulmasta voi olla yhdensuuntainen vastakkaisen puolen kanssa - kanta, jos kolmio on tasakylkinen.Tasasivuisen kolmion kaikki kolme puolittajaa ulkokulmat ovat samansuuntaisia vastakkaisten sivujen kanssa.Muita mahdollisuuksia ei ole).
Kolmion sisäkulman puolittaja jakaa vastakkaisen puolen isotomisesti saman kulman vastapuolen puolittajaan nähden .
Ympyrät, jotka on rakennettu, kuten halkaisijalle, sisä- ja ulkopuolittajien kannat yhdistävälle segmentille , vapautettu yhdestä kulmasta, kulkevat Apollonius-pisteiden läpi .
Feuerbachin pisteen läpi kulkee ympyrä , joka on piirretty kolmen puolittajan kannan läpi .
Yleisessä tapauksessa 3 kolmion sivuille suunnattua kohtisuoraa eivät leikkaa yhdessä pisteessä, vedettynä kolmion näillä sivuilla sijaitsevien 3 sisäisen puolittajan kannan läpi. [neljä]

Puolittajien akselien ominaisuudet

Jos kolmion ulkokulmien puolittajat eivät ole samansuuntaisia vastakkaisten sivujen kanssa, niin niiden kantat sijaitsevat samalla suoralla, jota kutsutaan ulkopuolisten puolittajien akseliksi .
Kolmion Lemoine-piste sijaitsee puolittajien neljän akselin muodostaman nelikulmion Auber-linjalla .

Yhden kärjen projektion ominaisuus kahden muun kärjen puolittajille

Jos kolmion kahdesta kärjestä vedetään kaksi puolittajaparia (kaksi sisäistä ja kaksi ulkoista) ja sitten kolmas kärki projisoidaan ortogonaalisesti neljälle saadulle puolittajalle, niin saadut neljä kärjen projektiopistettä puolittajille sijaitsevat samalla suoralla (kollineaarinen) [5] . Tämä viiva on kolmion keskiviiva, joka on yhdensuuntainen sen sivun kanssa, jonka päät ovat edellä mainitut kaksi kärkeä .

Huomautus

Lausunnossa: " Kolmion Lemoine-piste sijaitsee neljän puolittajien muodostaman nelikulmion Auber-linjalla", ei ole selvää, mitä tiettyä puolittajien neljää akselia tarkoitetaan. Ilmeisesti puhumme jonkinlaisista neljän kolmion puolittajien akseleista, jotka esiintyvät Miquelin lauseessa . On mahdollista, että puhumme näiden kolmioiden ulompien puolittajien akseleista tai antiorth-akseleista .

Muut ominaisuudet

Jos kolmio on skaalattu (ei-tasasivuinen), niin mistä tahansa sen kärjestä piirretty sisäpuolittaja on sisäisen mediaanin ja samasta kärjestä vedetyn korkeuden välissä.
Etäisyydet kulman sivuista mihin tahansa puolittajan pisteeseen ovat samat.
Kolmion rakentaminen kolmella annetulla puolittajalla kompassin ja suoraviivan avulla on mahdotonta, [6] vaikka kolmiosa olisikin olemassa . [7]
Minkä tahansa kolmion kolme ulkopuolista puolittajaa leikkaavat kolmessa eri pisteessä, jotka ovat alkuperäisen kolmion ulkopiirien keskipisteitä tai alkuperäisen kolmion kolmen ulkopuolisen puolittajan niin sanotun kolmion kärkipisteitä [8] .
Kolme jatkoa kolmesta bisectors alkuperäisen kolmion kautta niiden kolme perustaa, kunnes ne leikkaavat kolme vertices sen kolmion kolme ulompaa bisectors , näkyvät viimeisessä kolmiossa kolme korkeutta.

Kolmiot kolmion janat, jotka ovat samansuuntaisia kolmion kolmen ei-sektorin kanssa

Segmenttien kolmoiskappaleet, jotka ovat yhdensuuntaisia kolmen ei-sektorin kanssa ja leikkaavat samanaikaisesti yhdessä pisteessä

Kukin puomi on jana, jonka toinen pää on kolmion sivun keskellä ja joka on samansuuntainen kulman puolittajan kanssa, joka on vastakkainen tämän sivun kanssa. Kolme yllä olevan kaltaista puomia leikkaavat Spiekerin keskellä .
Jos jana piirretään niin, että yksi pää on kolmion piirretyn ympyrän kosketuspisteessä sen sivun suuntaisesti tämän sivun vastakkaisen kulman puolittajan kanssa, ja sitten muodostetaan samanlaiset janat kahdelle muulle sivulle, sitten nämä kolme janaa leikkaavat yhdessä pisteessä [9] .

