Projektiivinen geometria

Projektiivinen geometria on geometrian haara , joka tutkii projektiivisiä tasoja ja avaruutta . Projektiivisen geometrian pääominaisuus on kaksinaisuuden periaate , joka lisää moniin malleihin siroa symmetriaa.

Projektiivista geometriaa voidaan tutkia sekä puhtaasti geometrisesta näkökulmasta että analyyttisestä ( homogeenisia koordinaatteja käyttäen ) ja algebrallisesta näkökulmasta katsoen projektitiivista tasoa kentän päällä olevana rakenteena . Usein ja historiallisesti todellista projektiivista tasoa käsitellään euklidisena tasona, johon on lisätty "viiva äärettömyydessä".

Vaikka euklidisen geometrian käsittelemien kuvioiden ominaisuudet ovat metrisiä (kulmien, segmenttien, alueiden erityisarvot), ja kuvien ekvivalenssi vastaa niiden kongruenssia (eli kun kuviot voidaan kääntää toisiksi liikettä säilyttäen metriset ominaisuudet), geometrisilla kuvioilla on enemmän "syvällä sijaitsevia" ominaisuuksia, jotka säilyvät yleisemmän tyyppisillä muutoksilla kuin liike. Projektiivinen geometria käsittelee sellaisten kuvioiden ominaisuuksien tutkimusta, jotka ovat invariantteja projektiivisten muunnosten luokassa , sekä itse näitä muunnoksia.

Projektiivinen geometria täydentää euklidista tarjoamalla kauniita ja yksinkertaisia ratkaisuja moniin ongelmiin, joita rinnakkaisten viivojen esiintyminen vaikeuttaa. Kartioleikkausten projektiivinen teoria on erityisen yksinkertainen ja tyylikäs .

Historia

Vaikka jotkin tuloksista, joita nykyään kutsutaan projektiiviseksi geometriaksi, juontavat juurensa antiikin kreikkalaisten geometrioiden, kuten Aleksandrian Pappusin, työhön , projektiivinen geometria sellaisenaan syntyi 1600-luvulla suorasta näkökulmasta maalaukseen ja arkkitehtoniseen piirustukseen. Ajatus äärettömän kaukaisista pisteistä, joissa yhdensuuntaiset viivat leikkaavat, syntyi itsenäisesti ranskalaisesta arkkitehdista Gerard Desarguesista ja saksalaisesta tähtitieteilijästä Johannes Kepleristä . Desargues jopa ehdotti, että voisi olla suora, joka koostuu vain äärettömyyden pisteistä.

1800 - luvulla kiinnostus aluetta kohtaan heräsi uudelleen Jean-Victor Poncelet'n ja Michel Challin kirjoitusten kautta . Poncelet johti projektiivisen avaruuden Euklidisesta lisäämällä äärettömyyteen suoran, jolla kaikki annetun yhdensuuntaiset tasot leikkaavat, ja todisti kaksinaisuuden periaatteen. Jatkoi ja syvensi merkittävästi Ponceletin työtä. Myöhemmin von Staudt loi puhtaasti synteettisen aksiomatisoinnin, joka yhdistää nämä linjat muuhun.

1800 - luvun lopulla Felix Klein ehdotti homogeenisten koordinaattien käyttöä projektiiviseen geometriaan , jonka olivat aiemmin ottaneet käyttöön Möbius , Plücker ja Feuerbach .

Terminologia

Projektiivisen geometrian peruskäsitteet, jotka on jätetty määrittelemättä standardiaksiomatisoinnissa, ovat piste ja viiva . Pisteiden joukkoa viivalla kutsutaan riviksi , ja pisteen läpi kulkevaa viivojen joukkoa kutsutaan nipuksi . Pistejoukko lyijykynän A suorilla, jotka leikkaavat suoran BC , määrittelee tason ABC . Kaksinaisuuden periaate sanoo, että mikä tahansa projektitiivisen geometrian konstruktio n - ulotteisessa avaruudessa pysyy totta, jos kaikissa tapauksissa korvataan ( k )-ulotteiset rakenteet ( n - k -1)-ulotteisilla. Siten mikä tahansa konstruktiivisen tason konstruktio pysyy tosi, jos korvaamme pisteet viivoilla ja suorat pisteillä.

Viivan X rivin muuntaminen pisteen x lyijykynällä, joka ei ole tällä rivillä, tai päinvastoin, identifioi sarjan jokaisen pisteen sen lyijykynän viivalla, joka leikkaa sen ja kirjoitetaan X ⌅ x . Useiden tällaisten muunnosten sekvenssiä (sarjasta nippuun, sitten takaisin sarjaan ja niin edelleen) kutsutaan projektiivisuudeksi . Perspektiivi on kahden projektiivisuuden sarja (kirjoitettu X ⌆ X ′). Kahden suoran perspektiivi kulkee keskuksen O läpi ja kahden pisteen perspektiivi kulkee akselin o läpi . Piste on invariantti projektiivuudessa, jos projektiivisuus muuttaa sen samaksi pisteeksi.

