Menelaoksen lause

Menelaoksen lause eli poikittaislause tai kokonaisen nelikulmion lause on affiinin geometrian klassinen lause .

Sanamuoto

Jos pisteet ja ovat vastaavasti sivuilla ja kolmion tai niiden jatkeilla [1] , niin ne ovat kollineaarisia silloin ja vain jos $A',B'$ $C'$ $BC, CA$ $AB$ $\kolmio ABC$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

missä , ja osoittavat suunnattujen segmenttien suhteita . ${\frac {AB'}{B'C}}$ ${\frac {CA'}{A'B}}$ ${\frac {BC'}{C'A}}$

Todiste

Piirretään pisteen läpi kulkevan suoran kanssa yhdensuuntainen viiva ja merkitään tämän suoran ja suoran leikkauspiste . Koska kolmiot ja ovat samanlaisia (kahdessa kulmassa), niin $C$ $AB$ $K$ $A'C'$ $\kolmio AC'B'$ $\kolmio CKB'$

{\frac {|AC'|}{|CK|}}={\frac {|B'A|}{|B'C|}}

Koska kolmiot ovat myös samanlaisia Ja näin $\kolmio BC'A'$ $\kolmio CKA'$

{\frac {|CK|}{|C'B|}}={\frac {|A'C|}{|BA'|}}

Ilman , saamme $CK$

{\frac {|AC'|}{|C'B|}}\cdot {\frac {|BA'|}{|A'C|}}\cdot {\frac {|CB'|}{|B 'A|}}=1

On vielä huomattava, että kaksi pisteiden järjestelyä ja ovat mahdollisia : joko kaksi niistä on kolmion vastaavilla sivuilla ja kolmas on jatkeella tai kaikki kolme sijaitsevat vastaavien sivujen jatkeilla. Tästä syystä meillä on suunnattujen segmenttien suhteille $A',B'$ $C'$

{\frac {AB'}{B'C}}\cdot {\frac {CA'}{A'B}}\cdot {\frac {BC'}{C'A}}=-1.

Muistiinpanot

Erityisesti suhde segmenttien pituuksiin seuraa lauseesta: ${\frac {|AB'|}{|B'C|}}\cdot {\frac {|CA'|}{|A'B|}}\cdot {\frac {|BC'|}{|C 'A|}}=1.$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Trigonometrinen ekvivalentti:

{\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}\cdot {\frac { \sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}=-1

, jossa kaikki kulmat on suunnattu .

Pallogeometriassa Menelaoksen lause saa muodon

{\frac {\sin |AB'|}{\sin |B'C|}}\cdot {\frac {\sin |CA'|}{\sin |A'B|}}\cdot {\frac { \sin |BC'|}{\sin |C'A|}}=1.

Lobatševskin geometriassa Menelaoksen lause saa muodon

{\frac {\operaattorinnimi {sh}|AB'|}{\operaattorinnimi {sh}|B'C|}}\cdot {\frac {\operaattorinnimi {sh}|CA'|}{\operaattorinnimi {sh}| A'B|}}\cdot {\frac {\operaattorin nimi {sh}|BC'|}{\operaattorin nimi {sh}|C'A|}}=1.

Historia

Tämä lause on todistettu Menelaus Aleksandrialaisen (noin 100 jKr.) kolmannessa Sfäärit-kirjassa . Menelaus todistaa ensin lauseen tasotapaukselle ja siirtää sen sitten pallolle keskusprojektiolla. On mahdollista, että lauseen litteää tapausta on käsitelty aiemmin Eukleideen säilyneissä porismeissa.

Menelaoksen palloteoreema oli tärkein työkalu, jolla ratkaistiin erilaisia myöhäisen antiikin ja keskiajan tähtitieteen ja geodesian soveltavia ongelmia. Hän on omistettu useille teoksille nimeltä "Sekantin hahmon kirja", jonka ovat laatineet sellaiset keskiaikaisen idän matemaatikot kuten Sabit ibn Korra , an-Nasavi , al-Maghribi , as-Sijizi , as-Salar , Jabir . ibn Aflah , Nasir ad-Din at-Tusi .

Italialainen matemaatikko Giovanni Ceva vuonna 1678 ehdotti todistusta Menelaus-lauseesta ja siihen liittyvästä Ceva-lauseesta tasotapaukselle , joka perustuu kolmen pisteen painon järjestelmän painopisteen huomioimiseen. [2]

Sovellukset

Lohen lause
Monet projektitiivisen geometrian lauseet , kuten Pappuksen lause ja Desarguesin lause , todistetaan Menelaoksen lauseen toistuvilla sovelluksilla.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ itse sivuilla voi olla täsmälleen kaksi tai ei yhtään pistettä
↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678

Linkit

Balk M. B. , Boltyansky V. G. Massageometria . - M .: Tiede , 1987. - ( Kvanttikirjasto )).
Efremov D. Uusi kolmion geometria . - Odessa, 1902. - 334 s. Arkistoitu 2. maaliskuuta 2005 Wayback Machinessa
Efremov D. Uusi kolmion geometria. Ed. 2. Sarja: Physical and Mathematical Heritage (painoksen uusintapainos). . - Moskova: Lenand", 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Uusia kohtaamisia geometrian kanssa. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Matematiikan ympyrän kirjasto).
Ponarin Ya. P. Alkeinen geometria. 2 nidettä - M . : MTSNMO , 2004. - S. 73-74. — ISBN 5-94057-170-0 .
Huivi, Michel . Ptolemaioksen lauseesta poikittaisen kolmion ylittämisestä // Historiallinen katsaus geometristen menetelmien alkuperään ja kehitykseen . - M. , 1883. - T. 2 .
Sidoli N. Menelaukseen liittyvä sektorilause // SCIAMVS. - 2006. - Nro 7 . — s. 43–79 .