Kolme janaa, jotka ovat yhdensuuntaisia kolmen ei-sektorin kanssa ja muodostavat samanaikaisesti 2 kolmiota

Mihin tahansa kolmioon ABC voidaan kirjoittaa 2 kolmiota, joiden 3 sivua on yhdensuuntainen kolmion ABC 3 puolittajan kanssa. Näillä kolmioilla on yhteinen Eulerin ympyrätyyppinen ympyrä, eli 6 niiden kärkeä on yhdellä ympyrällä. [kymmenen]

Kolmion puolittajien pituus

Alla olevien kaavojen johtamiseksi voit käyttää Stewartin lausetta .

l_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+bc)}} \over {a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(pc) }}}{a+b}}

, missä on puolikehä .

s

l_{c}={\sqrt {ab-a_{l}b_{l))}

l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}

l_{c}={\frac {2a_{l}b_{l}\cos {\frac {\gamma }{2))}{\sqrt {a_{l}^{2}+b_{l }^{2}-2a_{l}b_{l}\cos {(\gamma })}}}

l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2))))

Kolmelle kulman puolittajalle ja pituuksille ja vastaavasti , seuraava kaava on totta [11] $A$ $B$ $C$ $l_{a},l_{b},$ $l_{c}$

{\frac {(b+c)^{2}}{bc}}l_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}l_{ b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}l_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.

w_{c}^{2}=a_{w}\cdot b_{w}-ab=CE^{2}=BE\cdot AE-ab

Incenter (leikkauspiste kolmen sisäisen bisectors kolmion) jakaa sisäisen bisector, kulmansuhteessa, $A$ $\frac{b+c}{a}$

missä:

$a,b,c$ ovat kolmion sivut pisteitä vasten , vastaavasti, $A, B, C$
$\alpha ,\beta ,\gamma$ ovat kolmion sisäkulmat kärjessä , vastaavasti, $A, B, C$
$h_{c}$ on sivulle pudonneen kolmion korkeus . $c$
$l_{c}$ - sivulle vedetyn sisäisen puolittajan pituus , $c$
$a_{l},b_{l}$ ovat niiden osien pituudet, joihin sisäinen puolittaja jakaa sivun , $l_{c}$ $c$
${\displaystyle w_{c))$ on ulomman puolittajan pituus, joka on vedetty kärjestä sivun jatkeeseen . $C$ $AB$
$a_{w},b_{w}$ ovat niiden segmenttien pituudet, joihin ulompi puolittaja jakaa sivun ja sen jatkeen itse puolittajan kantaan. ${\displaystyle w_{c))$ $c=AB$
Jos mediaani , korkeus ja sisäpuolittaja tulevat samasta kolmion kärjestä, jonka ympärille on rajattu sädeympyrä , niin [12] :s.122,#96 $m$ $h$ $t$ $R$

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

Kolmion puolittajien osien pituus

Etäisyys kärjestä C piirretyn ympyrän keskipisteeseen on , missä R ja r ovat rajattujen ja piirrettyjen ympyröiden säteet ja γ on kärjen C kulma. $l_{c0}={\frac {r}{\sin({\frac {\gamma }{2))))))={\sqrt {(pc)^{2}+r^{2 } ))={\sqrt {ab-4Rr))$
Viimeisen kappaleen kaavat olennaisesti antavat puolittajan osan pituuden kärjestä niiden leikkauspisteeseen (kirjoitetun ympyrän keskipisteeseen tai incenter ).
Tämä kaava ja sisäpuolen puolittajan toisen osan kaava voidaan löytää myös seuraavan tosiasian perusteella:
Incenter jakaa sisäpuolen puolittaja kulmansuhteessa, Jossa,, ovat kolmion sivut. $A$ $\frac{b+c}{a}$ $a$ $b$ $c$

Bisector-yhtälöt

Jos kolmion kaksi vierekkäistä sivua kirjoitetaan yhtälöillä ja , niin puolittajat voidaan eksplisiittisesti esittää funktioina [13] : $y_{1}=a_{1}x+b_{1}$ $y_{2}=a_{2}x+b_{2}$

y={\frac {a_{1}{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm a_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1} }}{{\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}\,x+{\frac {b_{1} {\sqrt {a_{2}^{2}+1}}\pm b_{2}{\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}{{\sqrt {a_{2}^{ 2}+1}}\pm {\sqrt {a_{1}^{2}+1}}}}