Kolmio on kolme pistettä, jotka on yhdistetty pareittain suorilla viivoilla. Täydellinen nelikulmio on neljä pistettä (vertices) yhdessä tasossa, joista yksikään ei ole kollineaarinen , yhdistetty pareittain suorilla viivoilla. Näiden kahden suoran leikkauskohtaa, joka ei ole kärki, kutsutaan diagonaalipisteeksi . Täydellinen tetraedri määritellään samalla tavalla, mutta pisteitä viivojen sijasta ja viivoja pisteiden sijasta. Vastaavasti voidaan määritellä täydellinen n - kulmio ja täydellinen n - pinta .

Kaksi kolmiota ovat perspektiivejä , jos ne voidaan yhdistää perspektiivillä, eli niiden pinnat leikkaavat kollineaarisissa pisteissä (perspektiivi suoran läpi) tai niiden kärjet on yhdistetty kilpailevilla viivoilla (perspektiivi pisteen läpi).

Peruslähestymistavat

Projektiiviseen geometriaan on kolme pääasiallista lähestymistapaa: itsenäinen aksiomatisointi , euklidisen geometrian täydentäminen ja rakenne kentän yli.

Aksiomatisointi

Projektiivinen avaruus voidaan määritellä käyttämällä erilaista aksioomia. Coxeter tarjoaa seuraavat:

On viiva, eikä siinä ole pistettä.
Jokaisella rivillä on vähintään kolme pistettä.
Kahden pisteen kautta voidaan vetää tasan yksi viiva.
Jos , , , ja ovat eri pisteitä ja ja leikkaavat, sitten ja leikkaavat. $A$ $B$ $C$ $D$ $AB$ $CD$ $AC$ $BD$
Jos on taso, niin ainakin yksi piste ei ole tasossa . $ABC$ $ABC$
Kaksi erillistä tasoa leikkaavat vähintään kahdessa pisteessä.
Täydellisen nelikulmion kolme diagonaalipistettä eivät ole kollineaarisia.
Jos viivan kolme pistettä ovat invariantteja projektiivisuuden alaisuudessa , niin kaikki suoran pisteet ovat invariantteja alle . $X$ $\varphi$ $X$ $\varphi$

Projektiivinen taso (ilman kolmatta ulottuvuutta) määritellään hieman erilaisilla aksioomeilla:

Kahden pisteen kautta voidaan vetää tasan yksi viiva.
Mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat.
Pisteitä on neljä, joista yksikään ei ole kollineaarinen.
Täydellisten nelikulmioiden kolme diagonaalipistettä eivät ole kollineaarisia.
Jos viivan kolme pistettä ovat invariantteja projektiivisuuden alaisuudessa , niin kaikki suoran pisteet ovat invariantteja alle . $X$ $\varphi$ $X$ $\varphi$
Desarguesin lause : Jos kaksi kolmiota ovat perspektiiviä pisteen läpi, ne ovat perspektiiviä suoran läpi.

Kolmannen ulottuvuuden läsnä ollessa Desarguesin lause voidaan todistaa ilman ideaalista pistettä ja suoraa.

Euklidisen geometrian täydennys

Historiallisesti projektiivinen avaruus määriteltiin ensin euklidisen avaruuden komplementiksi ideaalielementillä , äärettömässä olevalla tasolla. Jokainen tämän tason piste vastaa avaruuden suuntaa ja on kaikkien tämän suunnan viivojen leikkauspiste.

Rakenne kentän yli

$n$ -ulotteinen projektioavaruus kentän päällä määritellään käyttämällä homogeenisten koordinaattien järjestelmää, eli joukko nollasta poikkeavia elementtivektoreita . Piste ja suora määritellään joukoksi vektoreita, jotka eroavat kertomalla vakiolla. Piste on viivalla, jos pistetulo on . Siten, koska linja , voimme määritellä lineaarisen yhtälön , joka määrittää sarjan pisteitä . Tästä seuraa, että pisteet , ja ovat kollineaarisia, jos jollekin riville . $F$ $F$ $(n+1)$ $F$ $x$ $X$ $X\cdot x=0$ $X$ $X\cdot x=0$ $X$ $x$ $y$ $z$ $X\cdot x=X\cdot y=X\cdot z=0$ $X$

Tärkeitä lauseita

Kirjallisuus

Buseman G., Kelly P. Projektiivinen geometria ja projektitiiviset metriikka . M., 1957.
Baer R. Lineaarinen algebra ja projektiiivinen geometria . M., 1955.
Volberg AO Projektiivisen geometrian perusideoita . M.–L.: Uchpedgiz, 1949.
Glagolev N. A. Projektiivinen geometria . M.-L., 1936.
Courant R, Robbins G. Mikä on matematiikka , luku IV. 2001
Hartshorne R. Projektiivisen geometrian perusteet . M., 1970.
Chetverukhin N. F. Projektiivinen geometria . Moskova: Koulutus, 1969.
Jung JW Projektiivinen geometria . M.: IL, 1949.