Pappus-lause

Pappuksen lause on klassinen lause projektitiivisessa geometriassa .

Sanamuoto

Olkoon A , B , C kolme pistettä yhdellä viivalla, A' , B' , C' kolme pistettä toisella suoralla. Olkoon kolme suoraa AB' , BC' , CA' leikkaavat kolme suoraa A'B , B'C , C'A pisteissä X , Y , Z . Sitten pisteet X , Y , Z ovat samalla suoralla.

Muistiinpanot

Pappuksen lauseen kaksoismuotoilu on vain itse lauseen uudelleenmuotoilu:

Kulkevat suorat pisteen A, pisteen A' läpi. leikkaa ja pisteissä B ja C, leikkaa pisteissä C' ja Z ja leikkaa pisteissä B' ja X. Tällöin suorat BC', B'C ja XZ leikkaavat yhdessä pisteessä (kuvan piste Y) tai ovat yhdensuuntaisia . $a_{1},a_{2},a_{3}$ $a_{1}',a_{2}',a_{3}'$ $a_{1}$ $a_{2}'$ $a_{3}'$ $a_{2}$ $a_{1}'$ $a_{3}'$ $a_{3}$ $a_{1}'$ $a_{2}'$

Historia

Tämän lauseen muotoilu ja todistus sisältyvät Aleksandrialaisen Pappusin (4. vuosisadan alku) matemaattiseen kokoelmaan. Nykyaikana lauseen julkaisi vuonna 1566 Pappuksen teosten kustantaja ja kommentoija Federico Commandino .

Todisteet

Todista poistamalla pisteitä äärettömään

Olkoon pisteen leikkauspiste viivojen, joilla pisteet , , ja , , sijaitsevat . $O$ $A$ $B$ $C$ $A'$ $B'$ $C'$

Harkitse viivojen risteyksiä:

$AB'\cap A'B=X$

$AC'\cap A'C=Y$

$CB'\cap C'B=Z$

Nyt käytämme projektitiivista kartoitusta, joka vie viivan äärettömyyteen. $XY$

Alkaen : , : . Nyt meidän on todistettava se . $X=\infty$ $AB'\parallel A'B$ $Y=\infty$ $AC'\parallel A'C$ $BC'\parallel B'C$

Harkitse samanlaisia kolmioita.

$\bigtriangleup OAC'\sim \ \bigtriangleup OCA'\Rightarrow {\frac {OC}{OA'}}={\frac {OA}{OC'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OC\cdot OC'$

$\bigtriangleup OAB'\sim \ \bigtriangleup OBA'\Rightarrow {\frac {OB}{OA'}}={\frac {OA}{OB'}}\Rightarrow OA\cdot OA'=OB\cdot OB'$

Tästä seuraa, että ( kolmioiden samankaltaisuuden toisen kriteerin mukaan ) . ${\frac {OB}{OC}}={\frac {OB'}{OC'}}\Rightarrow \bigtriangleup OCB'\sim \bigtriangleup OBC'$ $\Rightarrow BC'\parallel B'C$

Q.E.D.

Todistus Menelaoksen lauseen kautta

Soveltamalla kolmioita ja Menelaoksen lausetta voit myös todistaa tämän väitteen . $\bigtriangleup AXB$ $\bigtriangleup AYC$ $\bigtriangleup BZC$

Muunnelmia ja yleistyksiä

Pappuksen lause on degeneroitunut tapaus Pascalin lauseessa : jos korvataan kartioon piirretty kuusikulmio sellaisella, joka on piirretty pariin Pascalin lauseessa, siitä tulee sama kuin Pappuksen lause. Pascal itse piti suoraparia kartioleikkauksena (eli hän piti Pappuksen lausetta lauseensa erikoistapauksena).

Kaksoisformulaatio on degeneroitunut tapaus Brianchonin lauseesta .

Katso myös

Pappus-alueen lause

Kirjallisuus

R. Courant, G. Robbins, Mitä on matematiikka? IV luku, § 5.3.