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Ivanov A. B. Kulman puolittaja // Mathematical Encyclopedia : [5 osassa] / Ch. toim. I. M. Vinogradov . - M . : Neuvostoliiton tietosanakirja, 1977. - T. 1: A - G. - S. 496. - 1152 jne. : sairas. - 150 000 kappaletta.
↑ Kimberling, Clark (1994), Keskipisteet ja keskiviivat kolmion tasossa , Mathematics Magazine , osa 67 (3): 163–187 , DOI 10.2307/2690608 .
↑ v. Nagel, CH (1836), Untersuchungen über die wichtigsten zum Dreiecke gehörenden Kreise , Leipzig .
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A .. Toisen kertaluvun käyrien geometriset ominaisuudet. - 2. painos, täydentävä - 2011. - S. 105.
↑ Dmitri Efremov . Uusi kolmiogeometria arkistoitu 25. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa . - Odessa, 1902. - S. 6. Luku I, s. 8
↑ Kuka ja milloin osoitti, että kolmion rakentaminen kolmesta puolittajasta on mahdotonta? Arkistoitu 18. lokakuuta 2009 Wayback Machinessa . Etäneuvontapiste matematiikan MCNMO :lle .
↑ Onko mahdollista rakentaa kolmio kolmen puolittajan verran, jos kompassin ja suoraviivan lisäksi saa käyttää kolmisektorin arkistokopiota 26.8.2015 Wayback Machinessa . Etäneuvontapiste matematiikan MCNMO :lle .
↑ Starikov V. N. Geometrian tutkimus // Globus -tieteellisen aikakauslehden julkaisujen kokoelma V:n kansainvälisen tieteellis-käytännön konferenssin "Modernin tieteen saavutukset ja ongelmat", Pietari: artikkelikokoelma (standarditaso, akateeminen taso). S-P.: Tieteellinen aikakauslehti Globus , 2016. S. 99-100
↑ Kaikki Siperian avoimen koululaisten olympialaisten 2015-2016 ensimmäisen vaiheen tehtäväratkaisut matematiikassa. Tehtävä 10.3, s. 5-6// https://sesc.nsu.ru/upload/iblock/1ad/2015_1_math_s.pdf
↑ Dmitri Efremov . Uusi kolmiogeometria arkistoitu 25. helmikuuta 2020 Wayback Machinessa . - Odessa, 1902. - S. 26. Luku I. Harjoitukset. s.33
↑ Simons, Stuart. Mathematical Gazette 93, maaliskuu 2009, 115-116.
↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover Publ., 2007.
↑ Kahden suoran välisen kulman puolittajan yhtälö. Vaikeammat tehtävät . Soveltava matematiikka . Haettu 3. joulukuuta 2021. Arkistoitu alkuperäisestä 3. joulukuuta 2021. (Venäjän kieli)

Kirjallisuus

Kogan B. Yu. Mekaniikan soveltaminen geometriaan. - M . : Nauka, 1965. - 56 s.
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 osana - M . : MTSNMO , 2004. - S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .

Kolmio
Kolmioiden tyypit	Suorakulmainen Tasakylkinen Tasasivuinen Tasakylkinen suorakaiteen muotoinen
Ihanat linjat kolmiossa	Mediaani Korkeus Bisector Keskisuorassa keskiviiva Piirretyt ja kaiverretut ympyrät Simsonin suora Eulerin linja Simediana Cheviana
Kolmion merkittäviä pisteitä	Orthocenter Keskus Incent Brocardin piste Vecten-piste Point Gergonne Lemoinen piste Miquel pointti Nagelin piste Napoleonin pisteet Torricellin kohdat Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste Spieker Center Kolmiokeskusten tietosanakirja
Peruslauseet	kolmion epätasa-arvo Merkkejä kolmioiden samankaltaisuudesta Kolmioiden ratkaiseminen Kolmion ulkokulman lause Kolmion kulmien summan lause Pythagoraan lause Kosinilause Sinilause Projektiolause Heronin kaava
Lisälauseita	Van Obelin lause Menelaoksen lause Reuschlen (Terkema) lause Stewartin lause Tangenttilause Kotangenttilause Cevan lause Mollweiden kaavat
Yleistykset	pallomainen kolmio hyperbolinen kolmio Yksinkertainen